[PDF] Groupe linéaire dun espace vectoriel de dimension finie E ; sous

223476 Alg`ebre 07 - Groupe lin´eaire d"un espace vectoriel de dimension finieE; sous-groupes deGL(E). Applications. SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn≥1.1.Sous-groupes remarquables du groupe lin ´eaireD´efinition.Legroupe lin´eaireGL(E) deEest le groupe des endomorphismes inversibles deL(E). On identifieGL(E) avec le groupeGLn(K) des matrices A? Mn(K) inversiblesi.e.de d´eterminant non nul.

Remarques.SiK=RouCalors

-GLn(K) est un ouvert dense deMn(K), -A?→A-1et (A,B)?→ABsont continues.

Application.SiA,B? Mn(R) alorsχAB=χBA.

Remarque.GLn(C) est connexe par arcs mais

GL n(R) n"est pas connexe. D´efinition.On appellegroupe sp´ecial lin´eairedeEet on noteSL(E) le noyau de det :GL(E)→K?i.e.le groupe des endomorphismes deEde d´eterminant 1. On identifieSL(E) avec le groupeSLn(K) des matrices

A? Mn(K) de d´eterminant 1.

Remarque.La suite 1→SLn(K)→GLn(K)→

K ?→1 est exacte et on aGLn(K)?SLn(K)? K?. D´efinition.On appelle respectivement groupesortho- gonal,sp´ecial orthogonal,unitaireetsp´ecial unitaire, les groupes -O(n) ={A?GLn(R) ;tA=A-1 -SO(n) ={A? O(n) ; detA= 1}, -U(n) ={A?GLn(C) ;A?=A-1}et -SU(n) ={A? U(n) ; detA= 1}.

Remarque.O(n) etU(n) sont compacts mais pas

{A? Mn(C);tA=A-1}.

Proposition.SiA? O(n)alors il existeP? O(n)et

P -1AP= diag(Ip,-Iq,Rθ1,...,Rθr) o`uRθj=?cosθjsinθj -sinθjcosθj?

Application.O(n) a deux composantes connexes :

SO(n) etO-(n).

Proposition.SiA? U(n)alors il existeP? U(n)

telle queP?AP= diag(eiθ1,...,eiθn).

Application.U(n) etSU(n) sont connexes par arcs.

Th´eor`eme de Burnside-Schur.SoitGun sous-

groupe deGLn(C)alors :

Gfini??Gd"exposant fini

??Gde torsion et de type fini

Exemple.SiGest un sous-groupe deGLn(C) d"expo-

Application.SiGLn(C)?GLm(C) alorsn=m.2.G´en´erateurs et centreD´efinition.Soitf?GL(E) avecf?= idEetHun

hyperplan deEstablefavecf|H= idH. On dit quef est unedilatationd"hyperplanHet de rapportλ?= 1 s"il existe une base dans laquelle la matrice defsoit diag(1,...,1,λ). Proposition.Deux dilatations sont conjugu´ees dans GL(E)si et seulement si elles ont mˆeme rapport. D´efinition.Soitf?GL(E) avecf?= idEetH= kerψ un hyperplan deEstablefavecf|H= idH. On dit que fest unetransvectiond"hyperplanHet de droite?a? s"il existe une base dans laquelle la matrice defsoit? ?1 ...1 1? ?i.e.sif( x) =x+ψ(x)apour toutx?E.

Exemple.

?1 1 0 1? est une matrice de transvection. Proposition.Deux transvections sont conjugu´ees dans GL(E)et, sin≥3, sont conjugu´ees dansSL(E).

Remarque.?1λ

0 1? et?1μ 0 1? sont conjugu´ees dansSL2(K) si et seulement siλμ-1est un carr´e deK

Application.Z(GL(E)) est l"ensemble des ho-

moth´eties de rapportλ?K?;Z(SL(E)) est celui des homoth´eties de rapport une racinen`ede l"unit´e dansK.

Remarque.NotonsPGL(E) =GL(E)/Z(GL(E)) et

PSL(E) =SL(E)/Z(SL(E)); siKest alg´ebriquement

clos alorsPGL(E)?PSL(E) Th´eor`eme.Toute matriceA?GLn(K)s"´ecrit sous la formeA=τ1···τqδτ1···τso`u lesτisont des transvec- tions etδest une dilatation de rapportdetA.

Corollaire.Les transvections engendrentSL(E).

Les transvections et les dilatations engendrentGL(E).

Application.GLn(R) a deux composantes connexes

hom´eomorphes :GL+n(R) ={A? Mn(R);detA >0}et GL -n(R) ={A? Mn(R);detA <0}. De plus,GL+n(R) etGL-n(R) sont connexes par arcs.

Proposition.D(GL(E)) =D(SL(E)) =SL(E)sauf

D(GL(F22)) =D(SL(F22))? A3etD(SL(F23))?H8

Application.PSL(E) est simple siE?=F22etF23.3.Le groupe orthogonalProposition(d´ecomposition polaire).L"application

O(n)×Sym++(n)→GLn(R),(O,S)?→OS

est un hom´eomorphisme. On a un r´esultat analogue pour (O,S)?→SO. La d´ecomposition persiste surMn(K) mais sans l"unicit´e.

Application.O(n) est un sous-groupe compact maxi-

mal deGLn(R).

Application.Deux matrices unitairement semblables

deMn(R) sont orthogonalement semblables.

Application.L"enveloppe convexe deO(n) dans

M n(R) est la boule unit´e ferm´ee (pour la norme||| |||2 induite par la norme euclidienne deRn). Corollaire.Pour toutA?GLn(R), il existeΩ1,Ω2 dansO(n)etDdiagonale `a coefficients strictement po- sitifs telles queA= Ω1DΩ2.

Application.d(M,O(n)) =???⎷t

MM-I???2

Proposition.Z(O(n)) ={±I}

Z(SO(n)) ={±I}sinest pair et{I}sinest impair

Remarque.SO(2)?Uest commutatif; cela permet

la d´efinition des angles orient´es. Proposition.Tout ´el´ement deO(n)est produit d"au plusnr´eflexions; tout ´el´ement deSO(n)est produit d"au plusnrenversements.

Application.SO(3) est simple.

Proposition.Tout sous-groupe compact deGLn(R)est

conjugu´e `a un sous-groupe deO(n). Proposition.On aminM?SLn(R)|||M|||2=⎷net ce mini- mum est r´ealis´e exactement enSO(n).4.Quelques applications4.1.Groupes d"isom´etries. Proposition.Les sous-groupes finis deSO(3)sont iso- morphes `aZ/nZ,Dn/2,A4,S4ouA5.

Remarque.A4est le groupe du t´etra`edre.

S

4est le groupe du cube et de l"octa`edre.

A

5est le groupe de l"icosa`edre et du dod´eca`edre.

4.2.Repr´esentations lin´eaires.

D´efinition.SoitGun groupe etEunC-e.v.

(i) Unerepr´esentation lin´eairedeGest un mor- phismeρ:G→GL(E); si dimE=nalorsn est appel´edegr´ede la repr´esentation. (ii) Un sous-espaceFdeEestG-invariantsiF est stable par toutρ(g); si on poseρ|F=

ρ(g)|Falorsρ|F:G→GL(F) est unesous-

repr´esentation. (iii)ρestirr´eductiblesiEet{0}sont les seuls sous- espacesG-invariants. (iv)ρesttotalement d´ecomposablesiE=? i?IE iavec chaqueEiG-invariant etρ|Eiirr´eductible. Proposition(Maschke).Siρest une repr´esentation d"un groupe finiGet siFestG-invariant alorsFad- met un suppl´ementaireG-invariant. Proposition(Schur).Siρest une repr´esentation irr´eductible deGalors les endomorphismesu? L(E) qui commutent avec tous lesρ(g)sont les homoth´eties.

Proposition(Weyl).Une repr´esentation conti-

nue d"un groupe topologique compact est totalement d´ecomposable. Exemple.Les repr´esentations de degr´e 1 d"un groupe finiGsont les morphismesG→U.Exemple.SiGest fini et (eh)h?Gest une base de E=C|G|, on poseρ(g)(eh) =egh, alorsρest appel´e repr´esentation r´eguli`eredeG. Exemple.Une repr´esentation d"un groupe ab´elien est irr´eductible si et seulement elle est de degr´e 1.

4.3.Utilisation des matrices transvections au

changement de base.On noteEi,jla matrice de M n(R) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui `a la place (i,j) qui vaut 1. Alors, multiplierA? Mn(R) par I +αEi,j - `a droite permet de remplacer la colonnecjparcj+αci - `a gauche permet de remplacer la ligneliparli+αlj Pour ´echanger deux lignesket?, on multiplie `a gauche Alg`ebre 07 - Groupe lin´eaire d"un espace vectoriel de dimension finieE; sous-groupes deGL(E). Applications. SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn≥1.1.Sous-groupes remarquables du groupe lin ´eaireD´efinition.Legroupe lin´eaireGL(E) deEest le groupe des endomorphismes inversibles deL(E). On identifieGL(E) avec le groupeGLn(K) des matrices A? Mn(K) inversiblesi.e.de d´eterminant non nul.

Remarques.SiK=RouCalors

-GLn(K) est un ouvert dense deMn(K), -A?→A-1et (A,B)?→ABsont continues.

Application.SiA,B? Mn(R) alorsχAB=χBA.

Remarque.GLn(C) est connexe par arcs mais

GL n(R) n"est pas connexe. D´efinition.On appellegroupe sp´ecial lin´eairedeEet on noteSL(E) le noyau de det :GL(E)→K?i.e.le groupe des endomorphismes deEde d´eterminant 1. On identifieSL(E) avec le groupeSLn(K) des matrices

A? Mn(K) de d´eterminant 1.

Remarque.La suite 1→SLn(K)→GLn(K)→

K ?→1 est exacte et on aGLn(K)?SLn(K)? K?. D´efinition.On appelle respectivement groupesortho- gonal,sp´ecial orthogonal,unitaireetsp´ecial unitaire, les groupes -O(n) ={A?GLn(R) ;tA=A-1 -SO(n) ={A? O(n) ; detA= 1}, -U(n) ={A?GLn(C) ;A?=A-1}et -SU(n) ={A? U(n) ; detA= 1}.

Remarque.O(n) etU(n) sont compacts mais pas

{A? Mn(C);tA=A-1}.

Proposition.SiA? O(n)alors il existeP? O(n)et

P -1AP= diag(Ip,-Iq,Rθ1,...,Rθr) o`uRθj=?cosθjsinθj -sinθjcosθj?

Application.O(n) a deux composantes connexes :

SO(n) etO-(n).

Proposition.SiA? U(n)alors il existeP? U(n)

telle queP?AP= diag(eiθ1,...,eiθn).

Application.U(n) etSU(n) sont connexes par arcs.

Th´eor`eme de Burnside-Schur.SoitGun sous-

groupe deGLn(C)alors :

Gfini??Gd"exposant fini

??Gde torsion et de type fini

Exemple.SiGest un sous-groupe deGLn(C) d"expo-

Application.SiGLn(C)?GLm(C) alorsn=m.2.G´en´erateurs et centreD´efinition.Soitf?GL(E) avecf?= idEetHun

hyperplan deEstablefavecf|H= idH. On dit quef est unedilatationd"hyperplanHet de rapportλ?= 1 s"il existe une base dans laquelle la matrice defsoit diag(1,...,1,λ). Proposition.Deux dilatations sont conjugu´ees dans GL(E)si et seulement si elles ont mˆeme rapport. D´efinition.Soitf?GL(E) avecf?= idEetH= kerψ un hyperplan deEstablefavecf|H= idH. On dit que fest unetransvectiond"hyperplanHet de droite?a? s"il existe une base dans laquelle la matrice defsoit? ?1 ...1 1? ?i.e.sif( x) =x+ψ(x)apour toutx?E.

Exemple.

?1 1 0 1? est une matrice de transvection. Proposition.Deux transvections sont conjugu´ees dans GL(E)et, sin≥3, sont conjugu´ees dansSL(E).

Remarque.?1λ

0 1? et?1μ 0 1? sont conjugu´ees dansSL2(K) si et seulement siλμ-1est un carr´e deK

Application.Z(GL(E)) est l"ensemble des ho-

moth´eties de rapportλ?K?;Z(SL(E)) est celui des homoth´eties de rapport une racinen`ede l"unit´e dansK.

Remarque.NotonsPGL(E) =GL(E)/Z(GL(E)) et

PSL(E) =SL(E)/Z(SL(E)); siKest alg´ebriquement

clos alorsPGL(E)?PSL(E) Th´eor`eme.Toute matriceA?GLn(K)s"´ecrit sous la formeA=τ1···τqδτ1···τso`u lesτisont des transvec- tions etδest une dilatation de rapportdetA.

Corollaire.Les transvections engendrentSL(E).

Les transvections et les dilatations engendrentGL(E).

Application.GLn(R) a deux composantes connexes

hom´eomorphes :GL+n(R) ={A? Mn(R);detA >0}et GL -n(R) ={A? Mn(R);detA <0}. De plus,GL+n(R) etGL-n(R) sont connexes par arcs.

Proposition.D(GL(E)) =D(SL(E)) =SL(E)sauf

D(GL(F22)) =D(SL(F22))? A3etD(SL(F23))?H8

Application.PSL(E) est simple siE?=F22etF23.3.Le groupe orthogonalProposition(d´ecomposition polaire).L"application

O(n)×Sym++(n)→GLn(R),(O,S)?→OS

est un hom´eomorphisme. On a un r´esultat analogue pour (O,S)?→SO. La d´ecomposition persiste surMn(K) mais sans l"unicit´e.

Application.O(n) est un sous-groupe compact maxi-

mal deGLn(R).

Application.Deux matrices unitairement semblables

deMn(R) sont orthogonalement semblables.

Application.L"enveloppe convexe deO(n) dans

M n(R) est la boule unit´e ferm´ee (pour la norme||| |||2 induite par la norme euclidienne deRn). Corollaire.Pour toutA?GLn(R), il existeΩ1,Ω2 dansO(n)etDdiagonale `a coefficients strictement po- sitifs telles queA= Ω1DΩ2.

Application.d(M,O(n)) =???⎷t

MM-I???2

Proposition.Z(O(n)) ={±I}

Z(SO(n)) ={±I}sinest pair et{I}sinest impair

Remarque.SO(2)?Uest commutatif; cela permet

la d´efinition des angles orient´es. Proposition.Tout ´el´ement deO(n)est produit d"au plusnr´eflexions; tout ´el´ement deSO(n)est produit d"au plusnrenversements.

Application.SO(3) est simple.

Proposition.Tout sous-groupe compact deGLn(R)est

conjugu´e `a un sous-groupe deO(n). Proposition.On aminM?SLn(R)|||M|||2=⎷net ce mini- mum est r´ealis´e exactement enSO(n).4.Quelques applications4.1.Groupes d"isom´etries. Proposition.Les sous-groupes finis deSO(3)sont iso- morphes `aZ/nZ,Dn/2,A4,S4ouA5.

Remarque.A4est le groupe du t´etra`edre.

S

4est le groupe du cube et de l"octa`edre.

A

5est le groupe de l"icosa`edre et du dod´eca`edre.

4.2.Repr´esentations lin´eaires.

D´efinition.SoitGun groupe etEunC-e.v.

(i) Unerepr´esentation lin´eairedeGest un mor- phismeρ:G→GL(E); si dimE=nalorsn est appel´edegr´ede la repr´esentation. (ii) Un sous-espaceFdeEestG-invariantsiF est stable par toutρ(g); si on poseρ|F=

ρ(g)|Falorsρ|F:G→GL(F) est unesous-

repr´esentation. (iii)ρestirr´eductiblesiEet{0}sont les seuls sous- espacesG-invariants. (iv)ρesttotalement d´ecomposablesiE=? i?IE iavec chaqueEiG-invariant etρ|Eiirr´eductible. Proposition(Maschke).Siρest une repr´esentation d"un groupe finiGet siFestG-invariant alorsFad- met un suppl´ementaireG-invariant. Proposition(Schur).Siρest une repr´esentation irr´eductible deGalors les endomorphismesu? L(E) qui commutent avec tous lesρ(g)sont les homoth´eties.

Proposition(Weyl).Une repr´esentation conti-

nue d"un groupe topologique compact est totalement d´ecomposable. Exemple.Les repr´esentations de degr´e 1 d"un groupe finiGsont les morphismesG→U.Exemple.SiGest fini et (eh)h?Gest une base de E=C|G|, on poseρ(g)(eh) =egh, alorsρest appel´e repr´esentation r´eguli`eredeG. Exemple.Une repr´esentation d"un groupe ab´elien est irr´eductible si et seulement elle est de degr´e 1.

4.3.Utilisation des matrices transvections au

changement de base.On noteEi,jla matrice de M n(R) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui `a la place (i,j) qui vaut 1. Alors, multiplierA? Mn(R) par I +αEi,j - `a droite permet de remplacer la colonnecjparcj+αci - `a gauche permet de remplacer la ligneliparli+αlj Pour ´echanger deux lignesket?, on multiplie `a gauche