Nombres complexes (1ère partie)

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Fiche BAC 06Term. S

Nombres complexes

(1ère partie)

Exercice n°1. Bac Asie, Juin 2002 (modifié)

1°) Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct(O,⃗u,⃗v), on

considère les quatre points A, B, C et D d'affixes respectives :

3 ; 4i ; -2 +3i et 1- i.

a) Placer les points A, B, C et D dans le plan. b) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse.

2°) On considère dans l'ensemble des nombres complexes, les deux équations :

z2-(1+3i)z-6+9i=0(1) et z2-(1+3i)z+4+4i=0(2) a) Montrer que l'équation (1) admet une solution réellez1 b) Montrer que l'équation (2) admet une solution imaginaire purez2. c) Montrer qu'il existe des nombres complexes a, b, c et d tels que z2-(1+3i)z-6+9i=(z-3)(az+b) et z2-(1+3i)z+4+4i=(z-4i)(cz+d) d) En déduire les ensembles de solutions des équations (1) et (2). Exercice n°2. Bac Nouvelle Calédonie, Décembre 2001 (modifié) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct(O,⃗u,⃗v), unité graphique 4 cm. Dans l'ensembleℂdes nombres complexes, i désigne le nombre imaginaire pure de module 1.

On considère le point A, d'affixe

zA=-i. A tout point M d'affixe z, M différent de A, on associe le point M' d'affixe z', défini par : z'=iz-2 z+i1°) Démontrer que si z est imaginaire pure et z≠-i, alors z' est imaginaire pure.

2°) Déterminer l'ensemble E1 des points M, dont les affixes vérifient :

z'=z.

3°) Déterminer l'ensemble E2 des points M tels que M' soit le symétrique

de M par rapport à O.

4°) Déterminer l'ensemble E3 des points M tels que

z'soit un nombre réel.

5°) Déterminer l'ensemble E4 des points M tels quez'soit imaginaire pur.

Exercice n°3. BAC

Pour tout nombre complexe

z, on poase P(z)=z4-11°) Factoriser P(z) dans

2°) En déduire les solutions, dans l'ensembleℂ, de l'équation P(z) = 0.

3°) En déduire les solutions dansℂde l'équation

(2z+1 z-1)4 =1d'inconnue z.

Term.S - FicheBac n°6a. Nombres complexes © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 1/8

Exercice n°1 corrigé :

1°.a) Placer les points A, B, C et D d'affixes respectives dans le plan complexezA=3;zB=4i;zC=-2+3ietzD=1-i.

Ceci correspond à A(3;0), B(0;4), C(-2;3) et D(1;-1) dans le plan réel ! b) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse. On doit d'abord émettre une conjecture qui doit commencer par " il semble que...» Graphiquement, il semble que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme. Pour cela, il suffit de démontrer une égalité de deux vecteurs : ⃗AB=⃗DCou bien ⃗AD=⃗BC. Pour démontrer l'égalité de deux vecteurs dans le plan complexe, il suffit de montrer qu'ils ont la même affixe :

On a : z

⃗AB=zB-zA=4i-3 et z DC=zC-zD=-23i-1-i=-23i-1i=-34i

Par conséquent :

⃗AB=⃗DC,

Fiche BAC 06Term. S

Nombres complexes

(1ère partie)

Exercice n°1. Bac Asie, Juin 2002 (modifié)

1°) Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct(O,⃗u,⃗v), on

considère les quatre points A, B, C et D d'affixes respectives :

3 ; 4i ; -2 +3i et 1- i.

a) Placer les points A, B, C et D dans le plan. b) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse.

2°) On considère dans l'ensemble des nombres complexes, les deux équations :

z2-(1+3i)z-6+9i=0(1) et z2-(1+3i)z+4+4i=0(2) a) Montrer que l'équation (1) admet une solution réellez1 b) Montrer que l'équation (2) admet une solution imaginaire purez2. c) Montrer qu'il existe des nombres complexes a, b, c et d tels que z2-(1+3i)z-6+9i=(z-3)(az+b) et z2-(1+3i)z+4+4i=(z-4i)(cz+d) d) En déduire les ensembles de solutions des équations (1) et (2). Exercice n°2. Bac Nouvelle Calédonie, Décembre 2001 (modifié) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct(O,⃗u,⃗v), unité graphique 4 cm. Dans l'ensembleℂdes nombres complexes, i désigne le nombre imaginaire pure de module 1.

On considère le point A, d'affixe

zA=-i. A tout point M d'affixe z, M différent de A, on associe le point M' d'affixe z', défini par : z'=iz-2 z+i1°) Démontrer que si z est imaginaire pure et z≠-i, alors z' est imaginaire pure.

2°) Déterminer l'ensemble E1 des points M, dont les affixes vérifient :

z'=z.

3°) Déterminer l'ensemble E2 des points M tels que M' soit le symétrique

de M par rapport à O.

4°) Déterminer l'ensemble E3 des points M tels que

z'soit un nombre réel.

5°) Déterminer l'ensemble E4 des points M tels quez'soit imaginaire pur.

Exercice n°3. BAC

Pour tout nombre complexe

z, on poase P(z)=z4-11°) Factoriser P(z) dans

2°) En déduire les solutions, dans l'ensembleℂ, de l'équation P(z) = 0.

3°) En déduire les solutions dansℂde l'équation

(2z+1 z-1)4 =1d'inconnue z.

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Exercice n°1 corrigé :

1°.a) Placer les points A, B, C et D d'affixes respectives dans le plan complexezA=3;zB=4i;zC=-2+3ietzD=1-i.

Ceci correspond à A(3;0), B(0;4), C(-2;3) et D(1;-1) dans le plan réel ! b) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse. On doit d'abord émettre une conjecture qui doit commencer par " il semble que...» Graphiquement, il semble que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme. Pour cela, il suffit de démontrer une égalité de deux vecteurs : ⃗AB=⃗DCou bien ⃗AD=⃗BC. Pour démontrer l'égalité de deux vecteurs dans le plan complexe, il suffit de montrer qu'ils ont la même affixe :

On a : z

⃗AB=zB-zA=4i-3 et z DC=zC-zD=-23i-1-i=-23i-1i=-34i

Par conséquent :

⃗AB=⃗DC,