Chapitre 1

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Chapitre 11ère ES

Pourcentages et taux d'évolution

Ce que dit le programme :

CONTENUSCAPACITÉS ATTENDUESCOMMENTAIRES

Pourcentages

Lien entre une évolution

et un pourcentage.

Évolutions

successives Évolution réciproque.•Calculer une évolution exprimée en pourcentage. •Exprimer en pourcentage une

évolution.

•Connaissant deux taux d'évolution successifs, déterminer le taux d'évolution global. •Connaissant un taux d'évolution, déterminer le taux d'évolution réciproque. L'objectif est double : -entraîner les élèves à une pratique aisée de techniques élémentaires de calcul sur les pourcentages ; -amener les élèves à avoir une attitude critique vis-à-vis des informations chiffrées. Les situations d'évolutions successives ou d'évolution réciproque conduisent les élèves à s'approprier le coefficient multiplicateur1+t

100comme outil

efficace de résolution de problèmes. On fait observer que les évolutions peuvent également

être formulées en termes d'indices.

I. Évolution en pourcentage

1.1) Appliquer un pourcentage

Avant d'appliquer ou de calculer un pourcentage, il est nécessaire de préciser la population de référence ou la grandeur sur laquelle s'opère ce pourcentage. Définition 1. Appliquer un pourcentage t% à une grandeur V, revient à multiplier V par t 100.
t%deV=V×t

100Exemple. Pour calculer 7% ( =

7

100) de 54, on peut procéder de 3 manières :

7% de 54 = 54×7

100=

54×0,07= 3,78 on calcule d'abord 7

100
= 54

1×7

100 =54×7

100=
378

100= 3,78=

54

100×7 = 0,54×7 = 3,781.2) Calculer un pourcentage

Exemple. Dans la classe de 1ère ES2, il y a 21 filles sur 35 élèves.

1°) Calculer le pourcentage des filles dans cette classe.

2°) En déduire le pourcentage des garçons.

1ère ES © Abdellatif ABOUHAZIM - Lycée Fustel de Coulanges Massy www.logamaths.fr Page 1/10

1°) Pour calculer un pourcentage, on se ramène à une base de 100. C'est comme

s'il y avait 100 élèves dans la classe. On fait alors un tableau de proportionnalité.

Filles 21 t

Total35100

On écrit l'égalité des rapports : t

100=21

35ou bien, ce qui revient au même, on

écrit l'égalité des produits en croix. Ce qui donne : 35×t=21×100.On obtient donc : t=21×100 35=60
Conclusion. Les filles représentent 60% des élèves de cette classe.

2°) L'ensemble de la classe représente 100%. Donc le pourcentage des garçons

est : 100% - 60% = 40%. Conclusion. Les garçons représentent 40% des élèves de cette classe.

II. Évolution exprimée en pourcentage

2.1) Définitions et propriétés

L'augmentation ou la diminution d'une grandeur pendant une période, ou entre deux dates, s'appelle une évolution. On cherche à déterminer la nouvelle valeur connaissant la valeur initiale et le taux évolution de cette grandeur. On s'en sert beaucoup pour calculer des variations de grandeurs économiques : PIB (produit intérieur brut), masse salariale, inflation, chômage, investissements ou dépenses publiques.

Propriété 1.

Appliquer une augmentation de t% à une grandeur, revient à la multiplier par 1+t

100. Appliquer une diminution de t% à une grandeur, revient à la

multiplier par 1-t

100.Démonstration. SoientV0et

V1deux nombres réels strictement positifs. On

note V0la valeur initiale etV1la valeur finale d'une certaine grandeur. On dit aussi que V0est la valeur de départ etV1la valeur d'arrivée. Alors :

Si on applique une augmentation de t% à

V0,on obtient :

V1=

V0+t% de V01ère ES © Abdellatif ABOUHAZIM - Lycée Fustel de Coulanges Massy www.logamaths.fr Page 2/10

Donc :V1= V0+t

100×V0Donc :V1=1×V0+t

100×V0Ce qui donne : V1=

(1+t

100)×V0

D'une manière analogue, si on applique une diminution de t% à V0,on obtient : V1= (1-t

100)×V0.

Exemples.

Une augmentation de 5% revient à multiplier par :

1+5%=1+5

100=1,05Une diminution de 8% revient à multiplier par :

1-8%=1-8

100=0,92Définition 2.

SoientV0etV1les valeurs d'une grandeur à deux dates différentes.

Les coefficientsk=

(1+t

100)ou(1-t

100)s'appellent les coefficients

multiplicateurs qui permettent de passer deV0à V1.

Ce qui donne dans les deux cas :

V1=k×V0Remarques.

1°) Une augmentation correspond à un coefficient multiplicateur k > 1.

2°) Une diminution correspond à un coefficient multiplicateur 0 < k < 1.

On obtient le schéma suivant :

3°) Dans certains ouvrages le coefficient multiplicateur est noté : CM.

Propriété n°2.

Soient

V0etV1les valeurs d'une grandeur à deux dates différentes. Alors, le coefficient multiplicateur qui permet de passer de

V0àV1vérifie les égalités

équivalentes suivantes :

➔Calcul d'une valeur finale : (1) V1=k×V0➔Calcul d'une valeur initiale : (2) V0=V1 k ➔Calcul du coefficient multiplicateur : (3) k=V1 V0

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2.2) Exprimer une évolution en pourcentage

On considère deux nombres réels strictement positifs V0 et V1 qui représentent les valeurs respectives d'une grandeur entre deux dates. On peut exprimer l'évolution de la grandeur, en pourcentage, entre

V0etV1.Définition 3.

Soient

V0etV1les valeurs d'une grandeur à deux dates différentes. Alors, le taux d'évolutionTqui permet de passer de

V0àV1est défini par :

T=V1-V0

V0=Valeurfinale-Valeurinitiale

valeurinitialesous forme décimale Le taux d'évolution exprimé en pourcentage deV0àV1est égal à t% où : t=T×100ou encore : t=V1-V0

V0×100

Remarques.

Une augmentation correspond à un taux d'évolution positif : T > 0. Une diminution correspond à un taux d'évolution négatif T < 0.

Exemple.

Le chiffre d'affaire d'une entreprise est passé de 65 500 € en 2016 à 72 050 € en 2017.

1°) Calculer le coefficient multiplicateur de 65 500 à 72 050.

2°) Calculer le taux d'évolution du chiffre d'affaire, exprimé en pourcentage.

1°) Par définition, le coefficient multiplicateur de 65 500 à 72 050 est donné par :

k=V1

Chapitre 11ère ES

Pourcentages et taux d'évolution

Ce que dit le programme :

CONTENUSCAPACITÉS ATTENDUESCOMMENTAIRES

Pourcentages

Lien entre une évolution

et un pourcentage.

Évolutions

successives Évolution réciproque.•Calculer une évolution exprimée en pourcentage. •Exprimer en pourcentage une

évolution.

•Connaissant deux taux d'évolution successifs, déterminer le taux d'évolution global. •Connaissant un taux d'évolution, déterminer le taux d'évolution réciproque. L'objectif est double : -entraîner les élèves à une pratique aisée de techniques élémentaires de calcul sur les pourcentages ; -amener les élèves à avoir une attitude critique vis-à-vis des informations chiffrées. Les situations d'évolutions successives ou d'évolution réciproque conduisent les élèves à s'approprier le coefficient multiplicateur1+t

100comme outil

efficace de résolution de problèmes. On fait observer que les évolutions peuvent également

être formulées en termes d'indices.

I. Évolution en pourcentage

1.1) Appliquer un pourcentage

Avant d'appliquer ou de calculer un pourcentage, il est nécessaire de préciser la population de référence ou la grandeur sur laquelle s'opère ce pourcentage. Définition 1. Appliquer un pourcentage t% à une grandeur V, revient à multiplier V par t 100.
t%deV=V×t

100Exemple. Pour calculer 7% ( =

7

100) de 54, on peut procéder de 3 manières :

7% de 54 = 54×7

100=

54×0,07= 3,78 on calcule d'abord 7

100
= 54

1×7

100 =54×7

100=
378

100= 3,78=

54

100×7 = 0,54×7 = 3,781.2) Calculer un pourcentage

Exemple. Dans la classe de 1ère ES2, il y a 21 filles sur 35 élèves.

1°) Calculer le pourcentage des filles dans cette classe.

2°) En déduire le pourcentage des garçons.

1ère ES © Abdellatif ABOUHAZIM - Lycée Fustel de Coulanges Massy www.logamaths.fr Page 1/10

1°) Pour calculer un pourcentage, on se ramène à une base de 100. C'est comme

s'il y avait 100 élèves dans la classe. On fait alors un tableau de proportionnalité.

Filles 21 t

Total35100

On écrit l'égalité des rapports : t

100=21

35ou bien, ce qui revient au même, on

écrit l'égalité des produits en croix. Ce qui donne : 35×t=21×100.On obtient donc : t=21×100 35=60
Conclusion. Les filles représentent 60% des élèves de cette classe.

2°) L'ensemble de la classe représente 100%. Donc le pourcentage des garçons

est : 100% - 60% = 40%. Conclusion. Les garçons représentent 40% des élèves de cette classe.

II. Évolution exprimée en pourcentage

2.1) Définitions et propriétés

L'augmentation ou la diminution d'une grandeur pendant une période, ou entre deux dates, s'appelle une évolution. On cherche à déterminer la nouvelle valeur connaissant la valeur initiale et le taux évolution de cette grandeur. On s'en sert beaucoup pour calculer des variations de grandeurs économiques : PIB (produit intérieur brut), masse salariale, inflation, chômage, investissements ou dépenses publiques.

Propriété 1.

Appliquer une augmentation de t% à une grandeur, revient à la multiplier par 1+t

100. Appliquer une diminution de t% à une grandeur, revient à la

multiplier par 1-t

100.Démonstration. SoientV0et

V1deux nombres réels strictement positifs. On

note V0la valeur initiale etV1la valeur finale d'une certaine grandeur. On dit aussi que V0est la valeur de départ etV1la valeur d'arrivée. Alors :

Si on applique une augmentation de t% à

V0,on obtient :

V1=

V0+t% de V01ère ES © Abdellatif ABOUHAZIM - Lycée Fustel de Coulanges Massy www.logamaths.fr Page 2/10

Donc :V1= V0+t

100×V0Donc :V1=1×V0+t

100×V0Ce qui donne : V1=

(1+t

100)×V0

D'une manière analogue, si on applique une diminution de t% à V0,on obtient : V1= (1-t

100)×V0.

Exemples.

Une augmentation de 5% revient à multiplier par :

1+5%=1+5

100=1,05Une diminution de 8% revient à multiplier par :

1-8%=1-8

100=0,92Définition 2.

SoientV0etV1les valeurs d'une grandeur à deux dates différentes.

Les coefficientsk=

(1+t

100)ou(1-t

100)s'appellent les coefficients

multiplicateurs qui permettent de passer deV0à V1.

Ce qui donne dans les deux cas :

V1=k×V0Remarques.

1°) Une augmentation correspond à un coefficient multiplicateur k > 1.

2°) Une diminution correspond à un coefficient multiplicateur 0 < k < 1.

On obtient le schéma suivant :

3°) Dans certains ouvrages le coefficient multiplicateur est noté : CM.

Propriété n°2.

Soient

V0etV1les valeurs d'une grandeur à deux dates différentes. Alors, le coefficient multiplicateur qui permet de passer de

V0àV1vérifie les égalités

équivalentes suivantes :

➔Calcul d'une valeur finale : (1) V1=k×V0➔Calcul d'une valeur initiale : (2) V0=V1 k ➔Calcul du coefficient multiplicateur : (3) k=V1 V0

1ère ES © Abdellatif ABOUHAZIM - Lycée Fustel de Coulanges Massy www.logamaths.fr Page 3/10

2.2) Exprimer une évolution en pourcentage

On considère deux nombres réels strictement positifs V0 et V1 qui représentent les valeurs respectives d'une grandeur entre deux dates. On peut exprimer l'évolution de la grandeur, en pourcentage, entre

V0etV1.Définition 3.

Soient

V0etV1les valeurs d'une grandeur à deux dates différentes. Alors, le taux d'évolutionTqui permet de passer de

V0àV1est défini par :

T=V1-V0

V0=Valeurfinale-Valeurinitiale

valeurinitialesous forme décimale Le taux d'évolution exprimé en pourcentage deV0àV1est égal à t% où : t=T×100ou encore : t=V1-V0

V0×100

Remarques.

Une augmentation correspond à un taux d'évolution positif : T > 0. Une diminution correspond à un taux d'évolution négatif T < 0.

Exemple.

Le chiffre d'affaire d'une entreprise est passé de 65 500 € en 2016 à 72 050 € en 2017.

1°) Calculer le coefficient multiplicateur de 65 500 à 72 050.

2°) Calculer le taux d'évolution du chiffre d'affaire, exprimé en pourcentage.

1°) Par définition, le coefficient multiplicateur de 65 500 à 72 050 est donné par :

k=V1