Fonctions trigonométriques réciproques
Alors cette fonction " sin " est bijective et on peut définir sa fonction réciproque appelée arc sinus ainsi : arcsin : [-1;1] → [-.
fcts trigo rec
Théorème de la bijection : exemples de rédaction
De plus comme f est strictement croissante
Illustration bijection
Corrigé du TD no 11
Soient f et g deux fonctions continues R → R. On suppose que : (pour un calcul plus détaillé d'une bijection réciproque voir l'exercice suivant).
TD corrige
FONCTION RECIPROQUE D'UNE FONCTION CONTINUE D'UNE
)( )( bf af ≠ donc f est injective de I sur f(I). définition (fonction réciproque). Soit f une fonction bijective de I sur J où J est un intervalle de R. On
fctsrec
Chapitre V Fonctions arcsin arccos
http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/L1/cours10.pdf
II. Fonctions cyclométriques. 1. Introduction 2. La fonction réciproque
4/01/2014 que la fonction initiale soit injective (c'est à dire qu'un réel ne ... la fonction réciproque comme le montre le schéma ci-contre.
Cours : Ensembles et applications
sera la notion d'application (ou fonction) entre deux ensembles. 1. Ensembles L'application g ◦ f est bijective et sa bijection réciproque est.
ch ensembles
Injection surjection
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00003.pdf
COURS TERMINALE S LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN A
On dit alors que f réalise une bijection de I dans f(I). On admet qu'il existe alors une fonction réciproque de f notée f– 1.
coursTS ln
CHAPITRE 19 Dérivation des fonctions d'une variable réelle
Connaître la définition de fonction dérivée et les dérivées des fonctions Donc f est bijective et sa fonction réciproque (arctan) a pour dérivée :.
chap VP
CHAPITRE19
Dérivation des fonctions d"une variable réelleSommaire
19.1 Nombre dérivé et fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2
19.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2
19.1.2 Continuité et dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 4
19.2 Calcul des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 5
19.2.1 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 5
19.2.2 Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8
19.3 FonctionsCk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
19.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 9
19.3.2 Opérations et dérivéesnièmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
19.3.3 Dérivées d"un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10
19.3.4 Composée de fonctionsCk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
19.4 Variation des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 11
19.4.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 11
19.4.2 Extrema locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 12
19.5 Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 13
19.5.1 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 13
19.5.2 Egalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 14
19.5.3 Application : prolongement d"une application de classeC1. . . . . . . . . . . . . . . 15
19.6 Fonctions de classeC1par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Objectifs :
- Connaître la définition du nombre dérivé, de la dérivabilité en un point et sur un intervalle.
- Connaître la définition de la tangente en un point au graphe d"une fonction, savoir déterminer une
équation cartésienne d"une tangente.
- Connaître la définition de dérivée à droite et à gauche et la caractérisation de la dérivabilité en un
point à partir de la dérivabilité à gauche et à droite.- Connaître la définition de fonction dérivée et les dérivéesdes fonctions usuelles.
- Connaître les opérations sur les fonctions dérivables. - Connaître la dérivée d"une application réciproque. - Connaître le lien entre nullité du nombre dérivé et extremum local. - Connaître le théorème et l"inégalité des accroissements finis. - Connaître le lien entre sens de variation d"une fonction etsigne de la fonction dérivée.- Connaître la définition de dérivéekièmed"une fonction, la définition de fonction de classeCk.
- Connaître les opérations sur les fonctionskfois dérivables en particulier la formule de Leibniz.
Dans tout ce chapitreKdésigne le corpsRouC,Iest un intervalle deR, non vide et non réduit à un
point. On désignera parfune fonction deIdansKetaun point deI. ATS 2014-15 Lycée François AragoS. Rénier Page 2/17Chapitre 19: Dérivation des fonctions d"une variable réelle19.1 Nombre dérivé et fonction dérivée
19.1.1 Définitions
Nombre dérivé et fonction dérivée
Définition 1
On appellenombre dérivédefena, la limite, si celle-ci existe dutaux d"accroissement f(a+h)-f(a) h quandhtend vers 0,h?= 0.On note alors ce nombre
f?(a)et on dit quefestdérivable au pointa?I.Définition 2
Sifest dérivable en tout point d"un intervalleIdeR, alors on définit la fonctionf?surIpar f?:x?→f?(x) qu"on appellefonction dérivéedefsurI.Définition 3
Sifest dérivable ena, on appelle tangente au pointAde coordonnées (a,f?(a)) la droitepassant parAet de pentef?(a)Notation 1
On note égalementdf
dxla fonctionf?.Interprétations graphique et cinématique
On peut donner l"équation cartésienne de la tangente à la courbe d"équationy=f(x) au pointa, sifest
dérivable au pointa. En effet, cette tangente a pour équation y=f(a) +f?(a)(x-a)0af(a)
Considérons un mobileMqui parcourt une certaine trajectoire, à chaque instantt, il se trouve à un endroit
précis de la trajectoire. La distancedparcourue par le mobileMdepuis l"instant de initial (notét0) est
fonction du tempst, on a doncd=f(t) oùfest une fonction.La vitesse moyenne donne juste une indication globale sur l"allure du mobile entret0ett1mais on ne peut
S. RénierLycée François Arago ATS 2014-15 Chapitre 19: Dérivation des fonctions d"une variable réellePage 3/17pas affirmer que la vitesse a toujours été la même entret0ett1. On ne connait pas la vitesse instantanée
à l"instantt0, cette vitesse peut très bien être inférieure, supérieure ou égale à la vitesse moyenne. Pour
approcher cette vitesse instantanée, on va choisir un instanttle plus proche possible det0. Ainsi v instantanée(t0) = limt→t0f(t)-f(t0) t-t0=f?(t0).Exemples
Exemple 1
La dérivée def:x?→x2est 2x.
En effet,?x?R,
f(x+h)-f(x) h=(x+h)2-x2h=2xh+h2h= 2x+h-→h→0h?=02xExemple 2
En utilisant la définition, retrouver les dérivées des fonctions suivantes :1.f(x) =ex.
2.f(x) = lnx.
3.f(x) = sinx.
Dérivées à gauche et à droite
Définition 4
On dit quefestdérivable à droite enxsilimh→0h>0f(x+h)-f(x)hexiste et est finie. On note alors
f?d(x)ce nombre dérivé. Analoguement, on dit quefest dérivable à gauche enxsi limh→0h<0f(x+h)-f(x)hexiste et est finie. On note alors f?g(x)ce nombre dérivé.Proposition 1
Une fonctionfest dérivable enxsi et seulement si elle est dérivableà droite et à gauche enxet
que ces dérivées sontégales.
Exemple 3
Calculer le nombre dérivé à droite et à gauche, en 0 de la fonction valeur absolue. Cette fonction est-elle
dérivable en 0? ATS 2014-15 Lycée François AragoS. Rénier Page 4/17Chapitre 19: Dérivation des fonctions d"une variable réelle19.1.2 Continuité et dérivabilité
Proposition 2
Si la fonctionfest dérivable enaalors elle estcontinue ena. Preuve :Si la fonction est dérivable enaalors la limite def(a+h)-f(a) hexiste et est finie. Ceciimplique que le numérateur tend vers 0 car sinon cette fonction prendrait des valeurs infiniment grandes.
D"où limh→0f(a+h)-f(a) = 0 et doncfest continue ena.Remarque 1
La réciproque de cette proposition est fausse.
Exemple 4
Montrer que les fonctions suivantes sont continues mais pasdérivables en 0.1.f:?R→R
x?→ |x|2.f:?R
CHAPITRE19
Dérivation des fonctions d"une variable réelleSommaire
19.1 Nombre dérivé et fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2
19.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2
19.1.2 Continuité et dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 4
19.2 Calcul des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 5
19.2.1 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 5
19.2.2 Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8
19.3 FonctionsCk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
19.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 9
19.3.2 Opérations et dérivéesnièmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
19.3.3 Dérivées d"un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10
19.3.4 Composée de fonctionsCk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
19.4 Variation des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 11
19.4.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 11
19.4.2 Extrema locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 12
19.5 Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 13
19.5.1 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 13
19.5.2 Egalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 14
19.5.3 Application : prolongement d"une application de classeC1. . . . . . . . . . . . . . . 15
19.6 Fonctions de classeC1par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Objectifs :
- Connaître la définition du nombre dérivé, de la dérivabilité en un point et sur un intervalle.
- Connaître la définition de la tangente en un point au graphe d"une fonction, savoir déterminer une
équation cartésienne d"une tangente.
- Connaître la définition de dérivée à droite et à gauche et la caractérisation de la dérivabilité en un
point à partir de la dérivabilité à gauche et à droite.- Connaître la définition de fonction dérivée et les dérivéesdes fonctions usuelles.
- Connaître les opérations sur les fonctions dérivables. - Connaître la dérivée d"une application réciproque. - Connaître le lien entre nullité du nombre dérivé et extremum local. - Connaître le théorème et l"inégalité des accroissements finis. - Connaître le lien entre sens de variation d"une fonction etsigne de la fonction dérivée.- Connaître la définition de dérivéekièmed"une fonction, la définition de fonction de classeCk.
- Connaître les opérations sur les fonctionskfois dérivables en particulier la formule de Leibniz.
Dans tout ce chapitreKdésigne le corpsRouC,Iest un intervalle deR, non vide et non réduit à un
point. On désignera parfune fonction deIdansKetaun point deI. ATS 2014-15 Lycée François AragoS. Rénier Page 2/17Chapitre 19: Dérivation des fonctions d"une variable réelle19.1 Nombre dérivé et fonction dérivée
19.1.1 Définitions
Nombre dérivé et fonction dérivée
Définition 1
On appellenombre dérivédefena, la limite, si celle-ci existe dutaux d"accroissement f(a+h)-f(a) h quandhtend vers 0,h?= 0.On note alors ce nombre
f?(a)et on dit quefestdérivable au pointa?I.Définition 2
Sifest dérivable en tout point d"un intervalleIdeR, alors on définit la fonctionf?surIpar f?:x?→f?(x) qu"on appellefonction dérivéedefsurI.Définition 3
Sifest dérivable ena, on appelle tangente au pointAde coordonnées (a,f?(a)) la droitepassant parAet de pentef?(a)Notation 1
On note égalementdf
dxla fonctionf?.Interprétations graphique et cinématique
On peut donner l"équation cartésienne de la tangente à la courbe d"équationy=f(x) au pointa, sifest
dérivable au pointa. En effet, cette tangente a pour équation y=f(a) +f?(a)(x-a)0af(a)
Considérons un mobileMqui parcourt une certaine trajectoire, à chaque instantt, il se trouve à un endroit
précis de la trajectoire. La distancedparcourue par le mobileMdepuis l"instant de initial (notét0) est
fonction du tempst, on a doncd=f(t) oùfest une fonction.La vitesse moyenne donne juste une indication globale sur l"allure du mobile entret0ett1mais on ne peut
S. RénierLycée François Arago ATS 2014-15 Chapitre 19: Dérivation des fonctions d"une variable réellePage 3/17pas affirmer que la vitesse a toujours été la même entret0ett1. On ne connait pas la vitesse instantanée
à l"instantt0, cette vitesse peut très bien être inférieure, supérieure ou égale à la vitesse moyenne. Pour
approcher cette vitesse instantanée, on va choisir un instanttle plus proche possible det0. Ainsi v instantanée(t0) = limt→t0f(t)-f(t0) t-t0=f?(t0).Exemples
Exemple 1
La dérivée def:x?→x2est 2x.
En effet,?x?R,
f(x+h)-f(x) h=(x+h)2-x2h=2xh+h2h= 2x+h-→h→0h?=02xExemple 2
En utilisant la définition, retrouver les dérivées des fonctions suivantes :1.f(x) =ex.
2.f(x) = lnx.
3.f(x) = sinx.
Dérivées à gauche et à droite
Définition 4
On dit quefestdérivable à droite enxsilimh→0h>0f(x+h)-f(x)hexiste et est finie. On note alors
f?d(x)ce nombre dérivé. Analoguement, on dit quefest dérivable à gauche enxsi limh→0h<0f(x+h)-f(x)hexiste et est finie. On note alors f?g(x)ce nombre dérivé.Proposition 1
Une fonctionfest dérivable enxsi et seulement si elle est dérivableà droite et à gauche enxet
que ces dérivées sontégales.
Exemple 3
Calculer le nombre dérivé à droite et à gauche, en 0 de la fonction valeur absolue. Cette fonction est-elle
dérivable en 0? ATS 2014-15 Lycée François AragoS. Rénier Page 4/17Chapitre 19: Dérivation des fonctions d"une variable réelle19.1.2 Continuité et dérivabilité
Proposition 2
Si la fonctionfest dérivable enaalors elle estcontinue ena. Preuve :Si la fonction est dérivable enaalors la limite def(a+h)-f(a) hexiste et est finie. Ceciimplique que le numérateur tend vers 0 car sinon cette fonction prendrait des valeurs infiniment grandes.
D"où limh→0f(a+h)-f(a) = 0 et doncfest continue ena.