FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
Dans cet ouvrage qui est la finalité d'un travail de 20 ans
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FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL. En 1614 un mathématicien écossais
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LOGARITHME NEPERIEN
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Page 1 sur 41 Cours de Mathématiques - Terminale STG COURS DE MATHEMATIQUES - TERMINALE STG
Chapitre 1. TAUX D"EVOLUTION.......................................................................................................................5
§ 1. TAUX D" EVOLUTION ET COEFFICIENTS MULTIPLICATEURS.................................5a. Taux d"évolution...............................................................................................................................5
b. Coefficient multiplicateur................................................................................................................5
c. Calcul d"une grandeur.....................................................................................................................6
d. Evolution réciproque........................................................................................................................6
§ 2. EVOLUTIONS SUCCESSIVES.................................................................................................6
a. Taux global........................................................................................................................................6
b. Taux moyen.......................................................................................................................................7
§ 3. EVOLUTIONS EN TERME D"INDICES.................................................................................7
a. Indice simple.....................................................................................................................................7
b. Taux d"évolution en terme d"indices...............................................................................................7
§ 4. PETITS TAUX D"EVOLUTION...............................................................................................8
a. Taux global........................................................................................................................................8
b. Taux moyen.......................................................................................................................................8
c. Evolution réciproque........................................................................................................................8
Chapitre 2. SUITES..................................................................................................................................................9
§ 1.
SUITES ARITHMETIQUES......................................................................................................9
a. Suite arithmétique............................................................................................................................9
b. Formule explicite de un en fonction de n.........................................................................................9
c. Sens de variation d"une suite arithmétique..................................................................................10
d. Représentation graphique d"une suite arithmétique...................................................................10
e. Somme de termes consécutifs d"une suite arithmétique..............................................................10
§ 2. SUITES GEOMETRIQUES.....................................................................................................11
a. Définition d"une suite géométrique...............................................................................................11
b. Formule explicite de un en fonction de n.......................................................................................11
c. Sens de variation d"une suite géométrique...................................................................................12
d. Représentation graphique d"une suite géométrique....................................................................12
e. Somme de termes consécutifs d"une suite géométrique...............................................................12
§ 3. APPLICATIONS ECONOMIQUES........................................................................................13
a. Intérêts simples...............................................................................................................................13
b. Intérêts composés............................................................................................................................13
c. Valeur actuelle d"une suite d"annuités constantes.......................................................................14
d. Annuité d"un emprunt à d"annuités constantes...........................................................................14
Chapitre 3. PROGRAMMATION LINEAIRE....................................................................................................15
§ 1. EQUATIONS DE DROITES....................................................................................................15
Page 2 sur 41 Cours de Mathématiques - Terminale STGa. Equation d"une droite non parallèle à l"axe des ordonnées........................................................15
b. Equation cartésienne d"une droite................................................................................................16
c. Parallélisme de droites...................................................................................................................16
d. Résolution d"un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues..................................................16
§ 2. SYSTEMES LINEAIRES D" INEQUATIONS A 2 INCONNUES......................................17a. Résolution graphique d"une inéquation à 2 inconnues................................................................17
b. Résolution graphique d"un système d"inéquations à 2 inconnues..............................................17
§ 3. PROGRAMMATION LINEAIRE...........................................................................................18
Chapitre 4. STATISTIQUES.................................................................................................................................19
§ 1. SERIES STATISTIQUES SIMPLES.......................................................................................19
a. Série de notes...................................................................................................................................19
b. Série classée.....................................................................................................................................19
§ 2. SERIES STATISTIQUES DOUBLES.....................................................................................19
a. Série statistique double...................................................................................................................19
b. Nuage de points...............................................................................................................................20
c. Point moyen.....................................................................................................................................20
d. Ajustement affine............................................................................................................................21
Chapitre 5. FONCTION DERIVEE.....................................................................................................................22
§ 1. NOMBRE DERIVE...................................................................................................................22
a. Tangente à une courbe en un point...............................................................................................22
b. Nombre dérivé d"une fonction en un réel.....................................................................................22
c. Equation de la tangente à une courbe en un point.......................................................................22
§ 2. CALCUL DE DERIVEES.........................................................................................................23
a. Fonctions dérivée............................................................................................................................23
b. Dérivée des fonctions usuelles........................................................................................................23
c. Dérivées et opérations.....................................................................................................................24
d. Dérivées et composition..................................................................................................................24
§ 3. LECTURE GRAPHIQUE.........................................................................................................25
Chapitre 6. ETUDE DE FONCTIONS.................................................................................................................26
§ 1. SENS DE VARIATIONS D"UNE FONCTION.......................................................................26
a. Signe de la dérivée et monotonie...................................................................................................26
b. Sens de variations et tableau de variations...................................................................................26
c. Etude du sens de variations d"une fonction polynôme................................................................27
d. Etude du sens de variations d"une fonction rationnelle...............................................................27
§ 2. EXTREMUM D"UNE FONCTION.........................................................................................27
a. Minimum d"une fonction...............................................................................................................27
b. Maximum d"une fonction...............................................................................................................28
Page 3 sur 41 Cours de Mathématiques - Terminale STGc. Dérivée et extremum.......................................................................................................................29
§ 3. RESOLUTION D"EQUATIONS ET D"INEQUATIONS......................................................30
a. Résolution graphique d"une équation du type f(x) = k................................................................30
b. Résolution graphique d"une inéquation du type f(x) < k.............................................................30
Chapitre 7. PROBABILITES................................................................................................................................31
§ 1. ORGANISATION DE DONNEES...........................................................................................31
a. Tableau à double entrée.................................................................................................................31
b. Arbre................................................................................................................................................31
c. Diagramme de Venn.......................................................................................................................31
§ 2. VOCABULAIRE DES PROBABILITES................................................................................32
a. Loi de probabilité............................................................................................................................32
b. Probabilité d"un événement...........................................................................................................32
c. Evénement contraire......................................................................................................................33
§ 3. INTERSECTION ET REUNION DE DEUX EVENEMENTS.............................................33a. Intersection de 2 événements.........................................................................................................33
b. Réunion de 2 événements...............................................................................................................34
§ 4. PROBABILITES CONDITIONNELLES...............................................................................34
a. Approche.........................................................................................................................................34
b. Probabilité conditionnelle..............................................................................................................35
c. Arbre de probabilités.....................................................................................................................35
Chapitre 8. FONCTION LOGARITHME ET FONCTION EXPONENTIELLE...........................................36
§ 1. FONCTION LOGARITHME NEPERIEN.............................................................................36
a. Fonction logarithme népérien........................................................................................................36
b. Sens de variations...........................................................................................................................36
c. Le nombre e.....................................................................................................................................36
d. Représentation graphique..............................................................................................................37
e. Propriétés algébriques....................................................................................................................37
§ 2. PUISSANCES REELLES.........................................................................................................37
a. Puissances réelles............................................................................................................................37
b. Résolution d"équations du type ax = k...........................................................................................38
c. Résolution d"équations du type xn = a...........................................................................................38
§ 3. FONCTION EXPONENTIELLE.............................................................................................38
a. Fonction exponentielle....................................................................................................................38
b. Propriétés algébriques....................................................................................................................39
c. Sens de variations...........................................................................................................................39
d. Représentation graphique..............................................................................................................39
e. Complément sur les dérivées.........................................................................................................40
§ 4. FONCTIONS EXPONENTIELLES........................................................................................40
Page 4 sur 41 Cours de Mathématiques - Terminale STGa. Fonction exponentielle de base a ; a > 0........................................................................................40
b. Dérivée.............................................................................................................................................40
c. Sens de variation.............................................................................................................................40
d. Représentation graphique..............................................................................................................41
§ 5. LIEN AVEC LES SUITES GEOMETRIQUES......................................................................41
a. Sens de variation d"une suite géométrique...................................................................................41
b. Application......................................................................................................................................41
Page 5 sur 41 Cours de Mathématiques - Terminale STGChapitre 1. TAUX D"EVOLUTION
§ 1. TAUX D" EVOLUTION ET COEFFICIENTS MULTIPLICATEURS a. Taux d"évolutionDéfinition :
Lorsqu"une grandeur évolue de la valeur y
1 à la valeur y2, le taux d"évolution t est donné par :
· t = y2 - y1
y1.Exercice :
Dans chaque cas, calculer le taux d"évolution de la grandeur concernée. i. Un article coûtait 35 € en juin 2007 et 42 € en septembre 2007. ii. Le cours d"une action est passé de 60 € à 57 € en un jour. i. On a : t = y2 - y1 y1 = 42 - 3535 = 7
35 = 0,20 = + 20 %. Le prix de l"article a augmenté de 20 %.
ii. On a : t = y2 - y1 y1 = 57 - 6060 = - 3
60 = - 0,05 = - 5 %. Le cours de l"action a diminué de 5 %.
b. Coefficient multiplicateurDéfinition :
Le coefficient multiplicateur c d"une grandeur qui évolue de la valeur y1 à la valeur y2 est donné par :
· c = y2
y1.Exemple :
· Un article coûtait 35 € en juin 2007 et 42 € en septembre 2007.On a : c = 4235 = 1,20.
Propriété :
Soit t le taux d"évolution d"une grandeur qui évolue de la valeur y1 à la valeur y2 et c le coefficient
multiplicateur de cette grandeur. On a :· c = 1 + t.
Remarques :
i. Si t > 0, alors c > 1. ii. Si t < 0, alors 0 < c < 1. Page 1 sur 41 Cours de Mathématiques - Terminale STGCOURS DE MATHEMATIQUES - TERMINALE STG
Chapitre 1. TAUX D"EVOLUTION.......................................................................................................................5
§ 1. TAUX D" EVOLUTION ET COEFFICIENTS MULTIPLICATEURS.................................5a. Taux d"évolution...............................................................................................................................5
b. Coefficient multiplicateur................................................................................................................5
c. Calcul d"une grandeur.....................................................................................................................6
d. Evolution réciproque........................................................................................................................6
§ 2. EVOLUTIONS SUCCESSIVES.................................................................................................6
a. Taux global........................................................................................................................................6
b. Taux moyen.......................................................................................................................................7
§ 3. EVOLUTIONS EN TERME D"INDICES.................................................................................7
a. Indice simple.....................................................................................................................................7
b. Taux d"évolution en terme d"indices...............................................................................................7
§ 4. PETITS TAUX D"EVOLUTION...............................................................................................8
a. Taux global........................................................................................................................................8
b. Taux moyen.......................................................................................................................................8
c. Evolution réciproque........................................................................................................................8
Chapitre 2. SUITES..................................................................................................................................................9
§ 1.
SUITES ARITHMETIQUES......................................................................................................9
a. Suite arithmétique............................................................................................................................9
b. Formule explicite de un en fonction de n.........................................................................................9
c. Sens de variation d"une suite arithmétique..................................................................................10
d. Représentation graphique d"une suite arithmétique...................................................................10
e. Somme de termes consécutifs d"une suite arithmétique..............................................................10
§ 2. SUITES GEOMETRIQUES.....................................................................................................11
a. Définition d"une suite géométrique...............................................................................................11
b. Formule explicite de un en fonction de n.......................................................................................11
c. Sens de variation d"une suite géométrique...................................................................................12
d. Représentation graphique d"une suite géométrique....................................................................12
e. Somme de termes consécutifs d"une suite géométrique...............................................................12
§ 3. APPLICATIONS ECONOMIQUES........................................................................................13
a. Intérêts simples...............................................................................................................................13
b. Intérêts composés............................................................................................................................13
c. Valeur actuelle d"une suite d"annuités constantes.......................................................................14
d. Annuité d"un emprunt à d"annuités constantes...........................................................................14
Chapitre 3. PROGRAMMATION LINEAIRE....................................................................................................15
§ 1. EQUATIONS DE DROITES....................................................................................................15
Page 2 sur 41 Cours de Mathématiques - Terminale STGa. Equation d"une droite non parallèle à l"axe des ordonnées........................................................15
b. Equation cartésienne d"une droite................................................................................................16
c. Parallélisme de droites...................................................................................................................16
d. Résolution d"un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues..................................................16
§ 2. SYSTEMES LINEAIRES D" INEQUATIONS A 2 INCONNUES......................................17a. Résolution graphique d"une inéquation à 2 inconnues................................................................17
b. Résolution graphique d"un système d"inéquations à 2 inconnues..............................................17
§ 3. PROGRAMMATION LINEAIRE...........................................................................................18
Chapitre 4. STATISTIQUES.................................................................................................................................19
§ 1. SERIES STATISTIQUES SIMPLES.......................................................................................19
a. Série de notes...................................................................................................................................19
b. Série classée.....................................................................................................................................19
§ 2. SERIES STATISTIQUES DOUBLES.....................................................................................19
a. Série statistique double...................................................................................................................19
b. Nuage de points...............................................................................................................................20
c. Point moyen.....................................................................................................................................20
d. Ajustement affine............................................................................................................................21
Chapitre 5. FONCTION DERIVEE.....................................................................................................................22
§ 1. NOMBRE DERIVE...................................................................................................................22
a. Tangente à une courbe en un point...............................................................................................22
b. Nombre dérivé d"une fonction en un réel.....................................................................................22
c. Equation de la tangente à une courbe en un point.......................................................................22
§ 2. CALCUL DE DERIVEES.........................................................................................................23
a. Fonctions dérivée............................................................................................................................23
b. Dérivée des fonctions usuelles........................................................................................................23
c. Dérivées et opérations.....................................................................................................................24
d. Dérivées et composition..................................................................................................................24
§ 3. LECTURE GRAPHIQUE.........................................................................................................25
Chapitre 6. ETUDE DE FONCTIONS.................................................................................................................26
§ 1. SENS DE VARIATIONS D"UNE FONCTION.......................................................................26
a. Signe de la dérivée et monotonie...................................................................................................26
b. Sens de variations et tableau de variations...................................................................................26
c. Etude du sens de variations d"une fonction polynôme................................................................27
d. Etude du sens de variations d"une fonction rationnelle...............................................................27
§ 2. EXTREMUM D"UNE FONCTION.........................................................................................27
a. Minimum d"une fonction...............................................................................................................27
b. Maximum d"une fonction...............................................................................................................28
Page 3 sur 41 Cours de Mathématiques - Terminale STGc. Dérivée et extremum.......................................................................................................................29
§ 3. RESOLUTION D"EQUATIONS ET D"INEQUATIONS......................................................30
a. Résolution graphique d"une équation du type f(x) = k................................................................30
b. Résolution graphique d"une inéquation du type f(x) < k.............................................................30
Chapitre 7. PROBABILITES................................................................................................................................31
§ 1. ORGANISATION DE DONNEES...........................................................................................31
a. Tableau à double entrée.................................................................................................................31
b. Arbre................................................................................................................................................31
c. Diagramme de Venn.......................................................................................................................31
§ 2. VOCABULAIRE DES PROBABILITES................................................................................32
a. Loi de probabilité............................................................................................................................32
b. Probabilité d"un événement...........................................................................................................32
c. Evénement contraire......................................................................................................................33
§ 3. INTERSECTION ET REUNION DE DEUX EVENEMENTS.............................................33a. Intersection de 2 événements.........................................................................................................33
b. Réunion de 2 événements...............................................................................................................34
§ 4. PROBABILITES CONDITIONNELLES...............................................................................34
a. Approche.........................................................................................................................................34
b. Probabilité conditionnelle..............................................................................................................35
c. Arbre de probabilités.....................................................................................................................35
Chapitre 8. FONCTION LOGARITHME ET FONCTION EXPONENTIELLE...........................................36
§ 1. FONCTION LOGARITHME NEPERIEN.............................................................................36
a. Fonction logarithme népérien........................................................................................................36
b. Sens de variations...........................................................................................................................36
c. Le nombre e.....................................................................................................................................36
d. Représentation graphique..............................................................................................................37
e. Propriétés algébriques....................................................................................................................37
§ 2. PUISSANCES REELLES.........................................................................................................37
a. Puissances réelles............................................................................................................................37
b. Résolution d"équations du type ax = k...........................................................................................38
c. Résolution d"équations du type xn = a...........................................................................................38
§ 3. FONCTION EXPONENTIELLE.............................................................................................38
a. Fonction exponentielle....................................................................................................................38
b. Propriétés algébriques....................................................................................................................39
c. Sens de variations...........................................................................................................................39
d. Représentation graphique..............................................................................................................39
e. Complément sur les dérivées.........................................................................................................40
§ 4. FONCTIONS EXPONENTIELLES........................................................................................40
Page 4 sur 41 Cours de Mathématiques - Terminale STGa. Fonction exponentielle de base a ; a > 0........................................................................................40
b. Dérivée.............................................................................................................................................40
c. Sens de variation.............................................................................................................................40
d. Représentation graphique..............................................................................................................41
§ 5. LIEN AVEC LES SUITES GEOMETRIQUES......................................................................41
a. Sens de variation d"une suite géométrique...................................................................................41
b. Application......................................................................................................................................41
Page 5 sur 41 Cours de Mathématiques - Terminale STGChapitre 1. TAUX D"EVOLUTION
§ 1. TAUX D" EVOLUTION ET COEFFICIENTS MULTIPLICATEURS a. Taux d"évolutionDéfinition :
Lorsqu"une grandeur évolue de la valeur y
1 à la valeur y2, le taux d"évolution t est donné par :
· t = y2 - y1
y1.Exercice :
Dans chaque cas, calculer le taux d"évolution de la grandeur concernée. i. Un article coûtait 35 € en juin 2007 et 42 € en septembre 2007. ii. Le cours d"une action est passé de 60 € à 57 € en un jour. i. On a : t = y2 - y1 y1 = 42 - 3535 = 7
35 = 0,20 = + 20 %. Le prix de l"article a augmenté de 20 %.
ii. On a : t = y2 - y1 y1 = 57 - 6060 = - 3
60 = - 0,05 = - 5 %. Le cours de l"action a diminué de 5 %.
b. Coefficient multiplicateurDéfinition :
Le coefficient multiplicateur c d"une grandeur qui évolue de la valeur y1 à la valeur y2 est donné par :
· c = y2
y1.Exemple :
· Un article coûtait 35 € en juin 2007 et 42 € en septembre 2007.On a : c = 4235 = 1,20.
Propriété :
Soit t le taux d"évolution d"une grandeur qui évolue de la valeur y1 à la valeur y2 et c le coefficient
multiplicateur de cette grandeur. On a :· c = 1 + t.
Remarques :
i. Si t > 0, alors c > 1. ii. Si t < 0, alors 0 < c < 1.- logarithme cours pdf
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