Fonction logarithme décimal cours de terminale STMG
Fonction logarithme décimal cours de terminale STMG. F.Gaudon. 21 mai 2022. Table des matières. 1 Définition et propriétés algébriques.
fonctionLogCoursTSTMG
Fonction logarithme décimal cours
http://mathsfg.net.free.fr/terminale/TSTMG2020/fonctionLog/fonctionLogCoursACompleterTSTMG.pdf
FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL. En 1614 un mathématicien écossais
LogTT
Exercices - Fonction logarithme décimal - Terminale STHR
EXERCICES. MATHÉMATIQUES. TERMINALE STHR. CHAPITRE N°4. Lycée Jean DROUANT. FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL. EXERCICE 1. Résoudre les équations suivantes :.
fonction logarithme decimal
Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6
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Exercices
DS N°4 TH1 FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL
15 déc. 2020 FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL. EXERCICE 1. • L'écriture scientifique d'un ... On arrondira les logarithmes à trois chiffres après la virgule.
ds logarithme decimal TH
fonction logarithme décimal
Formule Explicite définition : (fonction logarithme de base 10 ou fonction logarithme décimal) quel que soit le nombre réel positif strict x > 0 :.
fonction logarithme decimal
Logarthime décimal
La fonction logarithme décimal. Processus de résolution d'équations du type log(ax) = b (avec a > 0). Attitudes. Le goût de chercher et de raisonner. La rigueur
cours fonction log Stéphane Toson
MATHEMATIQUES
La fonction logarithme décimal notée log
Logarithme decimal
logarithme décimal
CHAPITRE 6 ™ FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL. 81. 2. Connaître la courbe et le sens de variation En multipliant par – 3 la fonction logarithme décimal on.
chap corr
F.Gaudon
21 mai 2022
Table des matières
1 Définition et propriétés algébriques
22 Étude de la fonction logarithme décimal
32.1 Dérivabilité et variations
32.2 Tableau de variation
32.3 Tableau de signe
32.4 Représentation graphique
32.5 Résolution d"équations et d"inéquations
4 1Fonction logarithme décimal, Terminale STMG
1 Définition et propriétés algébriques
Définition :On appelle fonctionlogarithme décimalet on notelogla fonction qui àtout réelxstrictement positifassocie l"unique réelytel que10y=xOn a donc pour toutx >0et toutyréel,log(x) =ysi et seulement si10y=x.Exemples [Savoir résoudre des équations de la forme10x=y] :
•log(106) = 6; •log(10-11) =-11. •10x= 2équivaut àx= log(2). Propriétés :•Pour tout réelx >0,10log(x)=x; •pour tout réelx,log(10x) =x; •log(1) = 0etlog(10) = 1Preuve :Conséquences directes de la définition.
Propriété fondamentale des logarithmes :Pour tous les réelsaetbstrictement positifs,log(ab) = log(a) + log(b).Preuve :
Pour tous les réelsaetbstrictement positifs,10log(a)+log(b)= 10log(a)10log(b)=ab log(a) + log(b)est donc une solution de l"équation d"inconnuex,10x=ab. Or par définition delog, l"unique solution de cette équation estlog(ab).D"oùlog(ab) = log(a) + log(b).
Propriétés :Pour tous les réelsaetbstrictement positifs, •log(1a ) =-log(a); •log(ab ) = log(a)-log(b); •pour tout réelx,log(ax) =xloga;Preuve : •D"une part,log(a×1a ) = log(1) = 0.D"autre part,log(a×1a
) = log(a) + log(1aDonclog(a) + log(1a
) = 0etlog(1a ) =-log(a). •log(ab ) = log(a×1b ) = log(a) + log(1b ) = log(a)-log(b)d"après ce qui précède. •Admisehttp://mathsfg.net.free.fr2Fonction logarithme décimal, Terminale STMG
Exemples [Savoir effectuer des calculs avec le logarithme décimal] : •log(109) + log(10-5) = 9-5 = 4 •log(50) = log(25×2) = log(25) + log(2) = log(52) + log(2) = 2log(5) + log(2) •log(0,005) = log(5×10-3) = log(5) + log(10-3) = log(5)-3 •Sia= 2048etb= 16 on alog(a) = log(211) = 11log(2)etlog(b) = log(24) = 4log(2) donclog(ab) = log(a) + log(b) = 11log(2) + 4log(2) = 15log(2) = 15log(2).2 Étude de la fonction logarithme décimal
2.1 Dérivabilité et variations
Propriété :La fonctionlogest strictement croissante sur]0;+∞[.2.2 Tableau de variation x0+∞∥ log(x)∥ ↗2.3 Tableau de signe
x0 1+∞log(x)∥- 0 +2.4 Représentation graphiqueOn parle decroissance logarithmiquepour décrire une telle évolution.http://mathsfg.net.free.fr3
Fonction logarithme décimal, Terminale STMG
2.5 Résolution d"équations et d"inéquations
Propriétés :Pour tous les réelsxetystrictement positifs :log(x) = log(y)si et seulement six=ylog(x)
Résolution delog(5x) = 6:
On alog(5x) = log(106)en utilisant la propriétélog(10x) =x.Donc5x= 106etx=1065
Exemples [Savoir résoudre des équationax=y] : •Résolution de5x= 6: 5 x= 6équivaut àlog(5x) = log(6)donc àxlog(5) = log(6)donc àx=log(6)log(5)•La production d"un objet fabriqué initialement à 80 exemplaires par heure est prévue pour dimi-
nuer de 5% toutes les heures jusqu"à ce qu"elle atteigne 40 exemplaires par heure. On recherche le temps nécessaire pour arriver à 40 exemplaires :80×0,95x= 40équivaut à0,95x=4080
donc àlog(0,95x) = log(12 ou encore àxlog(0,95) = log(0,5)doncx=log(0,5)log(0,95)≈13,5soit 13 heures et demie. Exemples [Savoir résoudre des équationsxa=y] : •Résolution dex0,5= 6: x0,5= 6équivaut àlog(x0,5) = log(6)donc à0,5log(x) = log(6)
c"est à direlog(x) =log(6)0,5doncx= 10log(6)0,5•Un capital initial placé à un tauxtinconnu à intérêts composées double en 12 ans.
On recherche le taux inconnu.
On a(1 +t)12= 2ce qui équivaut àlog((1 +t)12) = log(2)donc à12log(1 +t) = log(2) ce qui équivaut encore àlog(1 +t) =log(2)12 donc1 +t= 10log(2)12D"oùt= 10log(2)12
-1≈0,0595soit 5,95% par anExemple [Résoudre des inéquationsax< y] :
Résolution de1,6x<3:
1,6x<3équivaut àlog(1,6x) Donc àx L"ensemble de solutions est]- ∞;log(3)log(1,6)[.http://mathsfg.net.free.fr4
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21 mai 2022
Table des matières
1 Définition et propriétés algébriques
2 2 Étude de la fonction logarithme décimal
3 2.1 Dérivabilité et variations
3 2.2 Tableau de variation
3 2.3 Tableau de signe
3 2.4 Représentation graphique
3 2.5 Résolution d"équations et d"inéquations
4 1 Fonction logarithme décimal, Terminale STMG
1 Définition et propriétés algébriques
Définition :On appelle fonctionlogarithme décimalet on notelogla fonction qui à tout réelxstrictement positifassocie l"unique réelytel que10y=xOn a donc pour toutx >0et toutyréel,log(x) =ysi et seulement si10y=x.Exemples [Savoir résoudre des équations de la forme10x=y] :
•log(106) = 6; •log(10-11) =-11. •10x= 2équivaut àx= log(2). Propriétés :•Pour tout réelx >0,10log(x)=x; •pour tout réelx,log(10x) =x; •log(1) = 0etlog(10) = 1Preuve : Conséquences directes de la définition.
Propriété fondamentale des logarithmes :Pour tous les réelsaetbstrictement positifs,log(ab) = log(a) + log(b).Preuve :
Pour tous les réelsaetbstrictement positifs,10log(a)+log(b)= 10log(a)10log(b)=ab log(a) + log(b)est donc une solution de l"équation d"inconnuex,10x=ab. Or par définition delog, l"unique solution de cette équation estlog(ab). D"oùlog(ab) = log(a) + log(b).
Propriétés :Pour tous les réelsaetbstrictement positifs, •log(1a ) =-log(a); •log(ab ) = log(a)-log(b); •pour tout réelx,log(ax) =xloga;Preuve : •D"une part,log(a×1a ) = log(1) = 0. D"autre part,log(a×1a
) = log(a) + log(1a Donclog(a) + log(1a
) = 0etlog(1a ) =-log(a). •log(ab ) = log(a×1b ) = log(a) + log(1b ) = log(a)-log(b)d"après ce qui précède. •Admisehttp://mathsfg.net.free.fr2 Fonction logarithme décimal, Terminale STMG
Exemples [Savoir effectuer des calculs avec le logarithme décimal] : •log(109) + log(10-5) = 9-5 = 4 •log(50) = log(25×2) = log(25) + log(2) = log(52) + log(2) = 2log(5) + log(2) •log(0,005) = log(5×10-3) = log(5) + log(10-3) = log(5)-3 •Sia= 2048etb= 16 on alog(a) = log(211) = 11log(2)etlog(b) = log(24) = 4log(2) donclog(ab) = log(a) + log(b) = 11log(2) + 4log(2) = 15log(2) = 15log(2). 2 Étude de la fonction logarithme décimal
2.1 Dérivabilité et variations
Propriété :La fonctionlogest strictement croissante sur]0;+∞[.2.2 Tableau de variation x0+∞∥ log(x)∥ ↗ 2.3 Tableau de signe
x0 1+∞log(x)∥- 0 +2.4 Représentation graphique On parle decroissance logarithmiquepour décrire une telle évolution.http://mathsfg.net.free.fr3
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2.5 Résolution d"équations et d"inéquations
Propriétés :Pour tous les réelsxetystrictement positifs :log(x) = log(y)si et seulement six=ylog(x)log(y)si et seulement six > yExemples [Savoir résoudre des équationslog(x) =k] :
Résolution delog(5x) = 6:
On alog(5x) = log(106)en utilisant la propriétélog(10x) =x. Donc5x= 106etx=1065
Exemples [Savoir résoudre des équationax=y] : •Résolution de5x= 6: 5 x= 6équivaut àlog(5x) = log(6)donc àxlog(5) = log(6)donc àx=log(6)log(5) •La production d"un objet fabriqué initialement à 80 exemplaires par heure est prévue pour dimi-
nuer de 5% toutes les heures jusqu"à ce qu"elle atteigne 40 exemplaires par heure. On recherche le temps nécessaire pour arriver à 40 exemplaires : 80×0,95x= 40équivaut à0,95x=4080
donc àlog(0,95x) = log(12 ou encore àxlog(0,95) = log(0,5)doncx=log(0,5)log(0,95)≈13,5soit 13 heures et demie. Exemples [Savoir résoudre des équationsxa=y] : •Résolution dex0,5= 6: x 0,5= 6équivaut àlog(x0,5) = log(6)donc à0,5log(x) = log(6)
c"est à direlog(x) =log(6)0,5doncx= 10log(6)0,5 •Un capital initial placé à un tauxtinconnu à intérêts composées double en 12 ans.
On recherche le taux inconnu.
On a(1 +t)12= 2ce qui équivaut àlog((1 +t)12) = log(2)donc à12log(1 +t) = log(2) ce qui équivaut encore àlog(1 +t) =log(2)12 donc1 +t= 10log(2)12 D"oùt= 10log(2)12
-1≈0,0595soit 5,95% par an Exemple [Résoudre des inéquationsax< y] :
Résolution de1,6x<3:
1,6x<3équivaut àlog(1,6x) Donc àx L"ensemble de solutions est]- ∞;log(3)log(1,6)[.http://mathsfg.net.free.fr4
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Donc àx L"ensemble de solutions est]- ∞;log(3)log(1,6)[.http://mathsfg.net.free.fr4
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1 Définition et propriétés algébriques
2 2 Étude de la fonction logarithme décimal
3 2.1 Dérivabilité et variations
3 2.2 Tableau de variation
3 2.3 Tableau de signe
3 2.4 Représentation graphique
3 2.5 Résolution d"équations et d"inéquations
4 1 Fonction logarithme décimal, Terminale STMG
1 Définition et propriétés algébriques
Définition :On appelle fonctionlogarithme décimalet on notelogla fonction qui à tout réelxstrictement positifassocie l"unique réelytel que10y=xOn a donc pour toutx >0et toutyréel,log(x) =ysi et seulement si10y=x.Exemples [Savoir résoudre des équations de la forme10x=y] :
•log(106) = 6; •log(10-11) =-11. •10x= 2équivaut àx= log(2). Propriétés :•Pour tout réelx >0,10log(x)=x; •pour tout réelx,log(10x) =x; •log(1) = 0etlog(10) = 1Preuve : Conséquences directes de la définition.
Propriété fondamentale des logarithmes :Pour tous les réelsaetbstrictement positifs,log(ab) = log(a) + log(b).Preuve :
Pour tous les réelsaetbstrictement positifs,10log(a)+log(b)= 10log(a)10log(b)=ab log(a) + log(b)est donc une solution de l"équation d"inconnuex,10x=ab. Or par définition delog, l"unique solution de cette équation estlog(ab). D"oùlog(ab) = log(a) + log(b).
Propriétés :Pour tous les réelsaetbstrictement positifs, •log(1a ) =-log(a); •log(ab ) = log(a)-log(b); •pour tout réelx,log(ax) =xloga;Preuve : •D"une part,log(a×1a ) = log(1) = 0. D"autre part,log(a×1a
) = log(a) + log(1a Donclog(a) + log(1a
) = 0etlog(1a ) =-log(a). •log(ab ) = log(a×1b ) = log(a) + log(1b ) = log(a)-log(b)d"après ce qui précède. •Admisehttp://mathsfg.net.free.fr2 Fonction logarithme décimal, Terminale STMG
Exemples [Savoir effectuer des calculs avec le logarithme décimal] : •log(109) + log(10-5) = 9-5 = 4 •log(50) = log(25×2) = log(25) + log(2) = log(52) + log(2) = 2log(5) + log(2) •log(0,005) = log(5×10-3) = log(5) + log(10-3) = log(5)-3 •Sia= 2048etb= 16 on alog(a) = log(211) = 11log(2)etlog(b) = log(24) = 4log(2) donclog(ab) = log(a) + log(b) = 11log(2) + 4log(2) = 15log(2) = 15log(2). 2 Étude de la fonction logarithme décimal
2.1 Dérivabilité et variations
Propriété :La fonctionlogest strictement croissante sur]0;+∞[.2.2 Tableau de variation x0+∞∥ log(x)∥ ↗ 2.3 Tableau de signe
x0 1+∞log(x)∥- 0 +2.4 Représentation graphique On parle decroissance logarithmiquepour décrire une telle évolution.http://mathsfg.net.free.fr3
Fonction logarithme décimal, Terminale STMG
2.5 Résolution d"équations et d"inéquations
Propriétés :Pour tous les réelsxetystrictement positifs :log(x) = log(y)si et seulement six=ylog(x)log(y)si et seulement six > yExemples [Savoir résoudre des équationslog(x) =k] :
Résolution delog(5x) = 6:
On alog(5x) = log(106)en utilisant la propriétélog(10x) =x. Donc5x= 106etx=1065
Exemples [Savoir résoudre des équationax=y] : •Résolution de5x= 6: 5 x= 6équivaut àlog(5x) = log(6)donc àxlog(5) = log(6)donc àx=log(6)log(5) •La production d"un objet fabriqué initialement à 80 exemplaires par heure est prévue pour dimi-
nuer de 5% toutes les heures jusqu"à ce qu"elle atteigne 40 exemplaires par heure. On recherche le temps nécessaire pour arriver à 40 exemplaires : 80×0,95x= 40équivaut à0,95x=4080
donc àlog(0,95x) = log(12 ou encore àxlog(0,95) = log(0,5)doncx=log(0,5)log(0,95)≈13,5soit 13 heures et demie. Exemples [Savoir résoudre des équationsxa=y] : •Résolution dex0,5= 6: x 0,5= 6équivaut àlog(x0,5) = log(6)donc à0,5log(x) = log(6)
c"est à direlog(x) =log(6)0,5doncx= 10log(6)0,5 •Un capital initial placé à un tauxtinconnu à intérêts composées double en 12 ans.
On recherche le taux inconnu.
On a(1 +t)12= 2ce qui équivaut àlog((1 +t)12) = log(2)donc à12log(1 +t) = log(2) ce qui équivaut encore àlog(1 +t) =log(2)12 donc1 +t= 10log(2)12 D"oùt= 10log(2)12
-1≈0,0595soit 5,95% par an Exemple [Résoudre des inéquationsax< y] :
Résolution de1,6x<3:
1,6x<3équivaut àlog(1,6x) Donc àx L"ensemble de solutions est]- ∞;log(3)log(1,6)[.http://mathsfg.net.free.fr4
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F.Gaudon
21 mai 2022
Table des matières
1 Définition et propriétés algébriques
22 Étude de la fonction logarithme décimal
32.1 Dérivabilité et variations
32.2 Tableau de variation
32.3 Tableau de signe
32.4 Représentation graphique
32.5 Résolution d"équations et d"inéquations
4 1Fonction logarithme décimal, Terminale STMG
1 Définition et propriétés algébriques
Définition :On appelle fonctionlogarithme décimalet on notelogla fonction qui àtout réelxstrictement positifassocie l"unique réelytel que10y=xOn a donc pour toutx >0et toutyréel,log(x) =ysi et seulement si10y=x.Exemples [Savoir résoudre des équations de la forme10x=y] :
•log(106) = 6; •log(10-11) =-11. •10x= 2équivaut àx= log(2). Propriétés :•Pour tout réelx >0,10log(x)=x; •pour tout réelx,log(10x) =x; •log(1) = 0etlog(10) = 1Preuve :Conséquences directes de la définition.
Propriété fondamentale des logarithmes :Pour tous les réelsaetbstrictement positifs,log(ab) = log(a) + log(b).Preuve :
Pour tous les réelsaetbstrictement positifs,10log(a)+log(b)= 10log(a)10log(b)=ab log(a) + log(b)est donc une solution de l"équation d"inconnuex,10x=ab. Or par définition delog, l"unique solution de cette équation estlog(ab).D"oùlog(ab) = log(a) + log(b).
Propriétés :Pour tous les réelsaetbstrictement positifs, •log(1a ) =-log(a); •log(ab ) = log(a)-log(b); •pour tout réelx,log(ax) =xloga;Preuve : •D"une part,log(a×1a ) = log(1) = 0.D"autre part,log(a×1a
) = log(a) + log(1aDonclog(a) + log(1a
) = 0etlog(1a ) =-log(a). •log(ab ) = log(a×1b ) = log(a) + log(1b ) = log(a)-log(b)d"après ce qui précède. •Admisehttp://mathsfg.net.free.fr2Fonction logarithme décimal, Terminale STMG
Exemples [Savoir effectuer des calculs avec le logarithme décimal] : •log(109) + log(10-5) = 9-5 = 4 •log(50) = log(25×2) = log(25) + log(2) = log(52) + log(2) = 2log(5) + log(2) •log(0,005) = log(5×10-3) = log(5) + log(10-3) = log(5)-3 •Sia= 2048etb= 16 on alog(a) = log(211) = 11log(2)etlog(b) = log(24) = 4log(2) donclog(ab) = log(a) + log(b) = 11log(2) + 4log(2) = 15log(2) = 15log(2).2 Étude de la fonction logarithme décimal
2.1 Dérivabilité et variations
Propriété :La fonctionlogest strictement croissante sur]0;+∞[.2.2 Tableau de variation x0+∞∥ log(x)∥ ↗2.3 Tableau de signe
x0 1+∞log(x)∥- 0 +2.4 Représentation graphiqueOn parle decroissance logarithmiquepour décrire une telle évolution.http://mathsfg.net.free.fr3
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2.5 Résolution d"équations et d"inéquations
Propriétés :Pour tous les réelsxetystrictement positifs :log(x) = log(y)si et seulement six=ylog(x)
Résolution delog(5x) = 6:
On alog(5x) = log(106)en utilisant la propriétélog(10x) =x.Donc5x= 106etx=1065
Exemples [Savoir résoudre des équationax=y] : •Résolution de5x= 6: 5 x= 6équivaut àlog(5x) = log(6)donc àxlog(5) = log(6)donc àx=log(6)log(5)•La production d"un objet fabriqué initialement à 80 exemplaires par heure est prévue pour dimi-
nuer de 5% toutes les heures jusqu"à ce qu"elle atteigne 40 exemplaires par heure. On recherche le temps nécessaire pour arriver à 40 exemplaires :80×0,95x= 40équivaut à0,95x=4080
donc àlog(0,95x) = log(12 ou encore àxlog(0,95) = log(0,5)doncx=log(0,5)log(0,95)≈13,5soit 13 heures et demie. Exemples [Savoir résoudre des équationsxa=y] : •Résolution dex0,5= 6: x0,5= 6équivaut àlog(x0,5) = log(6)donc à0,5log(x) = log(6)
c"est à direlog(x) =log(6)0,5doncx= 10log(6)0,5•Un capital initial placé à un tauxtinconnu à intérêts composées double en 12 ans.
On recherche le taux inconnu.
On a(1 +t)12= 2ce qui équivaut àlog((1 +t)12) = log(2)donc à12log(1 +t) = log(2) ce qui équivaut encore àlog(1 +t) =log(2)12 donc1 +t= 10log(2)12D"oùt= 10log(2)12
-1≈0,0595soit 5,95% par anExemple [Résoudre des inéquationsax< y] :
Résolution de1,6x<3:
1,6x<3équivaut àlog(1,6x) Donc àx L"ensemble de solutions est]- ∞;log(3)log(1,6)[.http://mathsfg.net.free.fr4
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