Chapitre 4 - Les nombres complexes II : Résolution déquation

223608 PTSI2

Les nombres complexes II :

Résolution d"équation 2021-2022Chapitre 4 - Les nombres complexes II :

Résolution d"équation

Dans ce chapitre, on montre comment les nombres complexes permettent de résoudre des équations polynomiales

de degré 2, y compris à coefficients complexes. On détermine aussi les solutions de léquationsXn1, appelées racines

n-ième de l"unité, en exhibat un lien fort avec la géométrie dans le plan complexe. Nos objectif sont surtout d"acquérir des méthodes de calculs efficaces afin de :

•Résoudre l"équationaX2bXc0d"inconnueXPC, y compris lorsque le discrminant est négatif. Maîtriser

la forme canonique d"un trinôme

•Résoudre l"équation!2zd"inconnue!PCpour un nombre complexezdonné. En déduire les solutions de

l"équationaX2bXc0lorsque les coefficients sont complexes.

•Ne jamais écrire?zsizn"est pas dansr0;8r. Ne pas foncer sur le discriminant si on peut l"éviter.

•Résoudre l"équationsXn1et représenter les solutions dans le plan complexe. 1 Résolution dans Cde l"équation du second degré 1.1

A vecdes coefficients réels Théorème 1- Résol utionde l"équation aX2bXc0.Soita;b;ctrois réels avecanon nul.

•On appellediscriminantdu trinôme du second degréaX2bXcle réelb24ac. •Le signe de ce dernier dicte le nombre et la nature des solutions de l"équation pEq:aX2bXc0:

Précisément :

si¡0, l"équationpEqadmet deux racines réelles distinctesxb? 2a; si0, l"équationpEqadmet une racine double réellex0 b2a;

si 0, l"équationpEqadmet deux racines complexes distinctes conjuguéesxbi?2a.Démonstration....

.En pratique.On retiendra de la démontrsation la forme dite canonique aX 2bXca Xb2a 2 4a2 qui permet d"étudier très facilement le trinôme (extremum, racines, etc...).

Exemple 2Déterminer les deux solutions de l"équationX2X10.Théorème 3- Système somme- produit.Soita;bPR. Les solutions du systèmesomme-produit"xya

xyb,

d"inconnuesx;yPC, sont les deux solutions (éventuellement égales) de l"équationX2aXb0.N.Popoff- Lycée les Euc alyptus1

PTSI2

Les nombres complexes II :

Résolution d"équation 2021-2022Démonstration.Il suffit de remarquer quepXxqpXyq X2 pxyqXxy.

Exemple 4Les solutions du système"xy 1

xy1, d"inconnuespx;yq PC2, sont les couples 1i?3 2 ;1i?3 2 et1i?3 2 ;1i?3 2

En effet, les solutions du système en jeu sont liées aux racines du trinômeX2p1qX1X2X1, calculées à

l"exemple précédent.

.En pratique.Plus généralement, sixsont les deux racines (complexes) d"un trinômeaX2bXc, avec

a0, alors aX

2bXcapXxqpXxq aX2apxxqXaxx:

Ainsi la somme des racines vautba

et leur produitca , ce qui offre une méthode rapide de vérification des calculs de racines. 1.2

Résolution dans Cde l"équation du second degré à coefficients complexesLemme 5- RacineS ca rréesd"un nomb rec omplexenon nul. Pour toutzPC, l"équation!2z, d"inconnue

!PC, possède exactementdeuxsolutions opposées, appelées lesracines carrées dez.Démonstration.Dans l"énoncézest choisi non nul puisque l"équation!20, d"inconnue!PCne possède évidemment

qu"une solution, à savoir0. Écrivonszsous forme algébriquezxiyet donnons-nous!aibPCsous forme algébrique. Le ressort de la preuve est donnée par l"équivalence, a priori idiote,!2zðñ!2zetj!j2jzj.

2zðñ!2zetj!j2jzjðñ"a2b2x

2abyeta2b2ax

2y2

ðña2xax

2y22 ; b2xax 2y22 et2aby:

On tire alors aisémentaetbau signe prèsde ces relations sura2etb2et l"égalité2abypermet quant à elle

de savoir siaetbsont de même signe ou de signes opposés. On obtient finalement deux racines carrées!aib

distinctes dez, opposées l"une de l"autre.Attention !La notation ?zest rigoureusementinterditepourzPCzR.

Cette interdiction provient de notre incapacité à choisir! En effet, tout nombre complexe non nul adeuxracines

carrées distinctes qui se valent l"une l"autre. Il n"y a que dans le cas réels positifs où l"on sait choisir, puisque les deux

racines carrées d"un réel positifxsont alors toutes les deux réelles, l"une positive, l"autre négative, et on choisit de

noter?xla première.

.En pratique.La démonstration du théorème précédent est constructive et permet en pratique d"obtenir les

deux racines carrées d"un nombre complexe non nul. Exemple 6Déterminer les racines carrées des nombres complexes suivants :

9;9;98;2410i:

Notons qu"on peut aussi exploiter la forme trigonométriquezreid"un complexez, avecPs ;r, pour trouver ses racines sous formes elles-aussi trigonométriques :?re i2 .N.Popoff- Lycée les Euc alyptus2 PTSI2

Les nombres complexes II :

Résolution d"équation 2021-2022Exemple 7Déterminer les racines carrées de1ien passant par sa forme trigonométrique.

Exemple 8Etant donnézPC, représenter dans le plan complexe les racines carrées dezen distingant les cas

|z| 1,|z| 1et|z| ¡1.

Nous sommes à présent capables de résoudretoutesles équations du second degré àcoefficients complexes.Théorème 9- Équati ondu second degré à co efficientscomplexes. Soita;b;cPCaveca0.

Les solutions de l"équationaz2bzc0, d"inconnuezPC, sontb2aetb2a, oùest l"une quelconque des deux racines carrées du discriminantb24ac.Remarque 10

•Ce résultat généralise celui du théorème1 , au cas où le discriminantb24acest un complexe quelconque. Sa

démonstration est identique,mutatis mutandis, à celle du cas¡0. •Le théorème3 reste évidemmen tv alablelorsque aetbsont complexes.

Exemple 11Les solutions de l"équationz2 p3iqz2i0, d"inconnuezPC, sont1et2i.Attention !Ne pas se précipiter sur le calcul du discriminant, par exemple si l"équation ne le nécessite

pas : z

2240; z2z0;

ou bien si on peut éviter les calculs en identifiant la somme et le produit des racines : z

2 p2iqz p1iq 0:

On prendra par ailleurs soin de vérifier ses résultats en retrouvant la somme et le produit des racines dans les coefficients,

ce qui ne coûte pas grand chose. 2

Racines nes

Pour toutnPN, rappelons que la fonction racinesneest la réciproque de la fonction puissancenesurR.@x;yPR; yn?xðñxyn.Voyons maintenant que la situation diffère surC.Définition 12- Racines nes.SoitzPCetnPN.

•On appelleracinenedeztout nombre complexetel quenz.

•Les racinesnesde1sont ditesracinesnesde l"unité. Leur ensemble est notéUn.Autrement dit, pour unzPCdonné, les racinesnedezsont les solutions dansCde l"équationsXnz0.Attention !Il est formellement interdit d"écrire

n?zpourzPCzR, dans la mesure où il n"y a pas unicité

des racinesnesd"un nombre complexe non nul, comme l"indique le théorème suivant.Théorème 13- Exp ressiondes racines nes.SoitnPN.

•La seule racinenede0est0.

•SoitzreiPCnon nulsous forme trigonométrique. Alorszpossède exactementnracinesnes, à savoir

les nombres complexes n?rexpin 2ikn ,kdécrivantJ0;n1K. •Cas particulier des racinesnesde l"unité.Un e2ik{n( PTSI2

Les nombres complexes II :

Résolution d"équation 2021-2022Démonstration.Le cas de0est clair. Pour le reste, commençons par traiter le cas des racines de l"unité, le cas général

s"en déduisant.

•Racinenesde l"unité.Soit!PC. Posonsj!jet notons'l"unique argument de!dans l"intervaller0;2r.

Par identification des formes trigonométriques, n1

ðñnein'1ei0

ðñn1etn'0r2s

PR1etDkPZ; n'2k

ðñ1etDkPZ; '2kn

'Pr0;2r1etDkPJ0;n1K; '2kn

ðñ DkPJ0;n1K; !e2ik{n;

ce qui donne biennracinesnesde l"unité.

•Cas général.SoitzreiPCnon nul sous forme trigonométrique. Posonsn?rei{n. Il est immédiat que

nzetest non nul, puisquezl"est. On va déduire de cette racineneinitiale dezles autres : pour tout!PC

nz

ðñ!nn

0 n 1

ðñ DkPJ0;n1K;!

e2ik{n

ðñ DkPJ0;n1K; !n?rexpin

2ikn

Remarque 14Comme l"indique la démonstration précédente, lesnracinesnesd"un nombre complexe non nul

s"obtiennent à partir d"une de ses racinesneet desnracinesnesde l"unité.

Exemple 15Les racines cubiques de1isont6?2e

i{12,6?2e

3i{4et6?2e

7i{12.Définition-théorème 16- Nomb rej.On notejle nombree2i{3- racine3ede l"unité - qui possède les propriétés

suivantes : j

31;jj2;1jj20et@zPC; z2z1 pzjqpzjq:Démonstration.Le vérifier.Attention !Il peut arriver en physique que la lettrejserve à désigner... le nombre complexei! C"est

souvent le cas en électricité, voyez-vous pourquoi?

Géométriquement, on peut observer que, pour toutnPN, l"ensembleUndes racinesnesde l"unité est l"ensemble

des sommets du polygone régulier àncôtés, de centreOet passant par le point d"affixe1.N.Popoff- Lycée les Euc alyptus4

PTSI2

Les nombres complexes II :

Résolution d"équation 2021-20221j

j 2j U

3est l"ensemble des

sommets d"un triangle

équilatéral.1i

1iU

4est l"ensemble des

PTSI2

Les nombres complexes II :

Résolution d"équation 2021-2022Chapitre 4 - Les nombres complexes II :

Résolution d"équation

Dans ce chapitre, on montre comment les nombres complexes permettent de résoudre des équations polynomiales

de degré 2, y compris à coefficients complexes. On détermine aussi les solutions de léquationsXn1, appelées racines

n-ième de l"unité, en exhibat un lien fort avec la géométrie dans le plan complexe. Nos objectif sont surtout d"acquérir des méthodes de calculs efficaces afin de :

•Résoudre l"équationaX2bXc0d"inconnueXPC, y compris lorsque le discrminant est négatif. Maîtriser

la forme canonique d"un trinôme

•Résoudre l"équation!2zd"inconnue!PCpour un nombre complexezdonné. En déduire les solutions de

l"équationaX2bXc0lorsque les coefficients sont complexes.

•Ne jamais écrire?zsizn"est pas dansr0;8r. Ne pas foncer sur le discriminant si on peut l"éviter.

•Résoudre l"équationsXn1et représenter les solutions dans le plan complexe. 1 Résolution dans Cde l"équation du second degré 1.1

A vecdes coefficients réels Théorème 1- Résol utionde l"équation aX2bXc0.Soita;b;ctrois réels avecanon nul.

•On appellediscriminantdu trinôme du second degréaX2bXcle réelb24ac. •Le signe de ce dernier dicte le nombre et la nature des solutions de l"équation pEq:aX2bXc0:

Précisément :

si¡0, l"équationpEqadmet deux racines réelles distinctesxb? 2a; si0, l"équationpEqadmet une racine double réellex0 b2a;

si 0, l"équationpEqadmet deux racines complexes distinctes conjuguéesxbi?2a.Démonstration....

.En pratique.On retiendra de la démontrsation la forme dite canonique aX 2bXca Xb2a 2 4a2 qui permet d"étudier très facilement le trinôme (extremum, racines, etc...).

Exemple 2Déterminer les deux solutions de l"équationX2X10.Théorème 3- Système somme- produit.Soita;bPR. Les solutions du systèmesomme-produit"xya

xyb,

d"inconnuesx;yPC, sont les deux solutions (éventuellement égales) de l"équationX2aXb0.N.Popoff- Lycée les Euc alyptus1

PTSI2

Les nombres complexes II :

Résolution d"équation 2021-2022Démonstration.Il suffit de remarquer quepXxqpXyq X2 pxyqXxy.

Exemple 4Les solutions du système"xy 1

xy1, d"inconnuespx;yq PC2, sont les couples 1i?3 2 ;1i?3 2 et1i?3 2 ;1i?3 2

En effet, les solutions du système en jeu sont liées aux racines du trinômeX2p1qX1X2X1, calculées à

l"exemple précédent.

.En pratique.Plus généralement, sixsont les deux racines (complexes) d"un trinômeaX2bXc, avec

a0, alors aX

2bXcapXxqpXxq aX2apxxqXaxx:

Ainsi la somme des racines vautba

et leur produitca , ce qui offre une méthode rapide de vérification des calculs de racines. 1.2

Résolution dans Cde l"équation du second degré à coefficients complexesLemme 5- RacineS ca rréesd"un nomb rec omplexenon nul. Pour toutzPC, l"équation!2z, d"inconnue

!PC, possède exactementdeuxsolutions opposées, appelées lesracines carrées dez.Démonstration.Dans l"énoncézest choisi non nul puisque l"équation!20, d"inconnue!PCne possède évidemment

qu"une solution, à savoir0. Écrivonszsous forme algébriquezxiyet donnons-nous!aibPCsous forme algébrique. Le ressort de la preuve est donnée par l"équivalence, a priori idiote,!2zðñ!2zetj!j2jzj.

2zðñ!2zetj!j2jzjðñ"a2b2x

2abyeta2b2ax

2y2

ðña2xax

2y22 ; b2xax 2y22 et2aby:

On tire alors aisémentaetbau signe prèsde ces relations sura2etb2et l"égalité2abypermet quant à elle

de savoir siaetbsont de même signe ou de signes opposés. On obtient finalement deux racines carrées!aib

distinctes dez, opposées l"une de l"autre.Attention !La notation ?zest rigoureusementinterditepourzPCzR.

Cette interdiction provient de notre incapacité à choisir! En effet, tout nombre complexe non nul adeuxracines

carrées distinctes qui se valent l"une l"autre. Il n"y a que dans le cas réels positifs où l"on sait choisir, puisque les deux

racines carrées d"un réel positifxsont alors toutes les deux réelles, l"une positive, l"autre négative, et on choisit de

noter?xla première.

.En pratique.La démonstration du théorème précédent est constructive et permet en pratique d"obtenir les

deux racines carrées d"un nombre complexe non nul. Exemple 6Déterminer les racines carrées des nombres complexes suivants :

9;9;98;2410i:

Notons qu"on peut aussi exploiter la forme trigonométriquezreid"un complexez, avecPs ;r, pour trouver ses racines sous formes elles-aussi trigonométriques :?re i2 .N.Popoff- Lycée les Euc alyptus2 PTSI2

Les nombres complexes II :

Résolution d"équation 2021-2022Exemple 7Déterminer les racines carrées de1ien passant par sa forme trigonométrique.

Exemple 8Etant donnézPC, représenter dans le plan complexe les racines carrées dezen distingant les cas

|z| 1,|z| 1et|z| ¡1.

Nous sommes à présent capables de résoudretoutesles équations du second degré àcoefficients complexes.Théorème 9- Équati ondu second degré à co efficientscomplexes. Soita;b;cPCaveca0.

Les solutions de l"équationaz2bzc0, d"inconnuezPC, sontb2aetb2a, oùest l"une quelconque des deux racines carrées du discriminantb24ac.Remarque 10

•Ce résultat généralise celui du théorème1 , au cas où le discriminantb24acest un complexe quelconque. Sa

démonstration est identique,mutatis mutandis, à celle du cas¡0. •Le théorème3 reste évidemmen tv alablelorsque aetbsont complexes.

Exemple 11Les solutions de l"équationz2 p3iqz2i0, d"inconnuezPC, sont1et2i.Attention !Ne pas se précipiter sur le calcul du discriminant, par exemple si l"équation ne le nécessite

pas : z

2240; z2z0;

ou bien si on peut éviter les calculs en identifiant la somme et le produit des racines : z

2 p2iqz p1iq 0:

On prendra par ailleurs soin de vérifier ses résultats en retrouvant la somme et le produit des racines dans les coefficients,

ce qui ne coûte pas grand chose. 2

Racines nes

Pour toutnPN, rappelons que la fonction racinesneest la réciproque de la fonction puissancenesurR.@x;yPR; yn?xðñxyn.Voyons maintenant que la situation diffère surC.Définition 12- Racines nes.SoitzPCetnPN.

•On appelleracinenedeztout nombre complexetel quenz.

•Les racinesnesde1sont ditesracinesnesde l"unité. Leur ensemble est notéUn.Autrement dit, pour unzPCdonné, les racinesnedezsont les solutions dansCde l"équationsXnz0.Attention !Il est formellement interdit d"écrire

n?zpourzPCzR, dans la mesure où il n"y a pas unicité

des racinesnesd"un nombre complexe non nul, comme l"indique le théorème suivant.Théorème 13- Exp ressiondes racines nes.SoitnPN.

•La seule racinenede0est0.

•SoitzreiPCnon nulsous forme trigonométrique. Alorszpossède exactementnracinesnes, à savoir

les nombres complexes n?rexpin 2ikn ,kdécrivantJ0;n1K. •Cas particulier des racinesnesde l"unité.Un e2ik{n( PTSI2

Les nombres complexes II :

Résolution d"équation 2021-2022Démonstration.Le cas de0est clair. Pour le reste, commençons par traiter le cas des racines de l"unité, le cas général

s"en déduisant.

•Racinenesde l"unité.Soit!PC. Posonsj!jet notons'l"unique argument de!dans l"intervaller0;2r.

Par identification des formes trigonométriques, n1

ðñnein'1ei0

ðñn1etn'0r2s

PR1etDkPZ; n'2k

ðñ1etDkPZ; '2kn

'Pr0;2r1etDkPJ0;n1K; '2kn

ðñ DkPJ0;n1K; !e2ik{n;

ce qui donne biennracinesnesde l"unité.

•Cas général.SoitzreiPCnon nul sous forme trigonométrique. Posonsn?rei{n. Il est immédiat que

nzetest non nul, puisquezl"est. On va déduire de cette racineneinitiale dezles autres : pour tout!PC

nz

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0 n 1

ðñ DkPJ0;n1K;!

e2ik{n

ðñ DkPJ0;n1K; !n?rexpin

2ikn

Remarque 14Comme l"indique la démonstration précédente, lesnracinesnesd"un nombre complexe non nul

s"obtiennent à partir d"une de ses racinesneet desnracinesnesde l"unité.

Exemple 15Les racines cubiques de1isont6?2e

i{12,6?2e

3i{4et6?2e

7i{12.Définition-théorème 16- Nomb rej.On notejle nombree2i{3- racine3ede l"unité - qui possède les propriétés

suivantes : j

31;jj2;1jj20et@zPC; z2z1 pzjqpzjq:Démonstration.Le vérifier.Attention !Il peut arriver en physique que la lettrejserve à désigner... le nombre complexei! C"est

souvent le cas en électricité, voyez-vous pourquoi?

Géométriquement, on peut observer que, pour toutnPN, l"ensembleUndes racinesnesde l"unité est l"ensemble

des sommets du polygone régulier àncôtés, de centreOet passant par le point d"affixe1.N.Popoff- Lycée les Euc alyptus4

PTSI2

Les nombres complexes II :

Résolution d"équation 2021-20221j

j 2j U

3est l"ensemble des

sommets d"un triangle

équilatéral.1i

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