2 2 Raisonnement par contraposition Soient P et Q deux assertions On appelle contraposée de l’implication P ùñQ, l’impli-cation : (␣Q) ùñ(␣P) Définition 17 Soient P et Q deux assertions On a la synonymie : P ùñQ ”(␣Q) ùñ(␣P) Théorème 18 - Raisonnement par contraposition Démonstration Il suffit de faire une
La contraposée de "P =)Q" est "non(P) =)non(Q)" L’assertion "P =)Q" est équivalente à "non(P) ou non(Q)" Question 30 Je veux montrer que p 13 2=Q par un raisonnement par l’absurde Quel schéma de raison-nement est adapté? Je suppose que p 13 est rationnel et je cherche une contradiction Je suppose que p
4 Le raisonnement par contraposition Le raisonnement par contraposition permet de prouver une implication en prouvant que la négation de son but implique la négation de sa prémisse Ce raisonnement est formalisé par par la tautologie suivante : Théorème 3 – Contraposée La formule ((ϕ1 ⇒ ϕ2)⇔ ((¬ϕ2)⇒ (¬ϕ1)))est une tautologie
Quel est le raisonnement employé par Vincent˜? 2 Faire à nouveau la rédaction de cette démonstration en utilisant un raisonnement par contraposée et la pro-priété suivante˜: «˜si les droites (RP) et (CB) sont paral-lèles, alors AP AR AB AC = ˜ D I
— Raisonnement par contraposée — Raisonnement par l’absurde — Raisonnement par récurrence — Démonstration d’une inclusion, d’une égalité entreensembles — Règles decalcul pour les opérations sur les ensembles — Imagedirected’une partiepar une application — Injectivité, surjectivité oubijectivité d’une application
thodes de raisonnement : raisonnement par l’absurde, par la contraposée et la récur-rence Base de la théorie des ensembles : élément, partie, complémentaire, intersection, réunion Lois de De Morgan Produit cartésien Application Injection Surjection Bi-jection Images directe et réciproque Raisonnement par récurrence Ensemble fini
2 1 LOGIQUE Dans une même proposition, il ne faut pas mélanger du texte et des quanti cateurs Par exemple, il ne faut pas écrire 8x 2R;f(x) est plus petit que 2
3 Raisonnement par disjonction des cas (ou cas par cas) Raisonnement par disjonction des cas Si l’on souhaite vérifier une assertion P(x) pour tous les x dans un ensemble E, on montre l’assertion pour les x dans une partie A de E puis pour tous les x n’appartenant pas à A C’est la méthode de disjonction ou du cas par cas
Par contraposée, soit n2Z, nous allons montrer que nimpair )n2 impair On suppose que nest impair, alors n= 2k+ 1 et par suite n2 = (2k+ 1)2 = 4k2 + 4k+ 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 = 2k0+ 1 avec k0= 2k2 +2kpour k2Zdonc n2 = 2k0+1 et par conséquent n2 est impair En conclusion pour tout n2Z, n2 pair )npair Exercice 1 8
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Raisonnement par contraposée - normale sup
Raisonnement par contraposée Correction (1 22) La contraposée de la proposition x3 = 2 )x
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Raisonnement par contraposée - pagesperso-orangefr
Raisonnement par contraposée Soient P et Q deux propositions La contraposée de l’implication « P ⇒ Q » est l’implication « non Q ⇒ non P » Une implication et sa contraposée sont équivalentes : elles sont simultanément vraies ou simul-tanément fausses Exemple L’énoncé du théorème de Pythagore est :
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- 1 - NIVEAU : 1 SM NOTIONS DE LOGIQUE PROPOSITION
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Différents types de raisonnement rencontrés au collège
Parfois on traite de raisonnement, par l'absurde, un simple raisonnement utilisant la contraposée Par exemple, on veut démontrer que est vraie, on suppose non , on finit par démontrer non et on se dit en contradiction avec mais ne nous a pas servi Il n'y a donc pas de
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Les différents raisonnements I) II)
Deuxième raisonnement par contraposée On veut montrer que si un produit de deux entiers est impair , alors les deux entiers sont impairs La contraposée de cette proposition est : le produit de deux entiers dont l’un au moins est pair est un entier pair Montrons la : Soient a = 2p et b = 2k + 1 alors ab = 4bk + 2p = 2( 2bk + p) RemarqueTaille du fichier : 125KB
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Différents types de raisonnement en mathématiques
c) Raisonnement par contraposition Définition : Le raisonnement par contraposée permet de démontrer qu’une implication du type : ‘P implique Q’ est vrai Ce raisonnement est basé sur l’équivalence entre l’assertion P ‘P implique Q’ et l’assertion ‘non Q implique non P’
Montrons alors que Q est vraie” Exercice - Soit x un réel Montrer que (x2 ≤ x = ⇒ x = x) 3 2 Par contraposition
raisonnement
> Manipuler les quantificateurs > Raisonner par implication ou par équivalence > Utiliser un raisonnement par l'a‹surde ou par contraposition > Effectuer un
extrait
10 sept 2006 · BASES DU RAISONNEMENT P Pansu Logique, différents types de raisonnement Ensembles, éléments de l'exercice 7 Contraposition
bases du raisonnement
Raisonnement par contraposée Correction (1 22) La contraposée de la proposition x3 = 2 ⇒ x < 2 est x ≥ 2 ⇐ x3 = 2 Si x ≥ 2, x3 ≥ 23 = 8, donc en
raisonnement contraposee
2 Raisonnement par contraposition 3 Raisonnement par l'absurde 4 Raisonnement par contre exemple 5 Raisonnement par récurrence Chapitre 2‐ Les
b dirTHNCEtb dgEJ nUiDRjpaU
5 2 Le raisonnement par l'absurde 5 3 Le raisonnement par contraposition le moment venu de gérer correctement le raisonnement par récurrence
Logique
Méthodes et raisonnements pour la classe de première S 1 Raisonnement par négation Commençons par et lui-même 2 Raisonnement par contraposition
Methodes et raisonnements pour S
Pour tout entier n, n²+3n est pair c) Raisonnement par contraposition Définition : Le raisonnement par contraposée permet de démontrer qu'une implication du
Raisonnement
La troisième méthode met en œuvre la contraposition Pour cela, l'étudiant doit savoir qu'une implication matérielle et sa contraposée ont la même valeur de
irem atelier denise judith
Exemple. L'énoncé du théorème de Pythagore est : « Si ABC est un triangle rectangle en A alors BC2 = AB2 + AC2 ». Sa contraposée est :.
Raisonnement par contraposée. Correction (1.22). La contraposée de la proposition x3 = 2 ? x < 2 est x ? 2 ? x3 = 2 . Si x ? 2 x3 ? 23 = 8
pelle le "raisonnement par contraposée". Exemple : démontrer que si 2n ? 1 est premier alors n est premier. Il est équivalent de démontrer la contraposée
S'il ne permet pas d'aboutir alors on envisage un raisonnement par contraposée ou par l'absurde. Pour montrer une existence (respectivement une non-existence)
10 sept. 2006 Contraposée. Soient P et Q sont des assertions. On appelle l'assertion non Q ? non P la contraposée de P?Q. Proposition ...
> Manipuler les quantificateurs. > Raisonner par implication ou par équivalence. > Utiliser un raisonnement par l'a‹surde ou par contraposition. > Effectuer un
plus important de l'année car il est à la base de tous les raisonnements 5.1 Le raisonnement déductif . ... 5.3 Le raisonnement par contraposition .
Contraposée. Le raisonnement par contraposition est basé sur l'équivalence suivante (voir la proposition ??) : L'assertion « P =? Q » est équivalente à
Alors 2 divise n + 1 impair car n impair . Contradiction . Donc 2 n'est pas diviseur commun à a et b . IV) Raisonnement par contraposée.
raisonnement par récurrence par l'absurde
La contraposée d'une implication est équivalente à celle-ci Ceci fournira plus loin un type de raisonnement usuel : le raisonnement par contraposition
Logique Raisonnement par contraposée Soient P et Q deux propositions La contraposée de l'implication « P ? Q » est l'implication « non Q ? non P »
Le raisonnement par contraposition est basé sur l'équivalence suivante (voir la proposition ??) : L'assertion « P =? Q » est équivalente à « non(Q) =? non(P)
Pour la première question vous pouvez raisonner par contraposition ou par l'absurde Indication pour l'exercice 16 ? Pour les deux questions
Le raisonnement mathématique le plus courant est l'implication "directe" aussi appelé "raisonne- pelle le "raisonnement par contraposée"
10 sept 2006 · Contraposée Soient P et Q sont des assertions On appelle l'assertion non Q ? non P la contraposée de P?Q Proposition
Éléments de raisonnement mathématique 1 Implication réciproque contraposée 1 1 Retour sur l'implication Dans ce paragraphe
la proposition p ? q et sa contraposée sont logiquement équivalentes : (p ? q) ? (¬q ? ¬p) Et p ? q est vraie si et seulement p ? q et sa reciproque
Le raisonnement par contraposition est basé sur le théor`eme 1 1 : l'implication P ? Q est équivalente `a sa contraposée non Q ? non P Ainsi pour montrer
:
Raisonnement par contraposée