Montrer qu’une suite est géométrique Méthode : Pour montrer qu’une suite (u n) est géométrique, on montre que pour tout n,onau n+1 = u n ×q Exercice 1 Soit la suite (u n) définie par u n = 4 3n+1 pour tout entier natureln Démontrer que la suite (u n) est géométrique Exercice 2 Soient les suites (u n) et (v n) définies par : u
Correction : montrer qu’une suite est ou n’est pas arithmétique www bossetesmaths com Exercice 1 (Montrer qu’une suite n’est pas arithmétique) Pour montrer que la suite (un) n’est pas arithmétique, on calcule les 3 premiers termes a) Pour tout n∈N, un =−4n+6n2
Pour montrer qu’une suite (u n) est constante, on montre que pour toutn,onau n+1 = u n Exercice 1 Soient les suites (u n) et (v n) définies par : u 0 =0 et u n+1 = u n +v n 2 pour toutn 0 Soient les suites (u n) et (v n) définies par : v 0 =12 et v n+1 = u n +2v n 3 pour toutn 0 On pose t n =3v n +2u n pour toutn 0 Démontrer que
Exercice 2 (Montrer qu’une suite est géométrique) Dans chacun des cas ci-dessous, montrer que la suite (un) est géométrique et donner sa raison et son premier terme a) Pour tout n∈N, un =−4×5n b) Pour tout n∈N, un =2n+1 ×3 c) Pour tout n∈N, un = 4 3n d) u0 =−1 un+1 = 2un 5 pour tout n∈N Exercice 3 (Avec une suite
Une suite : ; est une suite géométrique lorsqu’on passe de chaque terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre non nul , appelé raison de la suite On a : Point méthode : Comment montrer qu’une suite est géométrique ? Pour prouver qu’une suite est géométrique, plusieurs méthodes sont envisageables :
Préparationàl’agrégation-Suitesetsériesdefonctions Remarque 2 4 Pour montrer qu’une suite ne converge pas uniformément, on peut utiliser
Ce qu’une suite a d’intéressant pour nous dans ce chapitre, ce ne sont pas ses premiers termes mais son comportement asymptotique, i e à l’infini Si par exemple tous ses termes sont majorés par 1 sauf les 30 premiers, on a bien envie de dire que la suite est « presque » majorée par 1
Considérons une suite numérique (u n) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5 Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u 0 = 3, u 1 = 8, u 2 = 13, u 3 = 18 Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3 La suite est donc
On peut montrer que tout les termes de cette suite sont bien d´efinies ☞M´ethode : Comment d´emontrer que tout les termes d’une suite r´ecurrente sont bien d´efinis ? Supposons que l’intervalle J⊂ D f soit un intervalle stable de f et que u0 ∈ J On peut alors montrer par r´ecurrence que ∀n∈ N, u n existe et u n ∈ J
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Chapitre 5 : Suites-raisonnement par récurrence
suite est croissante, si elle est toujours comprise entre 0 et 1, la suite est décroissante 4 par récurrence Cette méthode est souvent (pas toujours) la bonne pour les suites récurrentes Pour montrer qu’une suite est croissante, Pn: « un < un+1 » et pour montrer qu’une suite est décroissante P
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I - Le raisonnement par récurrence
Etude du sens de variation d’une suite Méthode 1: On étudie le signe de la différence u n+1 – u n de deux termes consécutifs Si pour tout n, u n+1 – u n ≥ 0, cela signifie que u n+1 ≥ u n Donc la suite est croissante Si pour tout n, u n+1 – u n ≤ 0, cela signifie que u n+1 ≤ u n Donc la suite est décroissante Exemple : u n = 2n – n
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Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques
premiers termes d’une suite géométrique Ce théorème est admis Il est intéressant de démontrer qu’une suite croissante non majorée a pour limite + ∞ Des exemples de suites récurrentes, en particulier arithmético-géométriques, sont traités en exercice Des activités algorithmiques sont
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Raisonnement par récurrence Limite d’une suite
Raisonnement par récurrence Limite d’une suite Raisonnement par récurrence EXERCICE 1 Soit la suite (un)définie sur N par : (u0 =14 un+1 =2un −5 Montrer par récurrence que : ∀n ∈N, un =9×2n +5 EXERCICE 2 La suite (un)est définie par : u1 =0 et un+1 = 1 2−un 1) Calculer u2, u3, u4 2) Que peut-on faire comme conjecture sur l’expression de un en fonction de n?
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Rappels sur les suites - Algorithme
Règle 1 : Pour montrer la monotonie d’une suite (un), • On étudie le signe de la quantité un+1 −un (cas le plus fréquent) si pour tout n ∈ N, un+1 −un >0 alors, (un)est croissante si pour tout n ∈ N, un+1 −un 1 alors, (un)est croissante si pour tout n ∈ N, un+1
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Suites r´ecurrentes du type n+1 n - toile-libreorg
On va montrer par r´ecurrence que la suite uest croissante Posons, Pn: ” un 6un+1” – P0 est trivialement vraie – Supposons que Pn est vrai donc un 6un+1 Or la fonction f est croissante sur I et un ainsi que un+1 appartiennent a I donc f(un) 6f(un+1) ⇔ un+1 6un+2 ce qui montre que Pn+1 est vraie Par cons´equent ∀n∈ N,Pn est vraie et la suite uest croissante Taille du fichier : 221KB
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Partie 1 : Complément de cours à étudier intervalle stable
alors u est croissante Si u 0 u 1 alors u est décroissante Si f est décroissante sur I alors les deux sous-suites (u 2n) et (u 2n+1) sont monotones et de monotonie contraire Démonstration: D'après ce qui précède, pour tout entier n, u n existe et u n I Supposons que u 0 ≤ u 1 On montre que (u n) est croissante par récurrence sur n : On pose P(n) : u n ≤ u n+1 On a P(0) vraie Supposons P(n) vraie
forte si les termes de la suite sont définies par récurrence en fonction de tous les termes Montrer qu'une suite est majorée, minorée, bornée, périodique, montrer que u est convergente et croissante (resp décroissante) à partir d'un certain
M C A thodes Suites MPSI
14 oct 2015 · Si on montre ces deux phases la propriété est démontrée pour tout entier naturel b) Montrons par récurrence que la suite (un) est croissante
cours raisonnement recurrence limite suite
c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un ) est d) On utilise un raisonnement par récurrence (voir section 2) Il est bien évident DÉMONTRER QU'UNE SUITE EST ARITHMÉTIQUE Une suite (un)
extrait
Comment montrer qu'une suite ( )un est croissante ? raisonnement par récurrence Lorsque ( )un est une suite à termes strictement positifs, on montre que
demo suite croissante decroissante
étudie la suite (un) définie par u0 ∈ I et pour tout n ∈ N, un+1 = f(un) Résultats ` a de montrer par récurrence que (un) est croissante On proc`ede de même si
PCSI complement
La suite (Sn)n李0 de l'introduction est strictement croissante car Sn+1/Sn = 1, l' application φ est strictement croissante, on montre facilement par récurrence
ch suites
Comment montrer qu'une suite récurrente est majorée ou minorée? – Comment Si f est strictement croissante, et si u0 < u1, vérifions par récurrence sur n
SuitesMarc
Démontrer par récurrence que (un) est croissante Il s'agit de montrer que la propriété P(n) : un+1 ≥ un est vraie pour tout n ≥ 0 ○ Initialisation : pour n = 0,
Resume corrige
Afin de montrer qu'un intervalle J est stable par une fonction f, il est suffit d'étudier les variations de On va montrer par récurrence que la suite u est croissante
Suites Etudes des suites recurrentes
c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est DÉMONTRER QU'UNE SUITE EST ARITHMÉTIQUE. Une suite (un) est ...
La formule par récurrence d'une suite u est l'expression de un en Les démonstrations par récurrence servent à démontrer qu'une propriété qui dépend.
La suite de Syracuse d'un nombre entier N est définie par récurrence de la Pour que cette notation ait un sens
Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000506]. Exercice 2. Montrer qu'une suite d'entiers qui converge
Soit u la suite définie par u0 = 1 et un+1 = f(un) avec f(x) = 1. 5. (x3 + 1). Démontrer par récurrence que u est décroissante. On admettra qu'on peut
est croissante ou décroissante ? Comment montrer qu'une suite ( )un est croissante ? (Strictement croissante ?) Méthode 1. ? On montre ?n un+1. ?unÃ0.
Comment montrer qu'une suite (Un) est croissante ou décroissante ? Attention on ne peut pas se contenter de calculer quelques termes !
(i) Par relations de récurrence : { u0 = 3. ?n ? N un+1 = un + 5 Pour montrer qu'une suite est croissante
La conclusion selon laquelle (un)n? est à valeurs dans D est très pratique quand on veut montrer qu'une suite est minorée/majorée/bornée. Par exemple si [1
b) Démontrer par récurrence que 0 ? un ?1. c) Cette suite est-elle décroissante ? d) Cette suite semble-t-elle convergente ? Si oui calculer lim.
Une suite est dé?nie par une formule explicite lorsque un s’exprime directement en fonction de n (un = f (n)) Dans ce cas on peut calculer chaque terme à partir de son indice Exemple Soit ( u n ) n 2N la suite dé?nie pour tout entier naturel n par u n = 1+3 n
Si f est croissante sur I la suite (un) est monotone Remarque : Ce théorème ne permettant pas de connaitre les variations d’une suite on fera une conjecture grâce aux calculs (ou dessin) des premiers termes et on démontrera cette conjecture par récurrence
1) Si une suite croissante est non majorée alors elle tend vers +? 2) Si une suite décroissante est non minorée alors elle tend vers ?? Démonstration au programme du 1) : Soit un réel a Comme (u n) n'est pas majorée il existe un entier p tel que "T>0 La suite (u n) est croissante donc pour tout 4>X on a : "#?" T
a puis que la suite (u n) n>1 est décroissante 3 En déduire que la suite (u n) converge vers p a 4 En utilisant la relation u n+1 2 a = (u n+1 p a)(u n+1 + p a) donner une majoration de u n+1 p a en fonction de u n p a 5 Si u 1 p a6k et pour n>1 montrer que u n p a62 p a k 2 p a 2n 1: 6 Application : Calculer p 10 avec une précision de 8
Comment montrer que la suite est croissante ?
Si la suite (u_n) (un) est définie par une formule par récurrence (par exemple par une formule du type u_ {n+1}=f (u_n) un+1 = f (un) ), on peut démontrer par récurrence que u_ {n+1} geqslant u_n un+1 ? un (resp. u_ {n+1} leqslant u_n un+1 ? un) pour montrer que la suite est croissante (resp. décroissante)
Comment savoir si une suite est positif ou décroissante ?
Remarque 1 : Pour l'étude du signe on n'oubliera pas que n n étant un entier naturel, il est positif ou nul. Remarque 2 : Une suite peut très bien n'être ni croissante, ni décroissante, ni constante (cas des suites non monotones comme la suite (u_n) (un) définie par u_n= ( - 1)^n un = (?1)n )
Comment faire une démonstration par récurrence ?
La démonstration par récurrence s'apparente au "principe des dominos" : L'étape d'initialisation est souvent facile à démontrer ; toutefois, faites attention à ne pas l'oublier ! n+1 n + 1. Pour cela, il est conseillé d'écrire ce que signifie
Quelle est la limite de la suite ?
Cela prouve que la limite de la suite est supérieure à 2 mais n'est pas nécessairement égale à 2. 5 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Méthode : Utiliser le théorème de convergence monotone
LES SUITES