equivalence relation, provided we restrict to a set of sets (we cannot just de ne this as an equivalence relation on the \set" of all sets, since this is too big to be a set) For example, we could de ne this relation on a set such as P(R), the set of all subsets of the real numbers The
These three properties are captured in the axioms for an equivalence relation Definition An equivalence relation on a set X is a relation ∼ on X such that: 1 x∼ xfor all x∈ X (The relation is reflexive ) 2 If x∼ y, then y∼ x (The relation is symmetric ) 3 If x∼ yand y∼ z, then x∼ z (The relation is transitive ) Example
An Important Equivalence Relation Let S be the set of fractions: S ={p q: p,q∈ℤ,q≠0} Define a relation R on S by: a b R c d iff ad=bc This relation is an equivalence relation 1) For any fraction a/b, a/b R a/b since ab = ba (Reflexitivity) 2) If a/b R c/d, then ad = bc, so cb = da and c/d R a/b (Symmetry)
Equivalence Relations and Functions October 15, 2013 Week 13-14 1 Equivalence Relation A relation on a set X is a subset of the Cartesian product X£X Whenever (x;y) 2 R we write xRy, and say that x is related to y by R
De nition 4 Let ˘be an equivalence relation on X The set [x] ˘as de ned in the proof of Theorem 1 is called the equivalence class, or simply class of x under ˘ We write X= ˘= f[x] ˘jx 2Xg Example 6 If we consider the equivalence relation as de ned in Example 5, we have two equiva-lence classes: odds and evens
Then ~ is an equivalence relation because it is the kernel relation of function f:S N defined by f(x) = x mod n Example: Let x~y iff x+y is even over Z Note that x+y is even iff x and y are both even or both odd iff x mod 2 = y mod 2 Therefore ~ is an equivalence relation because ~ is the kernel relation of
equivalence relations, partitions, and quotient sets are important Example 3 1 Define the following equivalence relation on Z (Znf0g): (a;b)˘(c;d),ad =bc: Then (Z Z)=˘“is” the rational numbers More about this later Example 3 2 Let ˘be the equivalence relation on R defined by x ˘y if and only if x y is an integer multiple of 2p
Une relation réflexive, symétrique et transitive est appelée une relation d'équivalence Définition Soit E un ensemble, muni d'une relation d'équivalence R Pour tout élément x de E, on appelle classe d'équivalence de x et l'on note C(x) le sous-ensemble de E formé des éléments y tels que x R y soit vrai
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Relations d’équivalence
À l’inverse, si Rest une relation d’équivalence sur E, on peut considérer U R = fxR; x2EgˆP(E): 2 5 Proposition Étant donné un ensemble E 1 Pour tout partition Ude E, la relation R Uest une relation d’équivalence, dont les classes d’équiva-lence sont les C2U 2 Pour toute relation d’équivalence Rsur E, le sous-ensemble des parties U
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Relations d’équivalences
Peut-être il est surprenant de se réaliser que Q est définie par une relation d’équivalence Discutonscetexemple Acceptonsl’ensembleZ desnombresentiers Surl’ensemble U:= {(n,d) ∈Z×Zd 6= 0 }nousdéfinissonsunerelationd’équivalence (n,d) ∼(n0,d0) sietseulementsi nd0= n0d Lemme5 2 ∼estunerelationd’équivalencesurU Démonstration Soient(n 1,d 1),(n 2,d 2) et(n 3,d 3
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CHAPITRE 3 : Relations d’équivalence et ensemble quotient
1 0 5 Réciproquement, une partition de A définit une relation d’équivalence Supposons que l’ensemble A correspondent à l’union de sous-ensembles A1, ,An ie A = A1 union A2 union union An alorslarelationR:AxAdéfinitpar x R y si et seulement si il existe i tel que x et y sont dans le même sous-ensemble Ai estunerelationd’équivalence
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1 Exemples simples de relations d’équivalence
Onconsidèrelarelationd’équivalence˘deEdansEpar: (a;b) ˘(c;d) ssiad bc= 0: 1 Prouvez que la relation ˘est une relation d’équivalence, et que l’ensemble quotient E=˘est en bijection avecl’ensembleQ desnombresrationnels 2 Prouvez que les opérations et sont compatibles avec ˘, et que leurs quotients sont les opérations
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EquivalenceRelations
The relation is not transitive, and therefore it’s not an equivalence relation Example A relation is defined on Rby x∼ y means (x+y)2 = x2 +y2 Check each axiom for an equivalence relation If the axiom holds, prove it If the axiom does not hold, give a specific counterexample (1+1)2 = 4 but 12 +12 = 2, and 4 6= 2 Hence, 1 ∼ 1 and the relation is not reflexive Suppose x∼ y Th
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Relations binaires Relations d’équivalence et d’ordre
3 RELATION D’ORDRE L’ensemble quotient E/ R est donc un ensemble d’ensembles inclus dans P(E) Démonstration : Montrons que E/ R forme une partition de E Notons x la classe d’équivalence de x pour R • ∀x ∈ E, x ∈ x car réflexivité x R x on en déduit que E = S x∈E x • Montrons que si x ∩y 6= ∅ alors x =y z ∈ x ∩y ⇒ z R x z R y Par symétrie et transitivité
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VIII Relations d’ordre et d’équivalence
VIII-RELATIONSD’ORDREETD’ÉQUIVALENCE 2 Relations d’équivalence Définition2 0 1 Onappellerelationd’équivalence touterelation binaireréflexive,transitiveetsymétrique Exemple2 0 2 •L’égalitésurE estl’exempleleplusclassique derelationd’équivalence •Larelationdecongruencemodulon surZ en estaussiune :onfixen ∈Z nonnul,etondit
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Relation d’équivalence, relation d’ordre 1 Relation d
Relation d’équivalence, relation d’ordre 1 Relation d’équivalence Exercice 1 Dans C on définit la relation R par : zRz0,jzj=jz0j: 1 Montrer que R est une relation d’équivalence 2 Déterminer la classe d’équivalence de chaque z2C Indication H Correction H Vidéo [000209] Exercice 2 Montrer que la relation R définie sur R par : xRy()xey =yex est une relation d’équivalence Taille du fichier : 147KB
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Equivalence Relations
equivalence relation and the equivalence classes of R are the sets of F Pf: Since F is a partition, for each x in S there is one (and only one) set of F which contains x Thus, x R x for each x in S (R is reflexive) If there is a set containing x and y then x R y and y R x both hold (R is symmetric) If x R y and y R z, then there is a set of F containing x and y, and a set containing y and Taille du fichier : 163KB
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Équivalence et Ordres - limuniv-reunionfr
La relation n ≤ m sur les entiers est réflexive, transitive et anti-symétrique La relation stricte n < m sur les entiers est transitive, irréflexive et antisymétrique 5 2 Equivalence Définition 2 (Relation d’équivalence) Un relation est une relation d’équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive
relations sur l'ensemble des droites du plan ou de l'espace L'inclusion ⊂ est une relation sur P(X), où X est un ensemble quelconque Définitions Soit R
relations
Vérifier que la relation est une relation d'équivalence 2 Faire la liste des classes d'équivalences distinctes et donner l'ensemble quotient Allez à : Correction
fetch.php?media=exomaths:exercices corriges relations binaires
Par exemple sur N ou sur R, la relation ≤ est une relation d'ordre Nous introduirons aussi les relations dites d'équivalence, qui permettent dans un ensemble de
chapitre
Dire si chacune des relations ci-dessous est réflexive, symétrique, Soit x ∈ R Par définition, la classe d'équivalence de x, notée Cl(x), est l'ensemble
TD corrige
20 août 2017 · Exemples : Les relations que l'on utilise couramment en mathématiques • La relation d'égalité sur un ensemble E «=» • Les relations sur R « < »
bis relation binaire
7 mar 2018 · 1 0 1 Définition: une relation R:AxA est une relation d'équivalence sur A si R est reflexive, symétrique et transitive Notation on utilise souvent le
cm
Déterminer la classe d'équivalence de z ∈ C Exercice 2 Soit R une relation binaire sur un ensemble E, symétrique et transitive Que penser du raisonnement
selcor
Relations d'équivalence 1 Introduction La notion de relation d'équivalence est un outil merveilleux Elle permet tout d'abord de réunir des objets "équivalents"
equival
TD: Relations 1 Relations, relations d'équivalence 1 Sur l'ensemble des mots de la langue française, on définit la relation : le mot M est lié au mot N s'ils
td corrige
Une relation R sur un ensemble E est une relation d'équivalence si elle est réflexive, transitive et de plus symétrique, c'est-à-dire : ∀x, y ∈ E, xRy ⇒ yRx 1 9
Ch. Relations
Par exemple sur N ou sur R la relation ? est une relation d'ordre. Nous introduirons aussi les relations dites d'équivalence
2. Relations d'équivalence. Définition. Une relation binaire est une relation d'équivalence si et seulement si elle est réflexive symétrique et transitive.
20 août 2017 Définition 1 : Une relation binaire ? définie sur un ensemble E est au choix : • une propriété qui relie ou non deux éléments x et y de E.
1. Vérifier que la relation est une relation d'équivalence. 2. Faire la liste des classes d'équivalences distinctes et donner l'ensemble quotient .
7 mars 2018 1.0.1 Définition: une relation R:AxA est une relation d'équivalence sur A si R est reflexive symétrique et transitive.
C'est une relation d'équivalence sur U : MAT1500. 7 of 40. Page 8. Démonstration. Soient (n1d1)
Définir une relation d'équivalence c'est précisément définir un critère Il y a deux "classes d'équivalence" : la “classe des hommes" et la “classe des.
est une relation d'équivalence. Préciser pour x fixé dans R
https://livres-mathematiques.fr/onewebmedia/L1-MI-arith-ch1.pdf
Math 127: Equivalence Relations Mary Radcli e 1 Equivalence Relations Relations can take many forms in mathematics In these notes we focus especially on equivalence relations but there are many other types of relations (such as order relations) that exist De nition 1 Let X;Y be sets
relationship between equivalence relations and partitions Note that throughout this lecture we have already seen that an equivalence relation induces a partition but now we shall formally prove this phenomenon Theorem 1 If R is an equivalence relation on a set S then the equivalence classes of R partition S Proof
Equivalence relations are remarkably useful because they allow us to work with the concept of equivalence classes: De nition Take any set S with an equivalence relation R For any element x 2S we can de ne the equivalence class corresponding to x as the set fs 2S jsRxg Again you have worked with lots of equivalence classes before For mod 3
An Important Equivalence Relation Let S be the set of fractions: S ={p q: pq??q?0} Define a relation R on S by: a b R c d iff ad=bc This relation is an equivalence relation 1) For any fraction a/b a/b R a/b since ab = ba (Reflexitivity) 2) If a/b R c/d then ad = bc so cb = da and c/d R a/b (Symmetry)
1 Determine whether the following relations are equivalence relations on the given set S If the relation is in fact an equivalence relation describe its equivalence classes (a) S = Nnf0;1g; (x;y) 2R if and only if gcd(x;y) > 1 (b) S = R; (a;b) 2R if and only if a2 + a = b2 + b: (c) S = R; (x;y) 2R if and only if there exists n 2Z such that
Using equivalence relations to de?ne rational numbers Consider the set S = {(xy) ? Z × Z: y 6= 0 } We de?ne a rational number to be an equivalence classes of elements of S under the equivalence relation (ab) ’ (cd) ?? ad = bc An equivalence class is a complete set of equivalent elements
What are equivalence relations?
Equivalence classes What makes equivalence relations so useful is they give us a way of ignoring information that is irrelevant to the task at hand. For example, suppose a and b are two very large natural numbers, each with several trillion (decimal) digits. We want to know what the last digit of ab is.
Which equivalence class is F?
Let F be any partition of the set S. Define a relation on S by x R y iff there is a set in F which contains both x and y. Then R is an equivalence relation and the equivalence classes of R are the sets of Pf: Since F is a partition, for each x in S there is one (and only one) set of F which contains x.
What is a leaner definition of equivalence?
A leaner de?nition is: If R is an equivalence relation on a set S, then we de?ne the equivalence class of an element x ? S to be the set of all elements of S equivalent to x. Then we need to prove: 5 Theorem 1.
What is an equivalence class?
An equivalence class is a complete set of equivalent elements. I.e., it’s a set of elements of S, all of which are equivalent to each other, and which contains all of the pairs that are equivalent to those pairs. (Stricly speaking we need to use some properties of equivalence relations to check that this makes sense ...more about that later.)
Table des mati`eres