Limites d’intégrales 1 Convergence dominée, convergence monotone 2 Exercices corrigés Pierre-Jean Hormière _____ 1 Théorèmes de convergence dominée, convergence monotone 1 1 Convergence simple Soient I un intervalle de R, ( fn) une suite de fonctions de I dans R ou C On dit que la suite ( fn)
d'une jolie manière L'exercice 7 est un peu à part Il n'y a pas de suite d'intégrale mais une intégrale à paramètre Il est très intéressant car il finit sur des questions de probabilités originales Exercice 1 On considère la suite (I n) n 1 définie par I n = ∫ 0 n 1 1 + x 3 dx On a représenté ci-contre la fonction x 1 1 + x 3
I - Suites d’intégrales Commençons par rappeler un théorème énoncé et démontré dans le chapitre « Suites et séries de fonctions » Théorème 1 Soit (fn)n∈N une suite de fonctions définies et continues sur un segment [a,b]de Rà valeurs dans K=Rou C Soit f une fonction définie sur [a,b]à valeurs dans K
formément bornées, chacune est d’intégrale nulle et (f n) n 0 converge simplement; cependant, la limite n’est pas Riemann-intégrable Le point de départ de la théorie de l’intégration de Lebesgue est d’observer que toute fonction bornée est limite uniforme d’une suite de fonctions ne prenant qu’un nombre fini de valeurs Ces
la longueur d’une courbe définie comme limite des longueurs des polygones inscrits L’étude de la représentation de l’aire à l’aide d’une intégrale double n’est abordée que dans le cas très particulier où la surface admet des plans tangents variant d’une façon continue; on retrouve l’intégrale classique ' \\JeG — F
Plus généralement, la limite uniforme d’une suite de fonctions continues (ou la somme uniforme d’une série de fonctions continues) est continue On peut remarquer également, quand A est un intervalle de R,que la continuité des f n ou u n sur A et la convergence uniforme sur tout segment [a,b] ⊂ A suffit à assurer la continuité de
a f(t)dtne dépend pas de x, la limite de R x a f(t)dtexiste si et seulement si celle de R x a0 f(t)dtexiste aussi La convergence d’une intégrale ne dépend donc pas du comportement de la fonction sur des intervalles bornés, mais seulement de son comportementauvoisinagede+∞ 2
Convergence d’une suite définie par une intégrale On considère la suite u définie pour tout n n∈ IN * par : u n = 2 0 2 3 e d 2 t t t t + ∫ + 1 ϕ est la fonction définie sur [0 ; 2] par ϕ (t) = 2 3 2 t t + + a Étudier les variation de ϕ sur [0 ; 2] b En déduire que pour tout réel t de [0 ; 2], 3 2 ≤ ϕ(t) ≤ 7 4
approchée à e près donné de la limite d’une suite convergente ou de la somme d’une série convergente ou alors de trouver le plus petit indice n pour lequel l’écart à la limite vaut un e donné Dans ce genre d’exercice, on va bien entendu devoir utiliser une boucle while Premier exemple : Soit (u n) n2N la suite définie par u 0
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TD 2, Limites d'intégrales - Claude Bernard University Lyon 1
1 2 Passage à la limite dans les intégrales Soit ( fn) une suite de fonctions continues par morceaux de I dans R ou C, tendant simplement vers une fonction f continue par morceaux Si les intégrales ∫ I fn x( ) dx convergent, l’intégrale ∫ I f x ( ) dx converge-t-elle, et a-t-on lim n →+∞ ∫ I fn x( ) dx = ∫ →+∞ ITaille du fichier : 66KB
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Suites et séries d’intégrales - maths-francefr
théorème 1 Par contre, la limite de la suite d’intégrales se calcule directement Z1 0 xn dx = 1 n+1 → n→+∞ 0 • Pour x ∈ h 0, π 2 i, posons fn(x)=sinn x Pour x ∈ [0,1], fn(x) → n→+∞ 1 si x =π/2 0 si x ∈ h 0, π 2 h =f(x) De nouveau, la suite de fonctions (fn)n∈N converge simplement sur h 0, π 2 iTaille du fichier : 111KB
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1 Limites de suites d’intégrales
pour n 2N Démontrer que la suite (n) converge vers une limite ‘, et trouver un équivalent de In ¡‘ Solution de 10 : Par théorème de convergence dominée, fonction dominante : e1, on trouve une limite égale à Ensuite, première technique : si on veut comparer une intégrale à un nombre, on écrit ce nombre sous forme d’intégrale Ici 1¡In ˘ Z 1 0 un
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Savoir ÉTUDIER DES SUITES D'INTÉGRALES
alors c'est aussi la limite de v n Remarque: Il est rare de pouvoir aller si vite, les fonctions proposées n'ayant en général pas de primitive connue Montrer qu'une telle suite est croissante u n+1 –u n = ∫ 0 n+1 f(t) d∫ 0 n = ∫ n n+1 si f positive sur tout [ n; n + 1 ] (donné ou à démontrer), alors l'intégrale aussi, et donc u n+1 – u n aussi
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VII – Intégration
A Limite des suites u et v 1 Démontrer que les suites u et v sont décroissantes Comme elles sont positives, on en déduit qu'elles sont convergentes On note A la limite de la suite u et A' la limite de la suite v 2 a Pour tout entier naturel non nul p, exprimer up vp en fonction de p b Démontrer que l'un au moins des réels A et A’ est nul 3 a
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Théorèmes d’échange de limites - Free
Théorèmes d’échange intégrale - limite 1) Convergence uniforme Attention : ce théorème ne s’applique que sur des intervalles d’intégration bornés Théorème pour des suites de fonctions Si les applications f n:[a,b] −→ C sont continues par morceaux et convergent uniformément, quand n
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Théorèmes d’échange de limites - pagesperso-orangefr
Théorèmes d’échange intégrale - limite 1) Convergence uniforme Attention : ce théorème ne s’applique que sur des intervalle sd’intégrationbornés Théorème pour des suites de fonctions Si les applications f n:[a,b] −→ C sont continues par morceaux et convergent uniformément, quand n
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E3A Maths B PSI 2012 — Corrigé - prepamagfr
On l’exprime comme la limite d’une suite définie par une intégrale que l’on cal- cule de deux façons différentes, en utilisant les techniques d’intégration usuelles (changementde variable,intégrationparparties,convergencedominée), d’étude
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Cours de mathématiques Partie II – Analyse
I 2 Définition de la limite d’une suite 50 I 3 Unicité de la limite et exemples 51
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PARTIE I ANALYSE - univ-toulouse
Dans le cas d’une suite u n = f(n), il suffit d’´etudier le sens de variation de f Dans le cas d’une suite d´efinie par r´ecurrence u n+1 = f(u n), il faut en g´en´eral ´etudier le signe de f(x)− x III Suite convergente D´efinition 2 La suite (u n)convergevers" ∈ R si : ∀ε>0, ∃n 0 ∈ N, ∀n n 0, u n − " " ε
23 sept 2016 · Soient I un intervalle de R, (fn) une suite de fonctions de I dans R ou C On dit que Autrement dit, peut-on passer à la limite dans l'intégrale ?
maths td support
fonctions ayant une limite infinie en un point de l'intervalle d'intégration Si on se réfère Dans le cas contraire, on dit que l'intégrale diverge 2 pour toute suite (xn)n∈N tendant vers l'infini, la fonction x ↦→ F(x) admet une limite en +∞
ic
3 1 4 Remarque sur la comparaison des suites de réels 25 3 3 2 Développements limités de quelques fonctions classiques
PolyL seriesint
Soit f : I → R la limite simple de fn Pour calculer l'intégrale de f, on dispose de 2 théorèmes : 1 (Sous convergence uniforme) Hypothèses :
fiche
u 1/n n = √a alors que la suite un+1 un n'a pas de limite quand n → +∞ 2 4 10 Proposition Comparaison avec une intégrale Soit f une fonction définie sur R+
PM
On appelle série (∑ xn) de terme général xn, réel ou complexe, la suite de Par passage à la limite des bornes de l'intégrale, on montre facilement que les
series
2 1 3 Intégrale d'une fonction continue `a valeurs complexes On dit qu'une suite (un) de nombres réels, a pour limite un réel l donné, ou tend vers l, ou
fourier
La linéarité de l'intégrale et de la limite permettent de généraliser les les sous- suites d'une suite convergente convergent vers la même limite donc les deux
cours MAT chapitre integrales impropres
12 mar 2020 · c) En déduire que la suite (In) est convergente On note ℓ sa limite 4) Déterminer la valeur de ℓ On pourra raisonner par l'absurde PAUL MILAN
exos suite integrale
Pour calculer la limite d'une suite dé nie par une intégrale on utilise le plus souvent
23-Sept-2016 Soient I un intervalle de R (fn) une suite de fonctions de I dans R ou C. ... Autrement dit
07-Oct-2019 la plus naturelle de définir une limite pour la suite (fn) ... En outre on a par linéarité de l'intégrale et l'inégalité triangulaire.
On suppose que pour tout n dans N la fonction fn est continue sur le segment [a
06-Jan-2012 Alors la suite (ln)n?N converge f admet une limite en a et les deux ... 1 : l'intégrale de la limite simple d'une suite de fonctions n'est.
2 limites sont différentes la convergence de la suite (fn) n'est pas uniforme sur R. Interversion limite et intégrale. De même
Nous allons construire l'intégrale par un procédé de passage `a la limite. Soit I un intervalle de R. Soit (fn) une suite de fonctions sur I et soit.
Plus généralement la limite uniforme d'une suite de fonctions continues (ou la somme uniforme d'une série Théorèmes d'échange intégrale - limite.
La linéarité de l'intégrale et de la limite permettent de généraliser les les sous-suites d'une suite convergente convergent vers la même limite donc ...
Autrement dit une fonction est intégrable ssi toutes ses suites de sommes de Elles ne peuvent pas tendre vers une limite commune.
SUITES DÉFINIES PAR UNE INTÉGRALE