3) Propriétés des matrices carrées qui commutent Soient deux matrices A et B deux matrices carrées d’ordre n qui commutent c'est-à-dire AB BA On a les égalités 2 22 2 22 22 2 2 A B A AB B A B A AB B A B A B A B (analogue aux identités remarquables) Formule du binôme : Soient deux matrices et deux matrices carrées d’ordre qui
endomorphismes de E qui commutent avec f C(f)={g ∈ L(E)/ g f =f g} • Soit A ∈ Mn(K) Le commutant de A est l’ensemble des matrices carrées qui commutent avec A C(A) = {B ∈ Mn(K)/ B×A =A ×B} Polynôme minimal d’un endomorphisme (ou d’une matrice) 2 http ://www maths-france frc Jean-Louis Rouget, 2017 Tous droits réservés
nombres qui occupent la même position sont égaux Définition 3 : On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont les coefficients non diagonaux sont tous nuls Remarque : pour toute la suite du chapitre, on ne manipulera quasiment que des matrices carrées et des matrices colonnes II- Opérations sur les matrices
• A et B sont deux matrices carrées d’ordre n qui commutent pour le produit (c’est-à-dire AB BA ) Pour tout entier naturel p, on a A B A Bp p p • A est une matrice carrée d’ordre n qui est inversible Pour tout entier naturel p, la matrice Ap est inversible et A Ap 1 1 p
En fait, pour tout p de *, Ap est le produit de p matrices toutes égales à A Méthode 1 2 Comment calculer une puissance d'une matrice par conjecture ? Formule du binôme Théorème 1 1 ⎯ Si A et B sont deux matrices de Mn qui commutent (AB = BA), alors pour tout entier naturel p, on a : ()() 00 pp p ppkpk pkk kk kk A BAB AB
matrices Eij dont tous les termes sont nuls sauf un qui vaut 1, à la ligne i et la colonne j On en déduit que dim L(E,F) = dimE × dimF, une base étant constituée des applications Φij définies par : ∀ k ≠ j, Φij(ek) = 0 Φij(ej) = εi ou encore Φij(ek) = δjk εi où δjk = 1 si j = k = 0 sinon (symbole de Kronecker) 4– Produit
L'ensemble des matrices de M3(R) qui commutent avec leur transposée (donc qui vérifient la relation (1)) est noté E3 10) Représenter la matrice S 11) Déterminer S2 et montrer que S et S2 sont dans E3 12) Montrer que pour tous réels a, b et c, la matrice R a13 + + cS2 appartient à E3
l’ensemble des matrices réelles d’ordre 3 et on considère les matrices suivantes de : 1 0 0 IA · ¸ ¸ ¸ ¹ Première partie 1) Calculer 2 A et 3 A, puis vérifier : 32 A 2 2) Montrer que la famille I A A,,2 est libre dans ; en déduire sans calcul que la famille AA, 2 est libre dans
associés commutent sont dites compatibles Dans le cas contraire , elles sont dites incompatibles • La commutativité de 2 opérateurs s’écrit : • AB-BA= [A,B] ex : [ pj,qj] = Ћ/i (voir TD) • Deux opérateurs non dégénérés qui commutent admettent les mêmes fonctions propres (voirTD) • Principe d’incertitude d’Heisenberg:
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Définition et opérations sur les matrices
3) Propriétés des matrices carrées qui commutent Soient deux matrices A et B deux matrices carrées d’ordre n qui commutent c'est-à-dire AB BA On a les égalités 2 22 2 22 22 2 2 A B A AB B A B A AB B A B A B A B (analogue aux identités remarquables) Formule du binôme : Soient deux matrices et deux matrices carrées d’ordre qui commutent c'est-à-dire Pour tout entier naturel p, p 0 p k k p B k §·
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Exo7 - Cours de mathématiques
Le produit de matrices n’est pas commutatif en général En effet, il se peut que AB soit défini mais pas BA , ou que AB et BA soient tous deux définis mais pas de la même taille Mais même dans le cas où AB et BA sont définis et de la même taille, on a en général AB 6= BA Taille du fichier : 220KB
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Chapitre 17 Les matrices - wifeocom
Chapitre 17 : Les matrices 1 Définitions 1 1 Définition d'une matrice Définition : Soient n et p deux entiers naturels non nuls On appelle matrice réelle à n lignes et p colonnes un tableau de nombres réels à n lignes et p colonnes Notation : Soit A une matrice à n lignes et p colonnes
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Table des matières
Les matrices scalaires commutent avec toutes les matrices (Ce sont les seules matrices qui vérifient cette propriété) Propriété : Ce n'est pas un anneau intègre On peut avoir A≠O et B≠O et : A×B=O Exemples : matrices diagonales, matrices nilpotentes, matrice de rang 1 de taille 2 (1 0 0 0)×(0 0 0 1)=(0 0 0 0) Matrice nilpotente A=(0 1 0 0)Et A 2=(0 0 0 0) Propriété : les matrices diagonales, triangulaires
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Réduction : que les définitions - MATHEMATIQUES
Le commutant de A est l’ensemble des matrices carrées qui commutent avec A C(A) = {B ∈ M n (K)/ B×A =A ×B} Polynôme minimal d’un endomorphisme (ou d’une matrice)
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MATHEMATIQUES : PROBLEMES ET SOLUTIONS
L'ensemble des matrices de M3(R) qui commutent avec leur transposée (donc qui vérifient la relation (1)) est noté E3 10) Représenter la matrice S 11) Déterminer S2 et montrer que S et S2 sont dans E3 12) Montrer que pour tous réels a, b et c, la matrice R = a13 + bS + cS2 appartient à E3
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MATHÉMATIQUE ET INFORMATIQUE Le BO 1127 CLASSES DE
binôme pour des matrices qui commutent) Écriture matricielle d'un système linéaire Matrice inversible, matrice inverse Inverse d'un produit Recherche pratique de l'inverse d'une matrice, par la résolution d'un système de Cramer Transposée d'une matrice Transposée d'une somme, d'un produit de matrices, de l'inverse d'une matrice Matrice symétrique
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SujetsetCorrigesfr
L'ensemble des matrices de M3(R) qui commutent avec leur transposée (donc qui vérifient la relation (1)) est noté E3 10) Représenter la matrice S 11) Déterminer S2 et montrer que S et S2 sont dans E3 12) Montrer que pour tous réels a, b et c, la matrice R a13 + bS + cS2 appartient à E3
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Observables qui commutent et caract erisation des etats
Observables qui commutent et caract erisation des etats Base commune a deux observables Si deux observables A^ et B^ commutent, il existe une base de l’espace de Hilbert form ee de vecteurs propres communs a A^ et B^ Ce r esultat est montr e ci-apr es, on pourra egalement consulter l’ouvrage de Cohen-Tannoudji, Diu et Lalo e pour une d emonstration (Tome I pages 139-143) Dans le cas ou
PCSI 2 Préparation des Khôlles 2013-2014 Chapitre 9 : Matrices Exercice type 1 Déterminer toutes les matrices de M2 (R) qui commutent avec A = 2 3 −1
chap
3 fév 2010 · Pour les matrices carrées, cela découle directement de la définition matrices qui commutent (tout le monde commute avec l'identité)
matrices
(e) Déterminer le commutant de la matrice T ainsi que sa dimension (f) i Soient E,F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies, et ϕ : E −→ F un
fetch.php?media=pmi:ds partie ccp commutant d une matrice d un endomorphisme dans le cas diagonalisable
2 2 Définition de la matrice d'une application linéaire relativement à deux bases Les matrices qui commutent avec toutes les matrices carrées sont les
matrices
(a) Trouver les matrices qui commutent avec une matrice car- rée diagonale à coefficients distincts Soit D une matrice diagonale de Mn(K) à coefficients
matieres
Définition 7 : Produit d'une matrice par une matrice colonne somme de deux matrices qui commutent : une diagonale et une dont les puissances sont nulles à
ECT Cours Chapitre
Exercice 3 : Que peut-on dire d'une matrice qui vérifie Tr(AAT )=0? Correction : Notons B = AT Par définition, on a donc bi,j = aj,i Notons C = AB Nous avons triangulaire supérieure commutant avec sa transposée Nous avons T = ( α XT
correction
Définition : Soit A une matrice carrée d'ordre n. On appelle commutant de A l'ensemble des matrices M qui commutent avec A c'est-à-dire telles que AM =.
3 févr. 2010 De même lorsque p = 1
Préparation des Khôlles. 2013-2014. Chapitre 9 : Matrices. Exercice type 1. Déterminer toutes les matrices de M2 (R) qui commutent avec A = 2.
De même une matrice qui n'a qu'une seule colonne (p = 1) est appelée Soient A et B deux éléments de Mn() qui commutent
l'exponentielle de matrices et ses applications en particulier au groupe linéaire. prouvable avant car exp B est un polynôme en B qui commute avec A
1- Définitions et ensembles de matrices. Définition d'une matrice. ... Théorème ; formule du binôme de Newton pour des matrices qui commutent.
Soit n ? N comme les deux matrices commutent
Un élément f ? (E) est un endomorphisme de E. Dans ce chapitre E sera de dimension finie. 1.1. Définition. Polynôme de matrice. Soit
matrices M de Mn(IK) qui commutent avec A : C(A) = {M ? Mn(IK) AM = MA}. (a) Montrer que M commute avec les matrices Eii. ... Par définition
26 oct. 2014 Définition analytique d'une application linéaire ... Commutant d'une matrice ou d'un ensemble de matrices. 11. Exponentielle d'une matrice.
Fiche aide-mémoire 7 : Commutant dune matrice. 1 Des remarques