E est un point du plan (ABC) Construire l'intersection du plan (EFG) avec la pyramide (BC) est une droite du plan (ABC) et (FG) est une droite du plan (EFG) Les droites (FG) et (BC) étant parallèles, on peut appliquer le théorème du toit pour en déduire que les plans (ABC) et (EFG) se coupent suivant une droite d passant par
Pour montrer qu’une droite d est parallèle à un plan P : montrer qu’il existe une droite ∆ incluse dans P et parallèle à d ∆ A b b B b b C D b E d b F b H G • Parallélisme entre deux plans : Théorème 2 : Lorsque un plan P1 contient deux droites d1 et d2 sécantes et parallèles à un plan P2 ALORS P1 et P2 sont parallèles d1
2) Par trois points non alignés, il passe un plan et un seul Un plan défini par trois points non alignés s’écrit avec des parenthèses : (ABC) (pour le différencier du triangle ABC) Si D est une droite de l’espace et A est un point de l’espace n’appartenant pas à D, il existe un plan et un seul contenant la droite D et le point A
Démontrer qu’une droite est parallèle à un plan Propriété 1 (admise ): Si deux droites (D) et( ) sont parallèles et si (D ) est incluse dans un plan(P), Alors ( ) est parallèle à(P) Pour montrer qu’une droite est parallèle à un plan , il suffit de démontrer qu’elle est parallèle à une droite du plan
• droite et plan → Pour montrer qu’une droite est parallèle à un plan, il suffit de trouver une droite du plan qui soit parallèle à cette droite → Avec les vecteurs, on montre que le vecteur directeur de la droite est coplanaire avec deux vecteurs directeurs du plan (c’est-à-dire deux vecteurs non colinéaires du plan )
- La droite (EG) est incluse dans le plan (EFG) - La droite (EG) et le plan (ABC) sont parallèles V Bases et repères de l’espace 1) Vecteurs coplanaires et bases de l’espace Définition : Trois vecteurs sont coplanaires s'ils possèdent des représentants appartenant à un même plan
⨿ Pour montrer qu’une droite (AB) et un plan (P) sont orthogonaux: On choisit deux vecteurs non colinéaires du plan (P) et on vérifie que chacun des ses vecteurs est orthogonal à " ( on vérifie que le produit scalaire des deux vecteurs est égale à 0) ⨿ Pour déterminer l’équation d’un plan ax + by + cz + d = 0 : Première
Pour montrer qu’une droite et un plan sont orthogonaux, on doit montrer que la droite est orthogonale a (au moins) deux droites s´ecantes dans ce plan (d´efinition p 274, ex 47 p 280) M´ethode 7 (Une droite orthogonale a` un plan) Pour montrer que deux droites d1 et d2 sont orthogonales, on peut : • trouver une parall`ele (d′
4 Dans cette partie, il s'agit, d'une part de renforcer la vision dans l'espace entretenue en classe de première, d'autre part de faire percevoir toute l'importance de la notion de direction de droite ou de plan
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DROITES ET PLANS DE L'ESPACE
La pyramide ABCD est telle que D soit un point de la droite d Démontrer que les droites (BD) et (AC) sont orthogonales La droite d est orthogonale au plan (ABC) Comme la droite (AC) appartient au plan (ABC), la droite (AC) est orthogonale à la droite d Par ailleurs, la droite (AC) est perpendiculaire à la droite (BE) car dans un triangle
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Droites et plans de l’espace
Pour montrer qu’une droite d est incluse dans un plan P, il est souvent plus simple de montrer que tout point de la droite d appartient au plan P 3 3 Intersection de deux plans ∙ Point de vue géométrique 1 Les plans P et P′ peuvent être parallèles Strictement parallèles Confondus P P′ P P′ Intersection vide Intersection : le plan P 6 2
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Chapitre 13 Droites, plans et vecteurs de l’espace
Si D et D′sont deux droites sécantes de l’espace, il existe un plan et un seul contenant les droites D et D′ 3) Si un plan contient deux points distincts A et B, alors la droite (AB) toute entière est contenue dans le plan P 4) Tout résultat de géométrie plane s’applique à l’intérieur d’un plan de l’espace I Position relative de droites et de plans dans l’espaceTaille du fichier : 191KB
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Méthode pour démontrer en géométrie dans l’espace 1
• droite et plan → Pour montrer qu’une droite est parallèle à un plan, il suffit de trouver une droite du plan qui soit parallèle à cette droite → Avec les vecteurs, on montre que le vecteur directeur de la droite est coplanaire avec deux vecteurs directeurs du plan (c’est-à-dire deux vecteurs non colinéaires du plan )
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Géométrie dans l’espace 1 Droites et plans de l’espace
Définition : Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites du plan Théorème : Pour qu’une droite soit orthogonale à un plan P, il suffit qu’elle soit orthogonale à deux droites sécantes du plan P (D) (P) (d) b (d′) A Remarque : la démonstration se fait facilement avec les vecteurs Exemple : ABCD est un tétraèdre régulier ( tous les côtés ont même longueur) I est milieu du segment [AC] 1 Montrer que la droite
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DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L’ESPACE
Une droite et un plan de l’espace peuvent être : Droite et plan sécants Droite et plan parallèles La droite (EC) et le plan (ABC) sont sécants en C La droite (EG) et le plan (ABC) sont strictement parallèles La droite (AC) est contenue dans le plan (ABC) DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L’ESPACE Par deux points distincts de l’espace, passe une unique droite Par trois points non alignés passe un unique plan
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Quelques méthodes de géométrie dans l’espace
⨿ Pour montrer qu’une droite (AB) et un plan (P) sont orthogonaux: On choisit deux vecteurs non colinéaires du plan (P) et on vérifie que chacun des ses vecteurs est orthogonal à " ( on vérifie que le produit scalaire des deux vecteurs est égale à 0) ⨿ Pour déterminer l’équation d’un plan ax + by + cz + d = 0 : Première méthode : On traduit le fait que les vecteurs ", " et " sont coplanaires : "="+" Taille du fichier : 380KB
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Géométrie dans l'espace
2 2 Exercice : Montrer qu'une droite est parallèle à un plan SABCD est une pyramide I,J et K sont les milieux respectifs de [SA], [SB] et [SC] Question [Solution n°1 p 30] Démontrer que la droite (IK) est parallèle au plan (ABC) Indice : On pourra montrer que (IK) est parallèle à une droite du plan (ABC)
Propriété : Deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale de l'autre Méthode : Démontrer que des droites sont orthogonales
EspaceTS
(3) Une droite est parallèle à un plan si elle n'a pas de point commun avec le plan, ou si elle cants P et 고, alors P est parallèle à la droite ∆ d'intersection de
ts chap cours
(a) Démontrer que les plans P1 et P2 sont sé- cants (b) Vérifier que la droite d, intersection des plans P1 et P2, a pour représentation pa- ramétrique
TS geoespace
L'espace est rapporté à un repère orthonormal t cantes (d) La droite (MN) et la droite (D) sont confon- dues 4 (a) Les plans (P) Démontrer que le vecteur
TS Geoespace Exosbac Feuille
La droite de l'espace passant par le point B de coordonnées ( 2;3;4 ) et admettant le Monter que la droite (HL) n'est pas parallèle au plan (EFG) Exercice 2800 et le plan (BGI) sont sé- cants en un point, noté L, de coordonnées 2 3
equation cartesienne
est une médiane du tétraèdre 1 Montrer que et que On pourra utiliser le Démontrer que la droite est orthogonale au plan diculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sé- cantes Soient le point de coordonnées et le vecteur
tspe exos
17 avr 2014 · 3) Tracer la droite (d3) passant par le point D(2; −1) et d'ordonnée à l'origine b = 3 M(x, y) est un point pris au hasard dans le plan mais distinct de A cantes ( figure 4) Montrer que les points A, B et C sont alignés
manuel chapitre G
est la droite d'équation des deux plans (ABC) et (MNP) d) Dans le plan (ABF), les droites (RM) et (EF) sont sé- cantes en U Dans le plan (EHF), les droites (GF)
C livre du prof
REMARQUE : Deux vecteurs #»u et #»v de l'espace sont nécessairement coplanaires : s'ils sont un cube d'arête 1 Démontrer que la droite (FD) est orthogonale au plan (ACH) A B C (AB) sont sé- cants en un point N de coordonnées :
TS manuel chapitre TS Obl G