n∈N une suite r´ecurrente du type u n+1 = f(u n) Si la suite converge vers let si la fonction f est continue en l, alors lest un point fixe de f : f(l) = l Remarque 1 : Si f n’admet aucun point fixe, alors toute suite r´ecurrente (u n) n∈N du type u n+1 = f(u n) n’est pas convergente Exemple : (u n) n∈N d´efinie par u0
6 Exemple Donner une exemple de suite qui tend vers π sans être monotone 7 Proposition (Unicité de la limite pour une suite convergente) Si une suite converge, sa limite est unique En maths : soit u une suite et ℓ,ℓ′ ∈ Rtels que limu = ℓ et limu = ℓ′ Alors ℓ = ℓ′ Preuve à connaître 8 Proposition
par exemple, u n = ∫ 0 n f(t) dt Lorsque le rang n est dans la fonction (son expression dépend de n), et les bornes sont fixes : par exemple, v n = ∫ a b f n (t) dt Ce que je dois savoir faire Montrer qu'une telle suite est convergente Si f admet une primitive F, alors u n = [ (t) ] 0 n = n) – (0)
Pour montrer qu'une suite réelle u est croissante (resp décroissante) à partir d'un certain rang no, on peut : majorer (resp minorer) directement, pour tout entier n no, un+l en essayant de faire apparaître un,
Une suite est dite géométrique s'il existe q > 0 tel que pour tout n 2N, u n+1 = qu n Le nombre q est appelé raison de la suite Méthode pour montrer qu'une suite est géométrique Calculer le quotient u n+1 u n Montrer que pour tout n, ce quotient est constant et ne dépend pas de n Exemple Montrer que la suite dé nie pour tout n 2N par u
convergences de suites
Le minorant ou le majorant n’est pas forcément égal à la limite Une suite croissante majorée par 5 peut avoir une limite égale à 5 mais aussi à 4 ou à 3 Bien lire les énoncés car il y a un modèle type : 1) montrer que la suite est croissante 2) montrer que la suite est majorée 3) montrer que la suite est convergente Exemple
Montrer que f est alors positive † Soit (fn) une suites de fonctions croissantes convergeant simplement vers f sur I Montrer que f est alors croissante † Les réciproques des trois propositions précédentes sont-elles vraies? Théorème 9 9 (Continuité) Soit (fn) une suite de fonctions de I ‰R dans K et x0 un réel de I Si •
On dit qu’une suite (vn) est une suite extraite d’une suite (un) s’il existe une application ’de N dans N strictement croissante telle que 8n2N, v n = u ’(n) Exemple 15 les suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) sont extraites de la suite (u n )
Remarque Par cet exemple, on voit qu’un ensemble n’admet pas toujours de minorant et ou de majorant, et de plus s’ils existent, il n’y a pas unicité Définitions Soient Aune partie non vide de R et ∈R
En utilisant le lien entre les suites convergentes et les suites bornées, montrer qu’une suite qui tend vers l’infini est divergente Solution: Puisque P)Q est équivalent à (nonQ) ) (nonP), et sachant que toute suite convergente est bornée, nous arrivons à : toute suite non bornée est divergente ExerciceIII 7Ch3-Exercice7
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Fiche de synthèse sur les suites
La suite (U n) est strictement croissante Si la suite (U n) est à termes strictement positifs on peut calculer le quotient : Si pour tout entier n, U n> 0 et 1 alors la suite (U n) est croissante Si pour tout entier n, U n> 0 et 1 alors la suite (U n) est décroissante Exemple : Etudions le sens de variation de la suite (U n) définie par U n = (0 5)n
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Chapitre 5 : Suites-raisonnement par récurrence
suite est croissante, si elle est toujours comprise entre 0 et 1, la suite est décroissante 4 par récurrence Cette méthode est souvent (pas toujours) la bonne pour les suites récurrentes Pour montrer qu’une suite est croissante, Pn: « un < un+1 » et pour montrer qu’une suite est
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Suites 1 Convergence
Indication 11 1 Montrer que (u n) est croissante et (v n) d´ecroissante 2 Montrer que (u n) est major´ee et (v n) minor´ee Montrer que ces suites ont la mˆeme limite 3 Raisonner par l’absurde : si la limite ‘ = p q alors multiplier l’in´egalit´e u q 6 p q 6 v q par q et raisonner avec des entiers
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Suites r eelles - Mathieu Mansuy
Remarque Pour montrer qu’une suite est croissante, on pourra montrer, selon les cas : que u n+1 u n 0, si u n>0 pour tout n2N que u n+1 u n >1 Exemple Etudions la monotonie de u n= n nn: u n+1 u n = n n+ 1 n
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Savoir ÉTUDIER DES SUITES D'INTÉGRALES
Remarque: Il est rare de pouvoir aller si vite, les fonctions proposées n'ayant en général pas de primitive connue Montrer qu'une telle suite est croissante u n+1 –u n = ∫ 0 n+1 f(t) d∫ 0 n = ∫ n n+1 si f positive sur tout [ n; n + 1 ] (donné ou à démontrer), alors l'intégrale aussi, et donc u n+1 – u n aussi v
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Pour montrer qu'une suite réelle u est croissante (resp décroissante) à partir d'un certain rang no, on peut : majorer (resp minorer) directement, pour tout entier n no, un+l en essayant de faire apparaître un, montrer que : Yn no, un+l - un 0 (resp que : Yn no, un+l - un 0), méthode' particulièrement intéressante si
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Convergence de suites - wwwnormalesuporg
Remarque 2 Attention Une suite croissante et majorée par un réel M ne converge pas nécessaire-ment vers M La suite a tout un paquet de majorants, dont un seul est sa limite Exemple : La suite dé nie par u n = Z 1 0 1 1+xn dx est croissante (car, ∀x ∈ [0,1], ∀n ∈ N, xn+1 6 xn, donc 1 1+xn 6 1 1+xn+1), et majorée par 1 (car ∀x ∈ [0;1], 1 1+xn
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Suites - Etudes des suites recurrentes - Free
• tout les termes de la suite sont dans l’intervalle J Ce deuxi`eme point assure donc un encadrement (minoration, majoration) concernant u n pour tout n∈ N Exemple : Soit la suite (u n) n∈N d´efinie par u0 = 2 et pour tout n∈ N, u n+1 = u n+ 1 un (i) on montre que l’intervalle J= [1;+∞[ est stable par f
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Exo7 - Exercices de mathématiques
1 Montrer que (u n) est croissante et (v n) décroissante 2 Montrer que (u n) est majorée et (v n) minorée Montrer que ces suites ont la même limite 3 Raisonner par l’absurde : si la limite ‘ = p q alors multiplier l’inégalité u q 6 p q 6v q par q et raisonner avec des entiers 5
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Suites et séries de fonctions intégrables
Exemple: Soit 8n 2N, fn définie sur I ˘[0;1[ par fn(x) ˘xn 1 Montrer que (fn) converge simplement sur I vers une fonction f à déterminer 2 Montrer que (fn) converge uniformément sur tout segment de I mais pas uniformément sur I Théorème 9 11 (de la double limite) Soit (fn) une suite
Voici un exemple d'une suite croissante (mais pas strictement croissante) : + La suite (Sn)n李0 de l'introduction est strictement croissante car Sn+1/Sn = 1, 1 > 1 En soustrayant la suite (un)n∈, on se ramène à montrer l'énoncé suivant : si
ch suites
plus simple, par exemple à une suite de la forme du paragraphe précédent (voir point Montrer qu'une suite est majorée, minorée, bornée, périodique, montrer que u est convergente et croissante (resp décroissante) à partir d'un certain
M C A thodes Suites MPSI
c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; Exemple Soit (un) la suite définie pour tout n ∈ par : un = 4n − 1 Montrer que (un) est
extrait
Comment montrer qu'une suite (Un) est croissante ou décroissante ? Attention Exemple : Etudions le sens de variation de la suite (Un) définie par Un = n² + 2
rappels
Exemple La suite de Syracuse d'un nombre entier N est définie par récurrence Ainsi, pour montrer que (un) converge vers l `a partir de la définition, on fixe ε > 0 Comme la suite nk est une suite strictement croissante d'entiers, nous avons
MHT chap
7) Exemple des suites récurrentes: un+1 = f(un), o`u f est croissante 8) Limites savoir démontrer la convergence d'une suite sans connaıtre a priori sa limite
courslimites
Exemples : a) La suite 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, est une suite croissante b) La suite 1, a) Montrer que cette suite est strictement croissante b) Cette suite
OS suites
12 mar 2017 · permet de montrer que la suite di- verge vers +∞ Si une suite est croissante et non majo- Faux : contre-exemple (n + (−1)n) ou (n + cos n)
limites suite schema
8 nov 2011 · monotone si elle est croissante ou décroissante Par exemple, la suite (⌊4/(n + 1)⌋)n∈N est constante à partir du rang n0 = 4 La Si (un) converge vers l et ( vn) converge vers l , nous voulons montrer que (unvn −
sr
c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est DÉMONTRER QU'UNE SUITE EST ARITHMÉTIQUE. Une suite (un) est ...
Comment montrer qu'une suite (Un) est croissante ou décroissante ? Exemple : Etudions le sens de variation de la suite (Un) définie par Un = n² + 2.
Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000506]. Exercice 2. Montrer qu'une suite d'entiers qui converge
Pour que cette notation ait un sens il faut montrer qu'une suite convergente admet une unique limite ! Proposition 1.2.2. Si une suite converge
Exercice 3. Montrer qu'une suite réelle croissante `a partir d'un certain rang est minorée. Soit (un)n?0 une
Exemple 11.1.1. Vocabulaire : une suite croissante ou décroissante est dite monotone. ... Indication : pour montrer qu'une suite est monotone il.
Exemple : Considérons une suite numérique (un) où Méthode : Démontrer si une suite est arithmétique ... Si 0 < q < 1 alors la suite (un) est croissante.
Exemple lim n?+? nsin n n2 + 2. = 0. Démonstration Nous devons montrer que : La fonction ? n'est jamais qu'une suite strictement croissante d'entiers ...
dans l'état de calculer par exemple v13 sans connaître v12. Cependant il est Démontrer que la suite (un) est croissante à partir d'un certain rang.
1. Montrer que cette suite est bien définie et strictement croissante. 2. Étudier sa convergence. Solution : 1. (un)
LES SUITES