1 Suites de Cauchy Exercice 1 1 (Une suite de Cauchy dans Q non convergente) (a) Soient (r n) n2N une suite de nombres r eels telle que jr n+1 r nj n, pour tout n2N, ou est un r eel strictement compris entre 0 et 1 Montrer que la suite (r n) n2N est de Cauchy Indication : on pourra ecrire, pour m>n, r m r n = P m 1 k=n (r k+1 r k) (b) Soient
nj 2 nest de Cauchy Exercice 9 Pour n2N, on note u n= Xn k=1 1 (2 + 1 k) k: Montrer que la suite (u n) est une suite de Cauchy En d eduire qu’elle converge Exercice 10 Soit (H n) n 1 la suite d e nie par H n= Xn k=1 1 k = 1 + 1 2 + + 1 n 1 En utilisant une int egrale, montrer, pour tout n 1, l’in egalit e double 1 n+ 1 ln(n+ 1) ln(n) 1
6 ) Montrer que (s n) est une suite de Cauchy A n de montrer que (s n) ne converge pas dans Q, on raisonne par l’absurde On suppose donc qu’il existe a2Z et b2N tel que s n n+1 a b dans Q 7 ) Montrer que, pour tout n2N, 0 s 2n+1 a b s 2n 8 ) En multipliant ces in egalit es par (2n)b, obtenir une contradiction et conclure
Exercice 10 (suites de Cauchy) 1 Montrer que la suite u n= ( 1) n n+1 n’est pas une suite de Cauchy 2 Montrer que la suite u n= 2+( n1) n est de Cauchy 3 Montrer que la suite u n= E(10n p 2) 10n a valeurs rationnelles admet une limite irration-nelle En d eduire qu’en g en eral une suite de Cauchy a valeurs dans Q ne converge pas dans Q 2
Montrer, en utilisant les suites de Cauchy, que la suite (un), définie par un ˘(¡1)n est divergente Solution: Puisqu’il y a équivalence entre suite de Cauchy et suite convergente, il suffit de démontrer que la suite (un) n’est pas une suite de Cauchy, c’est à dire 9"¨0, 8N 2N, 9m ‚N(et)9n ‚N(et)jum ¡unj¨"
Exercice 1 (5 points) Soit X un espace vectoriel, muni d’une famille séparante de semi-normes (pj)j Montrer qu’une suite (un)n d’éléments de X est une suite de Cauchy si, et seulement si, pour tous >0 et j 2 N⇤ il existe N 0 2 N tel que pj(um un) < , pour tousm,n N 0 Exercice 2 (10 points)
Dans la suite de ce chapitre, on va s’int´eresser `a n =2,p = 1 ou 2 (fonctions r´eelles ou complexes d’une variable complexe) 7 1 2 Holomorphie Conditions de Cauchy–Riemann Dans la suite de ce chapitre,⌦d´esigne un ouvert du plan complexe C,etf :⌦ C une fonction (`a valeurs complexes) de z 2 ⌦ D´efinition 7 1 : La fonction
Remarque: Il est plus facile de montrer qu’une suite est de Cauchy qu’elle est convergente (on n’a pas besoin de connaître la limite de la suite) 3 3 Séries normalement convergentes Définition 3 3 (Séries normalement convergentes) Soit (u n) n≥0 une suite de V On dit que la série de terme général u n est normalement
n) la suite de ses sommes partielles Montrer que si (S n) a une suite extraite qui a une limite nie, alors la série X1 n=0 a n converge Exercice 3 [Critère de condensation de Cauchy] Soit (a n) n2N une suite positive et décroissante Le but de cet exercice est de montrer que X1 n=1 a nconverge X1 n=0 2na 2n converge : (a) On note S nla
S est la sphèreunité de l’espacevectorielnormé de dimension finie (Mn,1(K),N) On sait que S est fermée et bornée D’après le théorème de Borel-Lebesgue, S est un compact de (Mn,1(K),N)(car encore une fois, Mn,1(K)est de dimension finie)
[PDF]
1 Suites de Cauchy
1 Suites de Cauchy Exercice 1 1 (Une suite de Cauchy dans Q non convergente) (a) Soient (r n) n2N une suite de nombres r eels telle que jr n+1 r nj n, pour tout n2N, ou est un r eel strictement compris entre 0 et 1 Montrer que la suite (r n) n2N est de Cauchy Indication : on pourra ecrire, pour m>n, r m r n = P m 1 k=n (r k+1 r k) (b) Soient (r n)Taille du fichier : 86KB
[PDF]
Suites - Institut de Mathématiques de Bordeaux
Montrer que la suite (u n) est une suite de Cauchy En d eduire qu’elle converge Exercice 10 Soit (H n) n 1 la suite d e nie par H n= Xn k=1 1 k = 1 + 1 2 + + 1 n 1 En utilisant une int egrale, montrer, pour tout n 1, l’in egalit e double 1 n+ 1 ln(n+ 1) ln(n) 1 n 2 En d eduire que ln(n+ 1) H n ln(n) + 1 3 D eterminer la limite de H n 4 Montrer que la suite u n:= H
[PDF]
Exercicesduchapitre3aveccorrigésuccinct
Montrer, en utilisant les suites de Cauchy, que la suite (un), définie par un ˘(¡1)n est divergente Solution: Puisqu’il y a équivalence entre suite de Cauchy et suite convergente, il suffit de démontrer que la suite (un) n’est pas une suite de Cauchy, c’est à dire 9"¨0, 8N 2N, 9m ‚N(et)9n ‚N(et)jum ¡unj¨"
[PDF]
Suites - Institut de Mathématiques de Toulouse
Montrer que la suite (u n) est une suite de Cauchy En d eduire qu’elle converge Exercice 12 Soit (H n) n 1 la suite d e nie par H n= Xn k=1 1 k = 1 + 1 2 + + 1 n 1 En utilisant une int egrale, montrer, pour tout n 1, l’in egalit e double 1 n+ 1 ln(n+ 1) ln(n) 1 n 2 En d eduire que ln(n+ 1) H n ln(n) + 1 3 D eterminer la limite de H n 4 Montrer que la suite u n:= H
[PDF]
Espaces complets - univ-lillefr
Montrer que S n est une suite de Cauchy En d´eduire que si E est complet, alors toute s´erie normalement convergente est convergente Exercice 10 Soient E,F des espaces norm´es et A n,A ∈ L(E,F) Montrer l’´equivalence entre : 1 A n → A dans L(E,F) 2 Pour toute partie born´ee M ⊂ E, la suite A nx converge uniform´ement vers Ax, x ∈ M Taille du fichier : 167KB
[PDF]
Topologie et Analyse Fonctionelle - univ-toulouse
Montrer qu’elle est de Cauchy : pour tout ">0, il existe N2N tel que jx m x nj "pour tous m;n N 2 Soit (x n) 2RN une suite de Cauchy (a) Montrer que (x n) est bornée (b) Montrer que u n= sup k x k définit une suite décroissante En déduire que ‘= inf n2N u n 2R est une valeur d’adhérence de (x n) : pour tous ">0 et N2N, il existe n Ntel que jx n ‘j
[PDF]
Espaces de Banach - CERMICS
Remarque: Il est plus facile de montrer qu’une suite est de Cauchy qu’elle est convergente (on n’a pas besoin de connaître la limite de la suite) 3 3 Séries normalement convergentes Définition 3 3 (Séries normalement convergentes) Soit (u n) n≥0 une suite de V On dit que la série de terme général u n est normalement convergente si la série PTaille du fichier : 146KB
[PDF]
Complément : un critère utile
Montrer que (x n) converge Suites de Cauchy Exercice 7 Montrer que la suite ( 1)n n'est pas de Cauc hy Exercice 8 Soit a 0 et a 1 deux nombres réels On dé nit une suite (a n) n2N en posant pour tout n 2N, a n+2 = a n +a n+1 2 (a) aireF un schéma des premiers termes sur la droite réelle, en se xant a 0 et a 1 (b) Montrer que pour tout n 2N, ja n+1 a nj= ja 1 a 0j 2n (c) Montrer que Taille du fichier : 139KB
Montrer que (rn)n≥0 est une suite de Cauchy dans Q qui ne converge pas dans Q Conclusion ? Exercice 1 2 (Irrationalité de e) Soit (rn)n∈N la suite définie
seance
(2) Montrer que la suite (un) est une suite de Cauchy La suite converge-t-elle ? Correction (1) Soient n ≥ 1, m ≥ 1
DSAnalyse corrige
Montrer que la suite (vn) est croissante Exercice 4 On définit une suite (an) en posant a0 = 0, et pour tout n ∈ N, an+1
MAT Exos
Montrer que la suite est monotone En déduire que la suite est convergente 4 Déterminer la limite de la suite ( ) ≥0 Allez à : Correction exercice 1 :
fetch.php?media=exomaths:exercices corriges suites reelles
Montrer, en utilisant les suites de Cauchy, que la suite (un), définie par un = (−1) n est divergente Solution : Puisqu'il y a équivalence entre suite de Cauchy et
MT ch corrige
Montrer que si (un)n convergente vers l alors (cn)n est également convergente de limite l Exercice 8 (suites de Cauchy) 1 Montrer que la suite un = (−1)n n n+
TD Analyse
n)n∈N ne l'est pas Exercice 14 Montrer que la suite définie par un =1+ cos 1 1 + cos 2 2+ ··· + cos n n est une suite de Cauchy En déduire sa convergence
Analyse
Suites Aides à la résolution et correction des exercices Maths SUP - Filière MPSI Suites dont l'expression en fonction de n est connue 5 Suite de Cauchy 2 (3) Montrer e 2 1 à l'aide des résultats sur la série exponentielle de terme
Correction Suites MPSI
Exercice 5 Montrer que la suite (cosn)n∈N ne converge pas 4 Suites monotones 4 1 QCM a) Toute suite de nombre réels, croissante et majorée, est
exos suites capes
Exercice 1 : Montrer que toute suite convergente est bornée Correction : Soit (un ) une suite qui converge vers l Cela signifie que ∀ϵ > 0, ∃N/n ≥ N ⇒ un − l
Correction BIS
Montrer que la suite ( ) ∈ℕ est bien définie convergente et déterminer sa limite. Allez à : Correction exercice 16 : Exercice 17 : 1. Calculer
http://www.normalesup.org/~vripoll/MAT1013_Exos5.pdf
Montrer que (rn)n≥0 est une suite de Cauchy dans Q qui ne converge pas dans Q Exercice 2.6 Le but de l'exercice est de montrer que si (un)n∈N est une suite.
Exercice 2. Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est constante à partir d'un certain rang. Indication ▽. Correction ▽. Vidéo □. [000519]. Exercice 3.
(d) Si ( ) est de Cauchy et qu'une sous-suite converge vers alors converge vers 2) Montrer que si ( ) est une suite de Cauchy d'éléments de ( )
9 Exercice corrigé 6. Énoncé. On considère la suite (un) définie par un = n. ∑ k=0 sin k. 2k; n ∈ N. 1. (a) Montrer que (un) est une suite de Cauchy. (b) Que
Nov 2 2017 c'est une suite de Cauchy dans R en particulier elle est de Cauchy dans Q mais ... (i) Montrer que la suite an = n2 est une suite d'ordre 2. (ii) ...
Cela montre que la suite (xn)n∈N est de Cauchy. Exercice 4. Soient d D deux Montrer qu'elle est de Cauchy. Corrigé : On veut montrer que la suite (xn)n ...
convergente est convergente. 1. Soit (xn) une suite de Cauchy de E ; montrer qu'on peut en extraire une sous-suite (xnk ) telle que la série de terme
Cela montre que la suite (xn)n∈N est de Cauchy. Exercice 6. Soit (X d) un Montrer qu'elle est de Cauchy. Corrigé : On veut montrer que la suite (xn)n∈N ...
1 nov. 2018 On le montre avec la définition ou on utilise le fait qu'une suite de Cauchy est convergente donc bornée. 8) Vrai. Comme une suite est de ...
Montrer que (rn)n?0 est une suite de Cauchy dans Q qui ne converge pas dans Q. Conclusion ? Exercice 1.2 (Irrationalité de e) Soit (rn)n?N la suite
Exercice III.6 Ch3-Exercice6. En utilisant le lien entre les suites convergentes et les suites bornées montrer qu'une suite qui tend vers l'infini est
Montrer qu'elle est croissante convergente et déterminer sa limite. Allez à : Correction exercice 28 : Exercice 29 : On considère la suite ( ) ??? de
Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000506]. Exercice 2. Montrer qu'une suite d'entiers qui converge
Exercice 1. On se place dans un espace métrique (X d). 1. Montrer que toute suite de Cauchy est bornée. 2. Montrer que toute suite convergente est de
Montrer que la suite converge on pourra d'abord montrer que la série de terme général. (. ) est convergente. Allez à : Correction exercice 19. Exercice 20.
U. Montrer qu'on a défini ainsi une topologie sur N qui n'est pas la Exercice 244 Soit (X d) un espace métrique
U. Montrer qu'on a défini ainsi une topologie sur N qui n'est pas la Exercice 244 Soit (X d) un espace métrique
2 oct. 2015 ce qui est exclu car xn ? +?. Exercice 6. Soit (X d) un espace métrique et (xn)n une suite de Cauchy de X. 1. Montrer que pour toute ...
Suites
Fiche de révision2 : Les suites numériques
Exercices dAnalyse Avec Solutions et Rappels de cours pour