1 ) Montrer que : abd signifie 3 a + 5 b t 5 a + 3 b 2 ) Soit x et y deux réels strictement positifs Montrer que : si x < y alors x < y yx 3 ) Soient z et t deux réel de même signe Montrer que : z td signifie 3 -z 3-t33t EXERCICE N :2 On donne le tableau de signe du binôme : P ( x )=a x+b avec a * et b
2) Montrer que l’application u est linéaire 3) Déterminer Ker u()et en donner une base 4) Montrer que Im (u X)=ℂ1[] EXERCICE 17 : Soit nun entier naturel non nul et f l’application qui à tout polynôme P X∈ℝ n []associe 1 0 ∫P t dt 1) Montrer que l’application f est une forme linéaire non nulle En déduire la dimension de
montrer que elle est pas continue au point (0,0) on considére les axes x= 0 et y = 0 (qui évidementpassentpour(0,0))etoncalcule f ( x, 0) et f (0 ,y ) (restrictionde f auxaxes) Ona pourtout x 6= 0 :
Montrer alors que le minimum de E(jX aj) est atteint pour toutes les valeurs atelles que F(a) = 1=2 plus que les Y n ont même loi de fonction de répartition F
Montrer que z ε > y(sur leur domaine commun de définition) 2) Démontrer que z ε −→ ε→0+ zuniformément sur tout intervalle borné Conclusion ? Exercice 20 Étude de l’équation ˆ y00 +siny= 0 y(0) = 0, y0(0) = α> 0 Soit yla solution maximale On a l’intégrale première : y02 2 −cosy= C= α 2 2 −1 1) a) Montrer que
Montrer que ln3 ln2 est irrationnel Exercice 5 Montrer que toute suite convergente est bornée Exercice 6 Le maximum de deux nombres x;y(c'est-à-dire le plus grand des deux) est noté max(x;y) De même on notera min(x;y) le plus petit des deux nombres x;y Démontrer que : max(x;y) = x+y+jx yj 2 et min(x;y) = x+yj x yj 2: rouvTer une
Montrer que dans la d´efinition d’une norme Nsur un espace vectoriel E, on peut remplacer l’in´egalit´e triangulaire par la propri´et´e“{x∈ E; N(x) ≤ 1} est convexe” Solution Supposons que Nv´erifie l’in´egalit´e triangulaire Soient x,y∈ Etels que N(x) ≤ 1 et N(y) ≤ 1, et soit λ∈ [0,1]
Montrer que f et mff2 EXERCICE 7 : à retenir Soit f une forme linéaire sur E espace vectoriel sur K Montrer que si f est une forme linéaire non nulle, alors f est surjective EXERCICE 8 : Soit E un espace vectoriel réel et g un endomorphisme de E vérifiant g g g i 32T où :: 0 E EE EE t uu u T o o ®® ¯ ¯ On note h = g - i, g01 nn 1
Pour montrer que´ E n’est pas un espace vectoriel, on peut montrer que 0 ∈/ E, ou qu’il existe a et b dans E avec a + b non dans E, ou en montrant qu’il existe a ∈ E avec λa /∈ E pour un certain λ ∈ R Exercice 1 Montrez que les espaces suivants ne sont pas des espaces vectoriels : a) E = {(x,y,z) ∈ R3: x2 +y2 +z2 = 1}
7 Soit f : (X,d) → (R, ) d´efinie par : f(x) = ˆ 0 si x ∈ X ∩Q, 1, sinon Montrer que f est continue Soit (x,y) ∈ X En distinguant le cas x−y ∈ Q et x−y ∈ R\Q on obtient trivialement
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Équations différentielles non linéaires
Soit yune solution maximale 1) Montrer que y= 0 ou bien yne s’annulle pas 2) On choisit y 0 >0,t 0 −2t 0, alors yest strictement croissante sur [t 0,t 2[ b) Montrer que t 1 = −∞ (sinon, yet y0 seraient bornées sur ]t 1,t 0]) c) Donner l’allure générale de la courbe de y
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Exo7 - Exercices de mathématiques
2 Montrer que les ensembles X n = fn(X), n 2N, forment une suite décroissante de compacts et que Y = T n>0 X n’est pas vide 3 Montrer que Y est un ensemble invariant, i e f(Y) =Y, et en déduire que le diamètre de cet ensemble est zero 4 Conclure que f a un unique point fixe p 2X et que pour tout x 0 2X la suite x n = fn(x 0) p, lorsque n ¥ Taille du fichier : 185KB
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Outils Mathématiques 4 EXERCICES
Déterminer toutes les applications f telles que ∆F = r avec r= √ x 2+ y ii) Soitg: (x,y) 7→g(x,y) = f(x2 −y2,2xy) Exprimerlesdérivéespartiellesde genfonctiondecellesdef iii) Onposeφ: (R2 →R (r,θ) 7→(rcos(θ),rsin(θ)) etg= f φ ExprimerleLaplacien degencoordonnéespolaires Exercice3 21 Résoudre,àl’aideduchangementdevariablesx= u2 + v2 2,y= u v,
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TD n 1
1 Montrer que X (resp Y) admet une densité par rapport à µ (resp ν) 2 Montrer que X et Y sont indépendantes si et seulement s’il existe deux fonctions positives et intégrables, f1 de X dans Ret f2 de Y dans R, telles que pour λ-presque tout (x,y), f(x,y) = f1(x)f2(y) 3
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Correction du contrˆole continu N 1
x−y si x−y ∈ Q, 1, sinon 1 Montrer que d d´efinit une distance sur X • Il est clair que d > 0 • d(x,y) = 0 si est seulement si x−y ∈ Q et x−y = 0 si est seulement si x = y • d(x,y) = d(y,x) car si x−y ∈ Q alors y −x ∈ Q et d(x,y) = x−y = y −x = d(y,x) et
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PC 5 { Calcul de lois & Vecteurs gaussiens
3 Montrer que pour tout a2R le vecteur (X 2;X 2 + aX 1) est un vecteur gaussien 4 En choisissant ade sorte que X 2 et X 2 + aX 1 soient ind ependants, calculer E[X 1jX 2] Solution 1 On voit que pour i= 1 et i= 2 on a Cov(X 3X i) = 0 Donc X 3 est ind ependant du vecteur gaussien (X 1;X 2) 2 On va montrer que
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Valeurs propres, vecteurs propres
4 Montrer qu’une matrice A 2Mn(K) a au plus n valeurs propres distinctes (utiliser un résultat du cours) 5 Soit A= •5 7 7 0 5 0 0 7 2 − Montrer que les vecteurs X1 = •3 1 1 −, X2 = • 0 2 2 −, X3 = •5 1 1 − sont vecteurs propres de A Montrer que fX1,X2,X3gne forme pas une famille libre Est-ce que
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Fiche Méthode 9 : Montrer qu’une application est linéaire
• Montrer directement que f est bijective en montrant que pour tout ~y, l’équation f(~x) = ~ya une unique solution • Sionsaitdéjàquel’espacededépartetl’espaced’arrivéedefontlamêmedimension(cequiseradetoute
Montrer que le polynôme x3 + 2x − 1 a une unique racine qui appartient à l' intervalle ]0, 1[ Réponse : Soit f(x) = x3 + 2x − 1 La fonction f est continue dérivable
TD corrige
Montrer que si F et G sont des sous-ensembles de E : (F ⊂ G ⇐⇒ F ∪G = G) et Démontrer que pour tout entier naturel n, 9 divise 10n −1 2 Soit k un entier
ficall
Montrer que √ 2 ∈ Q, 3 En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel Indication Τ Correction Τ
fic
(f +g+f −g), et les propriétés des fonctions continues, montrer que la fonction Sup (f,g) est continue sur I Exercice 2 Soient I un intervalle de R et f : I → R
selcor
Exercice 9 Soit a, b, c, d positifs tels que abcd = 1 Montrer que a2+b2+c2+d2+ab +cd+bc+ad+ac+bd ⩾ 10 Trouver les cas d
Inegalites Theo
Exercice 4 A et B étant des parties d'un ensemble E, démontrer les lois de Morgan : Exercice 6 Montrer que si F et G sont des sous-ensembles de E :
td
En admettant que la fonction t ↦→ ln(t) est strictement croissante, montrer que f est strictement décroissante sur l'intervalle ] − 1,1[, sans calculer sa dérivée En
lc
Pour démontrer qu'un point est le milieu d'un segment On sait que I appartient Pour démontrer que deux droites sont perpendiculaires On sait que (d1 ) // (d2 )
COMMENT DEMONTRER
Montrer que B = C Solution Double inclusion Exercice 2 (*) Soient E, F deux ensembles, f : E −→ F et Φ :
colles
Si n est impair (c'est-à-dire qu'il existe un entier k tel que n = 2k + 1) alors n2 est impair (car n2 = 2(2k2 + 2k)+1) donc n2 + n est pair Donc, pour tout n ∈ N, n2 + n
corrige c LG
Conclusion : on a bien montré que pour tout (x y) ? R2
La droite D d'équation y = ax + b est asymptote oblique à la courbe C au voisinage de +? si et seulement si +?. ? x lim [f(x) ? (ax + b)] = 0.
Soit l'équation différentielle y' + y = x + 1 (E1). On pose z = y – x. Montrer que z est solution de z' + z = 0 (E2). Solution. Commençons par calculer y en
Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes définies sur (?T
Montrer qu'il existe exactement deux fonctions constantes sur R que l'on précisera
Montrer que. ?. 2 ? Q. 3. En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. Indication ?. Correction ?.
Montrer qu'une fonction f est une densité de probabilité. / Déterminer la fonction de répartition d'une variable aléatoire Y = g(X).
Montrer que y + fy = g admet une unique solution telle que y(a) = y(b)=0. Exercice 15 : Déterminer les couples (a b) ? R2 tels que toutes les solutions de y +
Correction de l'exercice 5 ?. On va montrer g(Ker f) ? Ker f. Soit y ? g(Ker f). Il existe x ? Ker f tel que y = g(x). Montrons y ? Ker f :.
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00003.pdf
Démontrer une implication ou une équivalence - %©NPOUSFS VOF