1 Montrez que la fonction f définie sur Rpar f(x)= x2 +4x+6 est une solution de (E) 2 Montrez que f est la seule fonction polynômiale du second degré solution de (E) 3 Montrez que la fonction gdéfinie sur Rpar g(x)=(2x−5)ex+x2 +4x+6 est une autre solution de (E) 4
constantes De plus, on suppose que f est continue en z´ero Montrez que f est constante sur R Exercice 7 (⋆) Soit f : R −→ R une fonction qui v´erifie la propri´et´e suivante : ∀(a,b) ∈ R2, f(a+b) = f(a)+f(b) On suppose de plus que f est continue Montrez qu’il existe λ ∈ R tel que pour tout x ∈ R, on ait f(x) = λx
1 Montrez que f ne s’annule pas et que f est à valeurs strictement positives 2 Montrez que, comme f n’est pas la fonction nulle, alors f(0) =1 en utilisant la relation (2) 3 Soit aun réel fixé On définit la fonction ϕ: x7→f(x+a) et la fonction ψ: x7→f(x)×f(a)
La fonction marginale de ϕ est la fonction f : E→ Rdéfinie par: f(x) = inf y∈F ϕ(x,y) 3 Montrez que ϕ est convexe =⇒ f est convexe 4 Retrouvez le résultat du point 1 à partir du point 3 8 Fonction semi-continue inférieurement Soit E un espace topologique Montrez que les trois propriétés suivantes sont équiva-lentes
Montrez que la fonction a ne dé nie sur R par : 8x2R;f(x) = 2x+1 est strictement croissante Exercice 13 Montrez que la fonction a ne dé nie sur R par : 8x 2R; f(x) = 2x+ 5 est strictement décroissante Proposition 2 Soient aet bdeux nombres réels, fla fonction a ne dé nie par : 8x2R;f(x) = ax+b Si a>0, alors fest strictement croissante sur R
Soit f(x) = 2(x 3)(x+ 1) une fonction dé nie pour tout xréel 1 Montrez que f est une fonction polynomiale de degré 2 dont vous préciserez les coe cients 2 Calculez f(3) et f( 1) 3 Étudiez le signe de la fonction f Exercice 17 pour s'entraîner Donnez les tableaux de signes de la fonction fdé nie sur l'intervalle Ilorsque :
7 Montrez que ˚ n(m) + k ˚ n+k(m) pour tous n;m;k 8 Montrez que ˚ k(˚ m(n)) ˚ 2+max(k;m)(n) pour tous m;n;k 9 Montrez que pour toute fonction r ecursive primitive fd’arit e k, il existe un mtel que 8~n2Nk:f(~n) ˚ m(max~n) 10 Utilisez la hi erarchie de Grzegorczyk pour d e nir une fonction Acka un argument qui n’est pas
fla fonction caractéristique de X1 5 Montrez que jf(u)j
Montrez que 1) la fonction eC est convexe, 2) pour tout (x,h) ∈ E2, on a 0 ⩽ PC(x)−x,PC(x+h)−PC(x) ⩽ YhY2, (5) [Indication: pour l’inégalité de droite, il faut faire apparaître hdans le facteur de gauche du produit scalaire, de manière à obtenir une majoration par YhY2; on se rappellera aussi
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Convexitédesfonctions X E Montrer que X N
f (x)¡ f (a) x¡a 1 Montrer que la fonction f: IRest convexe si et seulement si pour tout a 2I, la fonction ¿a est croissante sur I \{a} 2 Montrer que si f: IR est convexe, alors f est dérivable à gauche et à droite en tout point de l’intérieur de I et que f 0 g 6 f 0 d sur l’intérieur de I
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Continuité et dérivabilité d’une fonction
f a pour limite ℓen a, signifie que tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs de f(x)pour x assez proche de a - c’est à direpour les x d’un intervalle ]a −η;a +η[ On note alors : lim x→a f(x)=ℓ ℓ a-η a a+η Cf O bC Remarque : Parfois la fonction f n’admet pas une limite en a, mais admet une limite à droite et une limite à gauche C’est le cas de
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Math I Analyse, Fonctions
Exercice 10 Soit f : [0,1] −→ R une fonction continue, telle que f(0) = f(1) Montrez que pour tout n ∈ N, il existe xn ∈ [0,1] tel que l’on ait f(xn) = f(xn +1/n) Exercice 11 a Soit a < b deux nombres r´eels, et f : [a,b] → [a,b] une application continue Montrez qu’il existe α ∈ [a,b] tel que f(α) = α b Soit f,g des applications continues de [0,1] dans lui-mˆeme, telles que f g = g f
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OPT202 – Optimisation Différentiable II Contrôle des
5 Montrez que f∗ est symétrique 6 Montrez que (f λ)∗ = f∗ λ [Indication: pour l’inégalité ⩽ on pourra utiliser l’inégalité de Fan (2) ] 7 Montrez que (f λ)∗∗ = f∗∗ λ 8 Montrez que (f λ) ∈ Conv(Sn) si, et seulement si, f ∈ Conv(Rn) 9 Montrez que ∀x,y ∈ Rn ∶ xTy ⩽ [x]T[y] 3
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Continuité et dérivabilité des fonctions (j) Fonctions
a pour désigner la fonction t a (2) Montrez que si f est convexe sur I alors f0 est croissante Indications : il faut montrer que si x < y alors f0(x) ≤ f0(y) Si ε > 0 est assez petit on a x + ε < y En utilisant la croissance des taux d’accroissement on a t x(x+ε) ≤ t x(y) = t y(x) ≤ t y(y −ε) Faites tendre ε vers 0
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Continuité et dérivabilité des fonctions (k)
(1) Calculez f(0) et montrez que f est impaire (2) Calculez f sur N, puis sur les relatifs et enfin sur les rationnels en fonction de f(1) (3) On suppose que f est continue en 0 Montrer qu’alors f(x) = ax où a ∈ R Exercice k 4 Soient f et g deux fonctions continues de [0,1] dans [0,1] (1) Montrez que f
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Chapitre 7 Fonctions dérivables
Exercice 1 Soit f la fonction définie sur Rpar : pour tout réel x, f(x) = x2−3x+2 On note C f la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé ŠO, Ð→ i, Ð→ j‘ Déterminer une équation de la tangente à C f en son point d’abscisse 3 Solution f est dérivable sur Ret pour tout réel x, f
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Math ematiques G en erales I
1 Soit f: x2R + 710x2R En ecrivant que f(x) = exp(xln10), expliciter f 1 que l’on note log 2 Si nest un entier naturel et C(n) d esigne le nombre de chi res dans l’ ecriture d ecimale de n, exprimer C(n) en fonction de logn 3 Application num erique : calculer le nombre de chi res des nombres suivants : 9(99); 2106(2107 1): Exercice 10 Montrez que
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FONCTIONS DE CLASSE C FONCTIONS DE CLASSE C1
>FONCTIONS DE CLASSE C FONCTIONS DE CLASSE C1https://www editions-ellipses fr/PDF/9782340013032_extrait pdf · Fichier PDF
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I Démonstrations des formules de croissances comparées
comparées pour la fonction exponentielle 1) Partie I Onconsidère la fonction f définie surR par f (x)=ex −x 1 Calculerl’expressionde f ′(x),étudiersonsigneeten déduireletableaudevariationde f (leslimitesàl’in-finine sont pasdemandées) 2 Endéduire, que pourtout x ∈R, f (x)>0 3 Endéduire que lim x→+∞ e x=+∞ 4 En effectuant le changement de variable X =−x, en
Or la fonction f − g est continue (comme différence de deux fonctions continues) et la fonction c) Pour montrer que (xn) est croissante, il suffit de montrer que
TD corrige
Montrer que les fonctions suivantes sont les fonctions caractéris- Nature et éléments caractéristiques de la transformation d'expression complexe :
ficall
Pour que cette expression ait un sens il faut que x ∈ Dv et v(x) ∈ Du Montrer que la composée de deux fonctions affines est encore une fonction affine
Cours Fonctions operations
ction de » ture d'un tableau, notion de corre « fonction » dans l'expression « en fon fonctions simples sont également utilisés, en particulier pour montrer que
fonc clg
pour tout n ∈ N, converge vers x ( ⌊·⌋ désignant la fonction partie enti`ere) Montrer que la fonction ζ est de classe C ∞ sur ]1;+∞[ et donner l'expression de
e a
Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie Méthode : Démontrer qu'une expression est la forme canonique d'une fonction
Secondegre ESL
4 Montrer que pour tout x > 0, Γ(x + 1) = xΓ(x) En déduire que ∀n ∈ N∗
Etude Fonction Gamma
L'expression Pour étudier le sens de variation de la fonction f, on va utiliser le crit`ere différentiel de stricte Montrer que f vérifie les conditions (A), (B) et (C)
PTSI DS Corr
(c) En utilisant les résultats de la partie III. montrer que Fa est solution de d) En déduire l'expression des fonctions z ? C2(I
Déterminer par calcul une expression de la fonction telle que : (?2) = 4 et (3) = 1. Page 7. 7 sur 11. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-
2 Etude de la fonction puissance. 2.1 Variation. Soit la fonction fa définie sur R par : fa(x) = ax. Comme ax = ex ln a elle est continue et dérivable sur
- L'expression de la fonction f est. ( ) = 2( ? 2)( + 4) donc a = 2 > 0. On en déduit que la parabole représentant la fonction f possède des branches
Propriété : Une équation de la tangente à la courbe C f en A est : y = f ' a( ) x ? a. ( )+ f a( ). Exemple : On considère la fonction trinôme f définie
la courbe représentative de la fonction f admet une tangente au point (x0f(x0))
Déterminer par calcul une expression de la fonction f telle que f (-2) = 4 et f (3) = 1. La représentation graphique correspondant à la fonction affine f
1 chx? . ?. Exercice 2.25. 1. Démontrer l'expression logarithmique de Argshx. 2. Démontrer
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTIONS AFFINES (Partie 2). I. Fonction affine et droite associée.
Lusage de calculatrices est interdit.