number n is the product of n factors, starting with n, then 1 less than n, then 2 less than n, and continuing on with each factor 1 less than the preceding one until you reach 1
X1 n=0 2n 3n+ n3: Answer: Since 3 n+ n3 >3 for all n 1, it follows that 2n 3n+ n3 < 2n 3n = 2 3 n: Therefore, X1 n=0 2n 3n+ n3 < X1 n=0 2 3 n = 1 1 2 3 = 3: Hence, the given series converges 2 Does the following series converge or diverge? Explain your answer X1 n=1 n 3n: Answer: Use the Ratio Test: lim n1 n+1 3n+1 n 3n = lim n1 n+ 1 3n+1
1+n2 1 n = lim n→∞ n2 1+n2 = 1 Hence, the Limit Comparison Test says that the series P n 1+n2 diverges Therefore, the series P (−1) n 1+n2 converges but does not converge absolutely, so it converges condi-tionally 4 How many terms from the series X∞ n=1 1 n3 are needed to approximate the sum within 0 05? Answer: We will take the
Example: Use mathematical induction to prove that n3 − n is divisible by 3, for every positive integer n Solution: Let P(n) be the proposition that 3 (n3 − n) –Basis: P(1) is true since 13 − 1 = 0, which is divisible by 3 –Induction: Assume P(k) holds, i e , k3 − k is divisible by 3, for an arbitrary positive integer k
MAT V1102 – 004 Solutions: page 2 of 7 8 Since ex is a strictly increasing function, e1/n ≤ e for all n ≥ 1 Hence, we have e1/n n3/2 ≤ e n3/2 Since P en−3/2 converges (it’s a p-series with p = 3/2 > 1), the comparison test
n=2 1 n √ lnn behaves as Z∞ 2 1 x √ lnx dx Z∞ 2 1 x √ lnx dx= lim b→∞ Z b 2 1 x √ lnx dx= lim b→∞ Z lnb ln2 u−1 2du= lim b→∞ 2 √ u lnb ln2 = ∞ Hence X∞ n=2 1 n √ lnn diverges 2 X∞ n=1 cos2(n) √ n3 Solution: Since 0 ≤ cos2(n) √ n3 ≤ 1 n3 2, and X∞ n=0 1 n3 2 converges by p-series test (p = 3 2 >1
X1 n=1 n n2 + 1 diverges 3 X1 n=1 1 en Answer : We use the integral test with f(x) = 1=ex to determine whether this series converges or diverges To do so we determine whether the corresponding improper integral Z 1 1 1 ex dxconverges or diverges: Z 1 1 1 ex dx= lim b1 Z b 1 e xdx= lim b1 e x = lim b1 e b + e 1 = e 1: Since the integral Z
12=1, 22=4, 32=9, 42=16, (n+1)2 = n2+n+n+1 = n2+2n+1 1+3+5+7 = 42 Chapter 4 Proofs by Induction I think some intuition leaks out in every step of an induction proof — Jim Propp, talk at AMS special session, January 2000 The principle of induction and the related principle of strong induction have been introduced in the previous chapter
4 5 POWER SERIES 97 4 5 Power Series A power series is a series of the form X∞ n=0 c0x n = c 0 +c1x+c2x 2 +···+c nx n +··· where x is a variable of indeterminate It can be interpreted as an
Un trinôme carré parfait doit se présenter sous la forme Ax2 + Bx + C Il doit respecter ÉTAPE 1: Trouver la racine carrée de Ax2 et C La racine carré de A est
TS Carre
100 d'être la terminaison d'un carré parfait Notons T1 = {0, 1, 4, 5, 6, 9} l' ensemble des terminaisons à un chiffre des carrés Les nombres précédents sont ce
LafondV C
Un carré parfait est un nombre obtenu en multipliant un nombre entier par lui- même Par exemple, 4 est un carré parfait car 4 = 2 × 2 Voici la liste des premiers
Un carré parfait est le carré d'un nombre entier Il faut connaître les carrés parfaits de 1 à 144, c'est à dire : 1² = 1 2² = 4
Chp II. Notion de carr C A parfait et de racine carr C A e correction
N est un carré parfait si il existe un entier J dont le carré vaut N (16 en est un, 23 non ) ▫ Algorithme ▫ Algorithme Test-Carré-Parfait ▫ Lexique : ▫ N entier
S MPI Cours Algo
3 1 Un carré parfait n'est jamais parfait La somme des diviseurs de tout nombre parfait impair n vaut 2n, c'est-à-dire un entier pair De plus comme n est impair
nombresparfaits orsay
A = = ← On fait « apparaître » dans 72 un carré parfait : 9 = x ← On extrait cette racine en appliquant une formule = 3 x ← On simplifie la racine du carré
Rac carr
Un nombre au carré est toujours positif (règle des signes), donc la racine carrée d'un nombre On fait « apparaître » dans 72 un carré parfait : 9 = √9 x √8
RacPuissM
Exercice 16 *** 2 Page 3 Montrer que n = 4 48 89 (p chiffres 4 et p?1 chiffres 8 et donc 2p chiffres) (en base 10) est un carré parfait Correction ?
Solution de l'exercice 1 Par hypoth`ese 2n/n est une puissance de 2 (ici Réciproquement supposons que 22n+2 + 2m+2 + 1 est un carré parfait
n(n+1) 2 2 Calculer de deux manières différentes : n+1 ? k=1 k3 ? n 2 Montrer que n est un carré parfait si et seulement si dn est impair 3
1 – Développer le nombre ; n?N 2 8 (3 2) 5 ( ) 3 5 A n n n = + - + - 2 – En déduire que A est un carré parfait 3 – Déterminer la parité du
Planche no 25 Arithmétique : corrigé Exercice no 1 Soit n un entier naturel n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n + 1 = (n2 + 3n + 1)2
2 n a b a b = + = × + Pour obtenir un carré parfait on cherche donc a et b tels qu'il existe une entier k tel que 2 2 5 a b k + = × Pour 1
Exercice 1 Résolution de (E) : 4 ?6561 × 12 ?x = 6x Puisque x est un carré parfait il existe un entier naturel n tel que x = n2 Sachant que 4
Démontrer que pour tout entier n (n ? 1) 30n + 7 n'est jamais la somme de deux x = 1 et y = 2 et l'on obtient 72 × 24 = 784 = 282 est un carré parfait
Recherche des nombres entiers naturels n tels que Soient N = a2 + b2 et N = 3n Dans la division par 3 de a et b les restes possibles sont 0 1 ou 2
n(n + 1) 2 La figure suivante en fournit une preuve visuelle (Tn L'usage a consacré l'expression carré parfait pour désigner un entier qui est le
[PDF] Arithmétique - Exo7 - Exercices de mathématiques