Chapitre 5 Matrices sym´etriques et formes quadratiques 71 “en coordonn´ees rectangulaires”, f(X,Y)= " ix iy i,etlanormecarr´eeQ(X)= i x 2 Un espace vectoriel dot´e d’une forme bilin´eaire d´efinie positive est appel´e espace euclidien
3 Forme échelonnée d’une matrice Une matrice A :a g h est dite « échelonnée » si le nombre de « 0 » précédent le premier élément non nul d’une ligne augmente de ligne en ligne Elle est appelée « matrice échelonnée réduite » si en plus, le premier élément non nul
1 2 matrice d'une forme quadratique,rang Dé nition 2 On appelle matrice d'une forme quadratique Qla matrice de la forme bilinéaire associée , ie (’(e i;e j) où B= (e i) est une ase b Le angr de Qest alors le angr de la matrice Exemple 2 La matrice de la forme quadratique denteprécé est I n Proposition 3 Changement de ases:b Si P= M
2 Représentation d’une forme quadratique dans une base E dim finie, muni d’une ase DEFINITION 14 : REPRESENTATION MATRICIELLE On appelle matrice associée à q dans B la matrice de sa forme polaire PROPOSITION 15 : Soit q forme quadratique représentée par A dans
L’image d’une matrice est égale à l’espace vectoriel engendré par ses colonnes Le rang est égal à la dimension de cet espace Le noyau et l’image d’une matrice sont des espaces vectoriels Le rang d’une matrice est un entier qui est nul si et seulement si tous les coefficients de la matrice sont nuls
Définition-théorème (Isométrie/matrice orthogonale positive/négative) (i) Le déterminant d’une matrice orthogonale vaut 1 ou −1 On dit qu’une matrice orthogonale est positive si son déterminant vaut 1 et qu’elle est négative s’il vaut −1 (ii) Le déterminant d’une isométrie vectorielle vaut 1 ou −1
Une forme quadratique q est dite non d´eg´en´er´ee quand sa forme polaire l’est On d´efinit le noyau et le rang d’une forme quadratique comme ceux de sa forme polaire De mˆeme, l’orthogonal d’un sous-espace pour une forme quadratique est son orthogonal pour la forme polaire
certaines d’entre elles, en une forme la plus simple possible Nous verrons trois décompositions • La trigonalisation : transformer une matrice en une matrice triangulaire • La décomposition de Dunford : écrire une matrice comme la somme d’une matrice diagonali-sable et d’une matrice nilpotente
[PDF]
Chapitre 2 Formes bilin´eaires sym´etriques, formes
2 1 2 Matrice d’une forme bilin´eaire sym´etrique On suppose E de dimension finie n Soit E = (e1, ,en) une base de E Soit b une forme bilin´eaire sym´etrique sur E ×E D´efinition 2 2 La matrice ME(b) de b dans la base E est la matrice sym´etrique n×n qui a pour coefficients b(ei,ej) (i num´ero de ligne entre 1 et n, j num´ero de colonne entre 1 et n) Si x et y sont des ´el Taille du fichier : 156KB
[PDF]
1 Formes bilinéaires
Algèbre bilinéaire, espaces euclidiens - 23 octobre 2013 1 Formes bilinéaires Il y a énormément de références possibles (usuelles : [Mon06], [Gri02] et [Gou94]) Le premier exercice est une « question de cours » et permet d’investir la bilinéarité, la symétrie et la positivité d’une forme Exercice 0 Sur un R-espace vectoriel
[PDF]
Corrig´e du devoir surveill´e n 1
Universit´e Denis Diderot MA4 Licence L2 – MASS 2005–2006 Corrig´e du devoir surveill´e no1 Exercice I Soit q: R3 → R la forme quadratique d´efinie par la formule q(x,y,z) = x2 +4xy +6xz +4y2 +16yz +9z2 1) D´eterminer la forme bilin´eaire sym´etrique associ´ee a` q et sa matrice dans la base canonique
[PDF]
CAPES Exercices Corrigés Formes quadratiques
Exercices Corrigés Formes quadratiques 2009-2010 Exercice 1 Soit B une forme bilinéaire sur un espace vectoriel elér V et soit q sa forme quadratique associée 1 Montrer l'identité de Cauchy q(q(u)v −B(u,v)u) = q(u)[q(u)q(v)−B(u,v)B(v,u)] (1) 2 En déduire, si q est dé nie ositive,p l'inégalité de Cauchy-Schwarz B(u,v)B(v,u) ≤ q(u)q(v) (2) Solution - 1 La formule s'obtient Taille du fichier : 150KB
[PDF]
Formes bilinØaires et formes quadratiques, orthogonalitØ
rang d™une matrice, la puissance d™une matrice, l™inverse d™une matrice inversible, etc , en plus aux notions de la gØomØtrie comme l™ortho- gonalitØ Comme elle a plusieurs applications dans d™autres aspects mathØmatiques, comme la gØomØtrie algØbrique la thØorie des nombre, la topologie et les Øquations aux dØrivØes partielles Le but de cette partie est d™exposer
[PDF]
Exo7 - Exercices de mathématiques
1 Si la matrice de f dans la base canonique de R2 est A= a c b d , Q(f)=l(a2 +2bc+d2)+m(ad bc) Q est un polynôme homogène de degré 2 en les coordonnées de f dans la base canonique de L(R2) et donc Q est une forme quadratique sur L(R2) 2 Taille du fichier : 209KB
[PDF]
Daniel ALIBERT Formes quadratiques Espaces vectoriels
Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie 3 - 2 Certains livres d'exercices comportent un grand nombre d'exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l'étudiant en mathématiques Ce n'est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent
[PDF]
Applications linéaires, matrices, déterminants
Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 5 Allez à : Correction exercice 19 Exercice 20 Soit = ( 1, 2)la base canonique de ℝ2 Soit un endomorphisme de ℝ2)tel que 1 = 1+ 2 et telTaille du fichier : 1MB
[PDF]
S Rigal, D Ruiz, et J C Satg¶e January 2, 2009
ALGEBRE LINµ EAIRE¶ Module 2 PAD - Exercices S Rigal, D Ruiz, et J C Satg¶e January 2, 2009
[PDF]
TD7 : formes quadratiques
Exercices ?: a pr eparer a la maison avant le TD, seront corrig es en d ebut de TD Exercices ??: seront trait es en classe en priorit e Exercices ???: plus di ciles Exercice 1 : ? D ecomposer sous forme de combinaison lin eaire de carr es les formes quadratiques r eelles suivantes; en d eduire leur signature et leur rang a) f(x;y;z) = x2 Taille du fichier : 204KB
Exercices Corrigés Formes Exercice 1 Soit B une forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel V et Calculer la matrice de q dans la base Bn = (1,X, ,Xn ) 4
CAPESexoscorrigesfquad
Corrigé Exercice 1 Soit ϕ la forme bilinéaire de (R2[X])2 définie par : une forme bilinéaire Donnons sa matrice par rapport à la base canonique de R2[X]
DM pour le Corrige
Exercice I Soit q: R3 → R la forme quadratique définie par la formule 1) Déterminer la forme bilinéaire symétrique associée `a q et sa matrice dans la base
TD exo + cor
2 jan 2009 · 1-1 Exercices corrigés 1-1 3 Exercice 3a - Matrices orthogonales 2-1 1 Exercice 4a – Formes bilinéaires et quadratiques 15
Exercices mod sem b
1 Quelle est la matrice de la forme quadratique q dans la base canonique de R4 ? 2 Quel est le rang et la signature de q ?
Exo Bil
rang diune matrice, la puissance diune matrice, liinverse diune matrice inversible miné par une série des exercices, en plus diune section pour les examens des années passées et leurs corrigés types afin diéclairer le contenu et lienrichir liorthogonalité pour une forme bilinéaire les formes quadratiques as$ sociées
formebilin C A aires et formes quadratiques orthogonalitie cours dalg C A bre
13 mai 2015 · Exercice 1 1 Décomposer en somme de (a) Rappeler la définition du noyau d' une forme bilinéaire symétrique (b) Vérifier que la forme Corrigé Notons A la matrice considérée et C1,C2,C3 ses colonnes En calculant les
exam cor
Correction de quelques exercices de la feuille no 5: forme bilinéaire symétrique sur E Montrer que la forme quadratique associée `a ψ est définie positive Proof (c) Quelle est la matrice P de passage de la base canonique `a la base B′
pdf MASSAlgebreS CorTD
Exercice 2 Pour chacune des matrices suivantes, écrire la forme bilinéaire sur Rn (n étant la dimension de la matrice) dont c'est la matrice dans
L algbilin td formesbilinetquad
Ecrire la matrice de q 3 La forme q est-elle définie positive ? Exercice 4 Soit la forme quadratique de R3 :
ExAlg
17 mar. 2017 Corrigé de l'Exercice 1. Voir TD. Exercice 2. 1. On consid ... On peut aussi passer par les matrices des formes bilinéaires en remarquant que φ.
Exercice I. Soit q: R3 → R la forme quadratique définie par 1) Déterminer la forme bilinéaire symétrique associée `a q et sa matrice dans la base canonique.
Ecrire la matrice de Q dans la base canonique de Rn dans le cas particulier : ∀i ∈ [[1n]]
2 jan. 2009 (d) Les formes bilinéaires f1f2
Exercice 2. Pour chacune des matrices suivantes écrire la forme bilinéaire sur Rn (n étant la dimension de la matrice) dont c'est la matrice dans
On appelle forme quadratique associée à φ l'application : q : E → R x → φ(x x). ˘ Si q est la forme quadratique associée à une forme bilinéaire de matrice. A
1 sept. 2012 1.6 Exercices du chapitre . ... matrice A determine une seule forme bilinéaire f sur Kn telle que M ...
ϕ est donc bien une forme bilinéaire. Donnons sa matrice par rapport à la base canonique de R2[X]. On calcule les éléments ϕ(P Q) pour P
Exercices ⋆ : `a préparer `a la maison avant le TD seront corrigés en début de forme bilinéaire b. Un sous-espace F de E est dit elliptique si f
17 mars 2017 Corrigé de l'Exercice 1. Voir TD. Exercice 2. 1. On consid`ere la forme bilinéaire suivante1 ? : R3 × R3 ? R ...
Exercice I. Soit q: R3 ? R la forme quadratique définie par la formule 1) Déterminer la forme bilinéaire symétrique associée `a q et sa matrice dans la ...
On appelle forme quadratique associée à ? l'application : q : E ? R x ? ?(x x). ? Si q est la forme quadratique associée à une forme bilinéaire de matrice. A
Correction de l'exercice 1 ?. 1. 1ère solution. La matrice de la forme quadratique Q dans la base canonique de R3 est A=.
13 mai 2015 Exercice 1. ... (a) Rappeler la définition du noyau d'une forme bilinéaire symétrique. ... On cherche donc une base du noyau de la matrice.
Corrigé. Exercice 1. Soit ? la forme bilinéaire de (R2[X])2 définie par : forme bilinéaire. Donnons sa matrice par rapport à la base canonique de R2[X].
Exercices ? : `a préparer `a la maison avant le TD seront corrigés en début de TD. f) La forme polaire de f est la forme bilinéaire symétrique (A
1.7 Utilisation de la matrice d'une forme bilinéaire. 2.3 Formes bilinéaires définies positives ou définies négatives. ... Solution des exercices.
23 oct. 2013 Exercice 0. Sur un R-espace vectoriel E on considère une forme bilinéaire symétrique positive. ? de forme quadratique associée q (c'est-à ...
Tout matrice symétrique admet une base orthonormée de vecteurs propres. Exercice 1 (Forme bilinéaire). On travaille dans l'espace vectoriel R2[X] des
Devoir 2 pour le 23 Avril Corrigé Exercice 1 Soit ? la forme bilinéaire de (R2[X])2 définie par : ?P Q ? R2[X] ?(P Q) = P(1)Q(?1) + P(?1)Q(1)
Pour les formes bilinéaires suivantes écrire leur matrice dans la base canonique B = (e1e2) calculer leur rang et leur noyau et déterminer si elles sont
Ecrire la matrice de Q dans la base canonique de Rn dans le cas particulier : ?i ? [[1n]] ?t ? [ab] fi(t) = ti?1 Correction ? [005809] Exercice 5
17 mar 2017 · Exercice 1 Les fonctions suivantes sont-elles des formes bilinéaires ? Calculer la matrice de ? dans la base canonique de R3
Exercice I Soit q: R3 ? R la forme quadratique définie par la formule 1) Déterminer la forme bilinéaire symétrique associée `a q et sa matrice dans la
Ecrire l'expression de la forme bilinéaire associée `a chacune de ces matrices Lesquelles sont symétriques ? Formes quadratiques Exercice 3 Soit la forme
On note E l'espace vectoriel des matrices réelles de taille 2 × 2 Pour toute matrice A ? E on pose q(A) = tr(A2) 1 Montrer que q est une forme
On appelle forme quadratique associée à ? l'application : q : E ? R x ? ?(x x) ? Si q est la forme quadratique associée à une forme bilinéaire de matrice A
:
Formes bilinéaires formes quadratiques