[PDF] Chapitre 5 Formes quadratiques et matrices sym´etriques

Chapitre 5 Formes quadratiques et matrices sym´etriques

Chapitre 5 Matrices sym´etriques et formes quadratiques 71 “en coordonn´ees rectangulaires”, f(X,Y)= " ix iy i,etlanormecarr´eeQ(X)= i x 2 Un espace vectoriel dot´e d’une forme bilin´eaire d´efinie positive est appel´e espace euclidien

Généralités sur les matrices - HEC Montréal

3 Forme échelonnée d’une matrice Une matrice A :a g h est dite « échelonnée » si le nombre de « 0 » précédent le premier élément non nul d’une ligne augmente de ligne en ligne Elle est appelée « matrice échelonnée réduite » si en plus, le premier élément non nul

131: formes quadratiques; orthogonalité, isotropie Applications

1 2 matrice d'une forme quadratique,rang Dé nition 2 On appelle matrice d'une forme quadratique Qla matrice de la forme bilinéaire associée , ie (’(e i;e j) où B= (e i) est une ase b Le angr de Qest alors le angr de la matrice Exemple 2 La matrice de la forme quadratique denteprécé est I n Proposition 3 Changement de ases:b Si P= M

C H A P I T R E 2 F O R M E S Q U A D R A T I Q U E S

2 Représentation d’une forme quadratique dans une base E dim finie, muni d’une ase DEFINITION 14 : REPRESENTATION MATRICIELLE On appelle matrice associée à q dans B la matrice de sa forme polaire PROPOSITION 15 : Soit q forme quadratique représentée par A dans

Algèbre linéaire et bilinéaire I

L’image d’une matrice est égale à l’espace vectoriel engendré par ses colonnes Le rang est égal à la dimension de cet espace Le noyau et l’image d’une matrice sont des espaces vectoriels Le rang d’une matrice est un entier qui est nul si et seulement si tous les coefficients de la matrice sont nuls

ISOMÉTRIES VECTORIELLES ET MATRICES ORTHOGONALES

Définition-théorème (Isométrie/matrice orthogonale positive/négative) (i) Le déterminant d’une matrice orthogonale vaut 1 ou −1 On dit qu’une matrice orthogonale est positive si son déterminant vaut 1 et qu’elle est négative s’il vaut −1 (ii) Le déterminant d’une isométrie vectorielle vaut 1 ou −1

Chapitre 2 Formes bilin´eaires sym´etriques, formes - CAS

Une forme quadratique q est dite non d´eg´en´er´ee quand sa forme polaire l’est On d´efinit le noyau et le rang d’une forme quadratique comme ceux de sa forme polaire De mˆeme, l’orthogonal d’un sous-espace pour une forme quadratique est son orthogonal pour la forme polaire

Formes quadratiques r eelles Exemples et applications

Décomposition de Dunford et réduction de Jordan

certaines d’entre elles, en une forme la plus simple possible Nous verrons trois décompositions • La trigonalisation : transformer une matrice en une matrice triangulaire • La décomposition de Dunford : écrire une matrice comme la somme d’une matrice diagonali-sable et d’une matrice nilpotente