Définition : Un nombre est rationnel s’il peut s’écrire sous la forme a b d’un quotient d’entiers Propriété caractéristique : dans l’écriture décimale d’un nombre rationnel, il y a une suite de chiffres qui se répète jusqu'à l'infini 12,5 est rationnel car il peut s’écrire 125 10 ou encore 25
On remarque que 37 est aussi un nombre rationnel car 37 peut s’écrire sous la forme d’une fraction 37 = 37 1 Pourquoi un nombre décimal est-il aussi un rationnel ? − 27,2 est aussi un rationnel car − 27,2 = − 272 10 Il reste alors π que l’on classe dans la catégorie des nombres irrationnels 37 4 2 0 27 13 47 21 − 10 3
ce qui est absurde : il n’existe pas de nombre rationnel strictement positif qui soit inférieur à 10 n+N 1 pour tout n N puisque pour n arbitrairement grand 10 n+N 1 est arbitrairement pe-tit (pour être tout à fait rigoureux, il faut utiliser le fait que Q est archimédien , voir plus haut)
Le nombre rationnel 15 8 est un nombre entier décimal non décimal On partage 100 m de fil en 3 parts égales Chaque part a pour longueur 33,3 m 33 m 100 3 m 3 = 7 x 7 3 3 7 21 Dans une boite, il y a 12 boules vertes et 6 bleues La proportion de boules bleues est de 1 3 6 12 6 Clémie veut travailler à temps partiel, 4 jours
Exemple: dire si le nombre 5 1 3 6 3 3 4 2 x est un entier naturel ou relatif, un d‡cimal, un rationnel ou un r‡el non rationnel 5 1 10 1 3 6 6 6 3 3 3 6 4 2 4 4 x 9 6 9 4 4 9 6 9 6 4 x Donc 2 0,666 3 x Donc x est un rationnel, un r•el, mais ce n’est pas un nombre d•cimal, ni un entier x , x , x , x
est aussi un nombre rationnel 2 100 =0,02 est un nombre décimal car son écriture décimale est finie (ou 2 100 est une fraction décimale) 2 100 est un quotient de deux nombres et 100 est différent de 0 Donc 2 100 est aussi un nombre rationnel 1 6 n’est pas un entier, ni un nom re déimal
Un nombre décimal périodique, dans le cas où il n’y aurait au une des conditions antérieures CHAPITRE 1 : NOMBRES RATIONNELS 4 4 2 RETROUVER LE RATIONNEL
Application 1 : Différence entre nombre décimal et nombre rationnel Des nombres particuliers 1 Boubacar partage de manière équitable ses 17 billes entre ses 7 amis Quelle est la part de chacun ? 2 Bernard le camionneur peut transporter 7 tonnes de terre par voyage Combien de voyages devra-t-il effectuer pour transporter 17 tonnes de
3 Signe d’un nombre rationnel et sa représentation sur une droite graduée a-Signe d’un nombre rationnel Propriété 3 Si a et b sont de même signe alors le nombre rationnel a b est positif Si et b sont de signes contraires alors le nombre rationnel a b est négatif Exemples Les nombres 15 7 et 5 21 sont négatifs Les nombres 23 12 et 9 14
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Chapitre 1 : Les nombres rationnels Les différentes sortes
Propriété caractéristique : dans l’écriture décimale d’un nombre rationnel, il y a une suite de chiffres qui se répète jusqu'à l'infini 12,5 est rationnel car il peut s’écrire 125 10 ou encore 25 2 Ce nombre est aussi, on l'a vu, un décimal 1 3 est un rationnel non décimal Taille du fichier : 411KB
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Les nombres entiers et rationnels (cours)
Un nombre décimal est le quotient d’un nombre entier relatif par une puissance de 10 et c’est aussi un nombre dont la partie décimal s’écrit avec un nombre fini de chiffres non nuls Un nombre rationnel est le quotient d’un nombre entier relatif par un nombre entier relatifs non nul Un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel II Fractions : 1) Somme et différence :Taille du fichier : 66KB
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Les nombres rationnels : Contrôle
Le nombre rationnel 15 8 est un nombre entier décimal non décimal On partage 100 m de fil en 3 parts égales Chaque part a pour longueur 33,3 m 33 m 100 3 m 3 = 7 x 7 3 3 7 21 Dans une boite, il y a 12 boules vertes et 6 bleues La proportion de boules bleues est de 1 3 6 12 6 Clémie veut travailler à temps partiel, 4 jours sur 5 Elle travaillera donc à 50 75 80
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Problème 2 : décimales des nombres rationnels
Soit x un nombre rationnel positif non décimal Onposex = a b, avec a et b entiers naturels premiers entre eux On définit par récurrence deux suites d’entiers naturels (dn)n2N et (rn)n2N de la manière suivante : – d0 et r0 sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b; – pour toutn 0, dn+1 et rn+1 sont respectivement le quotient et le reste de la
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Fractions et nombres décimaux au cycle 3
Les nombres non décimaux (rationnels ou non rationnels), comme????, √ t, 1 3 ou 17 111, admettent une unique écriture décimale ; elle est illimitée Les nombres décimaux admettent : une infinité d’écritures décimales finies obtenues en ajoutant des 0 après la dernière décimale non nulle (2,0 ; 2,00 ; Taille du fichier : 758KB
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Université ORLEANS, ESPE CVL, Site de BLOIS P
représente un nombre rationnel non décimal (un nombre périodique) Méthode 3: Si on remarque que le dénominateur b est un diviseur d’une puissance de dix, on peut exhiber directement une fraction décimale égale à la fraction a b Par exemple : 45 20 = 45 x 5 20 x 5 = 225 100; donc 45 20 représente un nombre décimal 2 54 1350
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Fractions et décimaux Novembre 2017
22/7 est un nombre rationnel non décimal car il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale ou car son écriture à virgule a une partie décimale infinie avec une périodicité des chiffres ; 22 7 = 3,142857142857142875 » (Le nombre au cycle 3) Les décimaux En cours moyen 1 les élèves doivent : Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction
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Nombres décimaux, développement décimal d’un rationnel
Nombres décimaux, développement décimal d’un rationnel Renaud Coulangeon 30 septembre 2009 1 Développement décimal des rationnels Théorème 1 1 Soit x = a b 2Q Il existe une unique suite (an) n2N vérifiant : 1 a0 2Z 2 an 2f0, ,9gpour n 1 3 Pour tout n 2N on a : a0 + a 1 10 + + an 10 n x < a0 + a 1 10 + + an 10n + 1 10 (1) La Taille du fichier : 118KB
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D emonstrations 1 n’est pas un nombre d ecimal Les comp
Exercice 2 : Nombres a suite d ecimale illimit ee non p eriodique 1 Entre deux rationnels m^eme tr es proches, y a-t-il toujours un rationnel ? (a)Soit la nombre rationnel a = 4;372468372468372468372468372468::: et b = a+ 10 25 Ecrire le nombre b et les 30 premi eres d ecimales Justi er que ce nombre b est rationnel
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Développement décimal d’un réel
On vient déjà de montrer que tout nombre réel non décimal admet un et un seul développement décimal (propre) et que tout nombre décimal admet un unique développement décimal propre Maintenant, si x est un décimal non nul, x admet une écriture de la forme x = Xm k=0 c k 10k où c m est non nul mais puisque lim n→+∞ Xn k=m+1 9 10k = 1 10m, on a aussi x =c 0,c 1 c m−1(c m −1 Taille du fichier : 91KB
Ce nombre est aussi on l'a vu
dont la partie décimal s'écrit avec un nombre fini de chiffres non nuls. Un nombre rationnel est le quotient d'un nombre entier relatif par un nombre entier
Rappel : un nombre décimal peut se mettre sous la forme. . 10 avec a ? Z et n ? N. 3) Comment démontrer que ? n'est pas un nombre rationnel :.
Définition : Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec un nombre fini de chiffres Définition : Un nombre rationnel est une fraction (*).
En partant de l'écriture irréductible d'un nombre rationnel donnée par deux nombres a rationnel non décimal) et la suite des chiffres qui se répète dans ...
Le dernier chiffre non nul de l'écriture décimale de ce nombre serait 12
Un nombre rationnel non nul écrit sous la forme d'une fraction irréductible d'entiers. (avec entier naturel) n'est pas un nombre décimal si et seulement si
Calculer le quotient d'un nombre rationnel par un nombre rationnel non nul. d) Ecriture scientifique d'un nombre décimal :.
Mais l'écriture décimale peut aussi désigner un rationnel non décimal : Exemples : 06 est une écriture décimale du rationnel qui n'est pas un nombre
impossible de trouver une fraction décimale égale à 22/7. • 22/7 est un nombre rationnel non décimal. Il admet un développement décimal illimité périodique.
Chapitre 3 : Les nombres rationnels I Rappels Définition : un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire pour la forme a b ou ? a b où a est un entier naturel et b est un entier naturel non nul Remarques : – on ne peut pas avoir 0 comme dénominateur : c'est interdit (erreur calculatrice) – diviser par 1 ne change rien
Un nombre décimal est le quotient d’un nombre entier relatif par une puissance de 10 et c’est aussi un nombre dont la partie décimal s’écrit avec un nombre fini de chiffres non nuls Un nombre rationnel est le quotient d’un nombre entier relatif par un nombre entier relatifs non nul Un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas
Remarque : Un décimal est toujours rationnel mais un rationnel n’est généralement pas un décimal Curiosité : pour trouver l’écriture fractionnaire d’un nombre rationnel connu par son développement décimal périodique il suffit de généraliser la méthode suivante : Soit un nombre x = 25123123123123 qu’on peut noter 2
Types de nombres décimaux Nombres ayant un développement décimal limité : 025; 2x103 Nombres dont le nombre de chiffres après la virgule est infini et périodique à partir d’un moment : 6/7; 8/3; Nombres dont le nombre de chiffres après la virgule est infini et non périodique : 4 FRACTIONS ET NOMBRES DÉCIMAUX
Nombre décimal : écriture décimale illimitée constituée de 0 à partir d’un certain rang ; on dit que son écriture décimale est finie (écriture périodique ave une période de longueur 1 constituée de 0) Nombre irrationnel : son écriture décimale illimitée est non périodique et n’est pas constituée de 0 à partir
Quelle est la différence entre un nombre rationnel et un nombre décimal?
Un nombre rationnel est défini comme quotient d’un entier relatif par un entier relatif non nul, ce qui renvoie à la notion de fraction. Le quotient de deux nombres décimaux peut ne pas être un nombre décimal.
Quelle est la différence entre un nombre décimal et un nombre irrationnel ?
Un nombre décimal est le quotient d’un nombre entier relatif par une puissance de 10 et c’est aussi un nombre dont la partie décimal s’écrit avec un nombre fini de chiffres non nuls Un nombre rationnel est le quotient d’un nombre entier relatif par un nombre entier relatifs non nul Un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel.
Qu'est-ce que le développement décimal d'un nombre rationnel?
Le développement décimal d'un nombre rationnel peut être fini ou infini et périodique. Les nombres rationnels incluent l'ensemble des nombres entiers et l'ensemble des nombres entiers naturels.
Comment montrer qu'un rationnel est décimal ?
2) Attention, tous les rationnels ne sont pas des décimaux (cf. première phrase du message). Pour le montrer, il suffit de trouver un contre-exemple : 1/3 est bien un rationnel mais n'est pas décimal (il y a une infinité de 3 derrière la virgule).
Chapitre 1 : Les nombres rationnels 1. Les différentes sortes de