On a montrer par récurrence que : 8x 2N⁄,§n ˘ n 4(n¯1) Exercice4 On considère la suite (un) définie par u0 ˘2 et, pour tout entier naturel n, un¯1 ˘un ¯n¡2 On souhaite démontrer que l’expression des termes de la suite (un) en fonction de n pour n entier naturel, est donnée par : un ˘ (n¡1)(n¡4) 2 Pour cela nous
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, u n = 3n−2 Exercice 2 Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n⩾ 3, 2n > n+3 Solution Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n⩾ 3, 2n > n+3 • 23 = 8et 3+3= 6 Donc 23 > 3+3 L’inégalité à démontrer est vraie quand n= 3 • Soit n⩾ 3
Montrer que la suite (Un) est croissante Majorant, minorant et encadrement 7) Montrer que la suite définie par : {U0=−1 Un+1= 1 2 Un+1 est majorée par 2 8) Soit la suite définie par U0= 1 2 et pour tout entier naturel n parUn+1=1−Un ² Montrer par récurrence que tous les termes de la suite sont élément de l’intervalle [0;1]
Montrer que, pour tout n 2N⁄, l’on a : Sn ˘un ¡u0 c Calculer cette somme d’une autre manière d Comparer les deux expressions obtenues et conclure Exercice5 Soit la suite (un) définie par u0 ˘1 et pour tout n 2N, un¯1 ˘ q 2¯u2 n 1 Déterminer la valeur de u1 2 Montrer par récurrence que : 8n 2N, un 6un¯1 3 Que peut-on
Démonstration de la célèbre formule du binôme de Newton Objectif : montrer par récurrence que "n#$,(a+b)n= n Ck k=0 n a kbn& Notations : (a+b)n=n Ck k=0 n "a kbn# sera noté
Montrons par récurrence que : ∀n>2, nest divisible par au moins un nombre premier • 2est divisible par 2qui est un nombre premier La propriété à démontrer est donc vraie quand n=2 • Soit n>2 Supposons que pour tout k∈ J2,nK, kest divisible par au moins un nombre premier et montrons que n+1 est divisible par au moins un nombre
Nous allons montrer par récurrence que P n, Q n et R n sont vraies pour tout n 2N Commençons par les P n Initialisation : pour n = 1, a 1 = 1 et 1(1 + 1) 2 = 1
Démontrer que (un) est croissante et majorée par 2 Correction Exercice 7 Exercice 8 : Soit (un) la suite définie par u0=0 et pour tout entier naturel n, un+1=3un–2n+3 1) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n , un⩾n 2) Montrer par récurrence que pour tout n, un=3 n+n–1 Correction Exercice 8a Correction Exercice 8b
Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : un n ≤+ 3 Οource : extrait du BAC S Métropole juinS 2013 ͮolunS Tio Montrons-le par récurrence : ِ Initialisation: pour n =0 , on a u 0 =2 donc on a bien u 0 ≤+03 ِ Hérédité: supposons que, pour un certain entier naturel fixé, on ait n un n ≤+ 3 et montrons que un n+1 ≤+ 4
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Chapitre 1 Le raisonnement par récurrence
Exercice 4 Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n, n Q k=1 1 k(k+1) = n n+1 Solution Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, n Q k=1 1 k(k+1) = n n+1 • 1 Q k=1 1 k(k+1) = 1×(1+1) = 2 et 1+1 = 2 Donc 1 = 1 1 = = ‘+ = + = + = = = = = = Taille du fichier : 77KB
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Exercice 1 - Académie de Versailles
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a: 1 < < un c Montrer que (un) converge et déterminer sa limite 4 Dans cette question, on prend a = 3, I et on admet que la suite (un) est croissante a Al'aide des questions précédentes montrer que la suite (un) n'est pas majorée b En déduire le comportement de la suite (un) lorsque n tend vers +00 c L'algorithme
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EXERCICE 3 (5 points) (candidats n’ayant pas choisi l
1) Montrer que, pour tout entier naturel n, v n+1 = − 1 2 v2 n 2) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, −1 v n 0 3) a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, v n+1 −v n = −v n 1 2 v n +1 " b) En déduire le sens de variation de la suite (v n) 4) Pourquoi peut-on a ffirmer que la suite (v n) converge? 5) On note ℓ la limite de la suite (v n) On
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Chapitre 2 Rappels sur les suites arithmétiques et les
n 1) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u n existe et 1 ⩽ u n < 2 2) Pour tout entier naturel n, on pose v n = 1 u n−2 a) Montrer que la suite (v n)) n∈N est arithmétique Préciser son premier terme et sa raison b) Déterminer v n en fonction de n c) En déduire u n en fonction de n Solution 1) Montrons par Taille du fichier : 143KB
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Correction Devoir surveillé n°2 23/10/12
1 ≡ 0 4 a Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n : = + Posons H n: « 2u =5 +3 » Initialisation : 2u 0 = 28 = 5 2 + 3 donc H 0 est vraie Hérédité : Supposons H n n+1 est vraie u = 2 5 6 =5 12=5 5 +3 12 5 +3 Donc H n+1 est vraie Conclusion : pour tout entier naturel n, on a 2u =5 +3 b En déduire, que pour tout entier naturel n, 2 ≡ 2u n – 28 = 5
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x 2 3 12 - Pour toutes celles et ceux qui souhaitent
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n, vn Déterminer la limite de la suite (vn) On considère la suite (un) définie, pour tout entier naturel non nul n, par : L'n-l x Algorithme Pour i variant de 1 à n ( +2) Fin Pour n(n + 2) La suite (vn) est définie par : VI — 111, — x etpour tout entier naturel n > 3, L'n l Vérifier que l'on a — puis calculer 1+3 x 112 x 2 5 On considère l'algorithme
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Raisonnement par récurrence - normale sup
La deuxième inégalité a été faite en cours, nous démontrons ici seulement que pour tout n 2N , 2n 1 n Notons pour tout n 2N , la propriété P(n) : 2n 1 n Nous allons démontrer qu'elle est vraie pour tout n 2N par récurrence Initialisation : Pour n = 1, P(1) est la propriété 20 1 soit 1 1, qui est vraie Hérédité : Supposons que pour n 1, P(n) est vraie On a par hypothèse
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Exercices sur le raisonnement par récurrence Exercice 1
Exercice 6 : Démontrer par récurrence que pour tout entier nt6, 2 22 n t n Exercice 7 : Démontrer par récurrence que la suite définie par : u 0 25 et uu 1 n est décroissante Exercice 8 : Soit la suite définie par : v 0 1 et n, v v n n 1 n 23 1 Etudier la monotonie de nv 2 Montrer par récurrence que pour tout n : 2 vn n
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Devoir surveillé n°1-Correction 23/09/13
n) définie pour tout n entier naturel par 1 Démontrer que (W n) est une suite arithmétique de raison - Or ) est croissante Montrer que (U Posons H On a donc bien l’égalité entre ces deux expressions La suite W est donc arithmétique de raison - Initialisation 2 En déduire l’expression de (W n), puis celle de (V n) en fonction de n Taille du fichier : 420KB
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Sujet et corrigé mathématiques bac s, obligatoire
4 a Démontrons que, pour tout entier naturel n, U n ≥ 1520: Nous allons montrer par récurrence que: " pour tout entier naturel n: U n ≥ 1 520 " Initialisation: • U 0 ≥ 1 520 ? oui car: U 0 = 3 000 ≥ 1 520 Donc vrai au rang " 0 " Hérédité:Soit n ı –, supposons que U n ≥ 1 520 et montrons qu’alors U n + 1 ≥ 1 520 Supposons: U n
On veut démontrer que pour tout entier naturel n ⩾ n0, la propriété 乡(n) est vraie Pour cela Montrer par récurrence que pour tout entier n ⩾ 6, 2n ⩾ 6n + 7
Recurrence
Récurrence - suite bornée On consid`ere la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = √ un + 1 1˚) Démontrer que pour tout entier naturel
raisonnement par recurrence
Exemple : Soit (un)n∈N la suite définie par { u0 = 4 un+1= 2un −3, pour n 0 On souhaite montrer que pour tout entier naturel n, un 3 Notons P (n) la propriété
ECT Cours Chapitre
27 sept 2011 · Principe de récurrence : On cherche à prouver simultanément un ensemble de propriétés Pn dépendant d'un entier naturel n On procède de Conclusion : D' après le principe de récurrence, la propriété Pn est vrai pour tout entier n Remarque 1 suffisante pour montrer certaines propriétés Il faut donc
recurrence
Conclusion : Ainsi pour tout entier naturel n : n3 + 5n est un multiple de 6 2 En déduire que les entiers suivants sont des multiples de 6 : (a) n3 + 17n + 12 ; ∀
Cf spe ts
Exemple : Prenons un exemple simple pour illustrer le raisonnement par récurrence On veut montrer par récurrence la propriété : ((pour tout entier n on a
recurrence
Pour tout entier naturel n, 4n + 5 est un multiple de 3 Pour tout entier naturel n ≥ 6, 2n ≥ (n + 2)2 Exemples de démonstrations par récurrence
Raisonnement par recurrence
* Soit n ≥ 1 fixé, supposons (Hk) vrai pour tout entier naturel k inférieur ou égal ` a n, et montrons (Hn+1) Puisque n − 1 ≥ 0, on peut appliquer l'hypoth`ese 3 `a
fetch.php?media=pmi: corrigedeux
Le raisonnement par récurrence ne pose pas de difficulté particulière Résolution Pour tout entier naturel non nul n, on pose : n P
SUITNUM
Conjecturer les limites des suites (un) et (un vn ). Partie B : Etude de la suite (un). 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n
On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n on a : -1 vn 0. Initialisation v0=u0?3=2?3=?1 donc -1 v0
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n. 1 ? un ? e2 Démontrer que la suite (vn ) est géométrique de raison. 1.
Écrire un algorithme calculant u30 . Partie B : Étude générale. 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n 0?1?vn?(1. 2)n . 3. La suite (vn ) converge-t-elle ? Si oui
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel
On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n on a un?1 . Initialisation u0=5?1.
n(n +1) 2 pour tout entier n )) La démonstration par récurrence se fait en trois étapes : • Initialisation : on vérifie que la propriété est vraie
Soit a ? [0+?[ un réel fixé Démontrer que pour tout n ? 1 on a : (1 + a)n ? 1 + na Corrigé 1 Nous
Démontrer que pour tout entier naturel n un?un+1 Que peut-on déduire? Exercice 6: raisonnement par récurrence et sens de variation - Suite arithmético-
1?) Démontrer que pour tout entier naturel n 0 < un < 2 2?) Démontrer que pour tout entier naturel n un ? un+1 Que peut-on déduire ? Récurrence - suite
À l'aide de la calculatrice conjecturer une expression de u en fonction de n pour tout entier n ? 1 et démontrer par récurrence cette conjecture 25 ?? =
Montrer que pour tout entier naturel n on a ?n k=0 1 ukuk+1 = n+1 la donnée de u0 et v0 et les relations de récurrence un+1 = 2un +vn 3 et vn+1 =
Démontrer que pour tout entier naturel n un+1?un= 1 3 (n+3?un) c En déduire une validation de la conjecture précédente 3 On désigne par ( vn ) la
Conjecturer les limites des suites (un) et (un vn ) Partie B : Etude de la suite (un) 1 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n
?n ? N(P(n) ? P(n + 1)) Alors la propriété est vérifiée pour tout entier naturel n Montrer : ?n ? N 32n+1 + 2n+2 est un multiple de 7
n n ? + ? ? ? ? ? Exercice 2 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n le nombre 22n ?1 est divisible par 3 Exercice 3
Comment démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ?
La propriété est initialisée et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier naturel n (éventuellement n\\geqslant n_0 en fonction du rang de l'initialisation). La propriété est initialisée et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier naturel n. Ainsi, pour tout entier naturel n : u_n\\geqslant 1.Comment démontrer une suite par récurrence ?
La démonstration par récurrence consiste :
1D'abord, à vérifier que la propriété est vraie au rang 0 (i.e. on vérifie que H(0) est vraie). 2Ensuite, à vérifier que si la propriété est vraie à un rang n, alors elle sera aussi vraie au rang n+1 (i.e. on vérifie que si H(n) est vraie, alors H(n+1) est aussi vraie).Comment trouver l'hypothèse de récurrence ?
On suppose que pour un entier n quelconque n > n 0 n > n_0 n>n0, (Pn) est vraie, et sous cette hypothèse (dite de récurrence) on démontre que la proposition ( P n + 1 ) (P_{n+1}) (Pn+1) est vraie. On a ainsi prouvé que l'hypothèse de récurrence « (Pn) vraie » est héréditaire.- Dans le raisonnement par récurrence, il y a 3 étapes: l' initialisation, l' hérédité et la conclusion.
S Pondichéry avril 2017