S Pondichéry avril 2017
Conjecturer les limites des suites (un) et (un vn ). Partie B : Etude de la suite (un). 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n
Amérique du Sud-novembre-2014.
On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n on a : -1 vn 0. Initialisation v0=u0?3=2?3=?1 donc -1 v0
Antilles-Guyane-Juin-2014.
Démontrer par récurrence
S Antilles – Guyane septembre 2018
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n. 1 ? un ? e2 Démontrer que la suite (vn ) est géométrique de raison. 1.
Nouvelle Calédonie mars 2019
Écrire un algorithme calculant u30 . Partie B : Étude générale. 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n
Sans titre
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n
Métropole septembre 2019
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n 0?1?vn?(1. 2)n . 3. La suite (vn ) converge-t-elle ? Si oui
S Liban mai 2013
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel
S Amérique du Sud novembre 2018
On a donc u0=1 u1=e et
Amérique du Sud novembre 2019
On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n on a un?1 . Initialisation u0=5?1.
[PDF] La démonstration par récurrence
n(n +1) 2 pour tout entier n )) La démonstration par récurrence se fait en trois étapes : • Initialisation : on vérifie que la propriété est vraie
[PDF] Entraînement sur les récurrences
Soit a ? [0+?[ un réel fixé Démontrer que pour tout n ? 1 on a : (1 + a)n ? 1 + na Corrigé 1 Nous
Raisonnement par récurrence - Démonstration - Jaicompris
Démontrer que pour tout entier naturel n un?un+1 Que peut-on déduire? Exercice 6: raisonnement par récurrence et sens de variation - Suite arithmético-
[PDF] Raisonnement par récurrence : Exercices - Jaicompris
1?) Démontrer que pour tout entier naturel n 0 < un < 2 2?) Démontrer que pour tout entier naturel n un ? un+1 Que peut-on déduire ? Récurrence - suite
[PDF] 1 Démonstration par récurrence
À l'aide de la calculatrice conjecturer une expression de u en fonction de n pour tout entier n ? 1 et démontrer par récurrence cette conjecture 25 ?? =
[PDF] Suites - Exo7 - Exercices de mathématiques
Montrer que pour tout entier naturel n on a ?n k=0 1 ukuk+1 = n+1 la donnée de u0 et v0 et les relations de récurrence un+1 = 2un +vn 3 et vn+1 =
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Démontrer que pour tout entier naturel n un+1?un= 1 3 (n+3?un) c En déduire une validation de la conjecture précédente 3 On désigne par ( vn ) la
[PDF] S Pondichéry avril 2017 - Meilleur En Maths
Conjecturer les limites des suites (un) et (un vn ) Partie B : Etude de la suite (un) 1 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n
[PDF] CH IV : Récurrence calculs de sommes et produits - Arnaud Jobin
?n ? N(P(n) ? P(n + 1)) Alors la propriété est vérifiée pour tout entier naturel n Montrer : ?n ? N 32n+1 + 2n+2 est un multiple de 7
[PDF] Chapitre 1- Les suites numériques
n n ? + ? ? ? ? ? Exercice 2 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n le nombre 22n ?1 est divisible par 3 Exercice 3
Comment démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ?
La propriété est initialisée et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier naturel n (éventuellement n\\geqslant n_0 en fonction du rang de l'initialisation). La propriété est initialisée et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier naturel n. Ainsi, pour tout entier naturel n : u_n\\geqslant 1.Comment démontrer une suite par récurrence ?
La démonstration par récurrence consiste :
1D'abord, à vérifier que la propriété est vraie au rang 0 (i.e. on vérifie que H(0) est vraie). 2Ensuite, à vérifier que si la propriété est vraie à un rang n, alors elle sera aussi vraie au rang n+1 (i.e. on vérifie que si H(n) est vraie, alors H(n+1) est aussi vraie).Comment trouver l'hypothèse de récurrence ?
On suppose que pour un entier n quelconque n > n 0 n > n_0 n>n0, (Pn) est vraie, et sous cette hypothèse (dite de récurrence) on démontre que la proposition ( P n + 1 ) (P_{n+1}) (Pn+1) est vraie. On a ainsi prouvé que l'hypothèse de récurrence « (Pn) vraie » est héréditaire.- Dans le raisonnement par récurrence, il y a 3 étapes: l' initialisation, l' hérédité et la conclusion.
S Pondichéry avril 2017
Exercice 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 pointsOn considère des suites (un) et (vn).
. La suite (un) définie par u0=1 et pour tout entier naturel n : un+1=2un-n+3 . La suite (vn) définie pour tout entier naturel n, par vn=2n.Partie A : Conjectures
Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l'aide d'un tableur.Une copie d'écran est donnée ci-dessous.
1. Quelles formules ont été rentrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes
des deux suites ?2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :
Conjecturer les limites des suites (un) et
(un vn).Partie B : Etude de la suite (un)
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un=3×2n+n-2
2. Déterminer la limite de la suite (un).
3. Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.
Partie C : Etude de la suite
(un vn)1. Démontrer que la suite (un vn) est décroissante à partir du rang 3.2. On admet que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 4, on a : 0 2n<1 n. Déterminer la limite de la suite
(un vn). S Pondichéry avril 2017
CORRECTION
Partie A : Conjectures
1. Cellule B3 : =2×B2-A2+3 Cellule C3 : =2×C2 ou =2^A3
2. Pour la suite (un) d'une ligne à l'autre on multiplie presque par 2 donc on conjecture :
limn→+∞ un=+∞. . Pour la suite (un vn) : on donne des valeurs approchées à 10-4 près u10 v10=3080 1024=3,0078 ;
u11 v11 =6153 2048=3,0044 ; u12
v12 =12298 4096=3,0024 ; u13
v13=24587 8192=3,0013
On conjecture : limn→+∞vn= 3.
Partie B : Etude de la suite (un)
1. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, on a :
un=3×2n+n-2. Initialisation
Pour n=0
u0=1 et 3×20+0-2=3-2=1 La propriété est vérifiée pour n=0.
Hérédité
Pour démontrer que, pour tout entier naturel n, la propriété est héréditaire on suppose que
un=3×2n+n-2 et ondoit démontrer que un+1=3×2n+1n+1-2=3×2n+1+n-1. Or un+1=2un-n+3=2(3×2n+n-2)-n+3=3×(2n×2)+2n-4-n+3=3×2n+1+n-1 Conclusion Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, on a : un=3×2n+n-1 2. Pour tout entier naturel n : 3×2n>0 donc
un>n-2 limn→+∞n-2 = +∞ Conséquence
limn→+∞un = +∞3. On veut déterminer le plus petit entier naturel n tel que un>106 c'est à dire 3×2n+n-2>106.
En utilisant la calculatrice, on obtient :
u18=786448 et u19=1572865 On remarque que la suite (un) est croissante (pour tout entier naturel n : Conclusion
Le plus petit entier naturel n tel que un>106 est 19 . Partie C : Etude de la suite
(un vn)1. Pour tout entier natureln supérieur ou égal à 3. S Pondichéry avril 2017
un+1 vn+1-un vn=3×2n+1+n+1-2 2n+1-3×2n+n-2
2n=3+n-1
2n+1-(3+n-2
2n)=n-1-2(n-2)
2n+1=-n+3
2n+1⩽0
La suite
(un vn) est décroissante à partir du rang 3. 2. Pour tout entier naturel n : un
vn=3+n 2n-2 2n limn→+∞ 2n = +∞ donc limn→+∞
2 2n = 0
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 4 : 0Conclusion limn→+∞ un vn= 3.quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42
Déterminer la limite de la suite
(un vn).S Pondichéry avril 2017
CORRECTION
Partie A : Conjectures
1. Cellule B3 : =2×B2-A2+3 Cellule C3 : =2×C2 ou =2^A3
2. Pour la suite (un) d'une ligne à l'autre on multiplie presque par 2 donc on conjecture :
limn→+∞ un=+∞. . Pour la suite (un vn) : on donne des valeurs approchées à 10-4 près u10 v10=30801024=3,0078 ;
u11 v11 =61532048=3,0044 ; u12
v12 =122984096=3,0024 ; u13
v13=245878192=3,0013
On conjecture : limn→+∞vn= 3.
Partie B : Etude de la suite (un)
1. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, on a :
un=3×2n+n-2.Initialisation
Pour n=0
u0=1 et 3×20+0-2=3-2=1La propriété est vérifiée pour n=0.
Hérédité
Pour démontrer que, pour tout entier naturel n, la propriété est héréditaire on suppose que
un=3×2n+n-2 et ondoit démontrer que un+1=3×2n+1n+1-2=3×2n+1+n-1. Or un+1=2un-n+3=2(3×2n+n-2)-n+3=3×(2n×2)+2n-4-n+3=3×2n+1+n-1 Conclusion Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, on a : un=3×2n+n-12. Pour tout entier naturel n : 3×2n>0 donc
un>n-2 limn→+∞n-2 = +∞Conséquence
limn→+∞un =+∞3. On veut déterminer le plus petit entier naturel n tel que un>106 c'est à dire 3×2n+n-2>106.
En utilisant la calculatrice, on obtient :
u18=786448 et u19=1572865 On remarque que la suite (un) est croissante (pour tout entier naturel n :Conclusion
Le plus petit entier naturel n tel que un>106 est 19 .Partie C : Etude de la suite
(un vn)1. Pour tout entier natureln supérieur ou égal à 3.S Pondichéry avril 2017
un+1 vn+1-un vn=3×2n+1+n+1-22n+1-3×2n+n-2
2n=3+n-1
2n+1-(3+n-2
2n)=n-1-2(n-2)
2n+1=-n+3
2n+1⩽0
La suite
(un vn) est décroissante à partir du rang 3.2. Pour tout entier naturel n : un
vn=3+n 2n-2 2n limn→+∞2n = +∞ donc limn→+∞
22n = 0
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 4 : 0[PDF] démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n 0 un 1
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