S Pondichéry avril 2017
Conjecturer les limites des suites (un) et (un vn ). Partie B : Etude de la suite (un). 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n
Amérique du Sud-novembre-2014.
On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n on a : -1 vn 0. Initialisation v0=u0?3=2?3=?1 donc -1 v0
Antilles-Guyane-Juin-2014.
Démontrer par récurrence
S Antilles – Guyane septembre 2018
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n. 1 ? un ? e2 Démontrer que la suite (vn ) est géométrique de raison. 1.
Nouvelle Calédonie mars 2019
Écrire un algorithme calculant u30 . Partie B : Étude générale. 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n
Sans titre
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n
Métropole septembre 2019
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n 0?1?vn?(1. 2)n . 3. La suite (vn ) converge-t-elle ? Si oui
S Liban mai 2013
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel
S Amérique du Sud novembre 2018
On a donc u0=1 u1=e et
Amérique du Sud novembre 2019
On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n on a un?1 . Initialisation u0=5?1.
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n(n +1) 2 pour tout entier n )) La démonstration par récurrence se fait en trois étapes : • Initialisation : on vérifie que la propriété est vraie
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Soit a ? [0+?[ un réel fixé Démontrer que pour tout n ? 1 on a : (1 + a)n ? 1 + na Corrigé 1 Nous
Raisonnement par récurrence - Démonstration - Jaicompris
Démontrer que pour tout entier naturel n un?un+1 Que peut-on déduire? Exercice 6: raisonnement par récurrence et sens de variation - Suite arithmético-
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1?) Démontrer que pour tout entier naturel n 0 < un < 2 2?) Démontrer que pour tout entier naturel n un ? un+1 Que peut-on déduire ? Récurrence - suite
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À l'aide de la calculatrice conjecturer une expression de u en fonction de n pour tout entier n ? 1 et démontrer par récurrence cette conjecture 25 ?? =
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Montrer que pour tout entier naturel n on a ?n k=0 1 ukuk+1 = n+1 la donnée de u0 et v0 et les relations de récurrence un+1 = 2un +vn 3 et vn+1 =
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Démontrer que pour tout entier naturel n un+1?un= 1 3 (n+3?un) c En déduire une validation de la conjecture précédente 3 On désigne par ( vn ) la
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Conjecturer les limites des suites (un) et (un vn ) Partie B : Etude de la suite (un) 1 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n
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?n ? N(P(n) ? P(n + 1)) Alors la propriété est vérifiée pour tout entier naturel n Montrer : ?n ? N 32n+1 + 2n+2 est un multiple de 7
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n n ? + ? ? ? ? ? Exercice 2 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n le nombre 22n ?1 est divisible par 3 Exercice 3
Comment démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ?
La propriété est initialisée et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier naturel n (éventuellement n\\geqslant n_0 en fonction du rang de l'initialisation). La propriété est initialisée et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier naturel n. Ainsi, pour tout entier naturel n : u_n\\geqslant 1.Comment démontrer une suite par récurrence ?
La démonstration par récurrence consiste :
1D'abord, à vérifier que la propriété est vraie au rang 0 (i.e. on vérifie que H(0) est vraie). 2Ensuite, à vérifier que si la propriété est vraie à un rang n, alors elle sera aussi vraie au rang n+1 (i.e. on vérifie que si H(n) est vraie, alors H(n+1) est aussi vraie).Comment trouver l'hypothèse de récurrence ?
On suppose que pour un entier n quelconque n > n 0 n > n_0 n>n0, (Pn) est vraie, et sous cette hypothèse (dite de récurrence) on démontre que la proposition ( P n + 1 ) (P_{n+1}) (Pn+1) est vraie. On a ainsi prouvé que l'hypothèse de récurrence « (Pn) vraie » est héréditaire.- Dans le raisonnement par récurrence, il y a 3 étapes: l' initialisation, l' hérédité et la conclusion.
Amérique du Sud-novembre-2014.
Exercice 35 points
On considère la suite numérique(un)définie surℕpar : u0=2 et pour tout entier naturel n, un+1=-1 2un2+3un-3
2Partie A : Conjectures
1. Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles de
u1etu2.2. Donner une valeur approchée à
10-5près des termesu3etu4.
3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite
(un).Partie B : Validation des conjectures
On considère la suite numérique
(vn)définie pour tout entier naturel n, par :vn=un-3.1. Montrer que, pour tout entier naturel n,vn+1=-1
2vn22. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, -1vn0.
3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n,vn+1-vn=-vn
(12vn+1).
b. En déduire le sens de variation de la suite(vn).4. Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite(vn)converge ?
5. On notellimite de la suite(vn).
On admet que
lappartient à l'intervalle[-1;0]et vérifie l'égalitél=-12l2. Déterminer la valeur del.
6. Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées ?
Amérique du Sud-novembre-2014.
Correction :
Partie A : Conjectures
1. u1=-1
2×22+3×2-3
2=-2+6-3
2=52 u1=5
2 u2=-12×(5
2)2 +3×5 2-3 2=-25 8+15 2-3 2=238 u2=23
82. u3=-1
2× (23 8)2 +3×23 8-32=-529
128+69
8-32=-529
128+57
8=-529+912
128=383
128u3=383
128≃2,99219En utilisant la calculatrice, on obtient
u4≃2,99997.3. Conjectures :
(un)est une suite croissante (un)est une suite convergente (de limite 3)Partie B : Validations des conjectures
La suite
(vn)définie pour tout entier naturel n, par : vn=un-31. Pour tout entier naturel n :
vn+1=un+1-3=-1 2un2+3un-3
2-3=-1
2un2+3un-9
2=-1 2(un2-6un+9)
vn+1=-12(un-3)2=-1
2vn22. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, on a :
-1 vn0.Initialisation
v0=u0-3=2-3=-1 donc -1v00La propriété est vérifiée pour n=0.
Hérédité
Pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose que : -1vn0 et on doit
démontrer que : -1vn+10.La fonction carré est décroissante sur
]-∞;0].Si -1
vn0 alors 1vn20 et -12×1-1
2×vn
20
On obtient :-1
2vn+10
Conséquence : -1vn+10
Conclusion
Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, on a : -1 vn0Amérique du Sud-novembre-2014.
3. a. Pour tout entier naturel n
vn+1-vn=-12vn2-vn=-vn(1
2vn+1)b. -1
vn0 donc-vn0 et-12
12vn1
2×0=0
On a 1-1
21
2vn+11 et 01
21
2vn+1 conséquence Pour tout entier naturel n : vn+1-vn0 et la suite (vn)est croissante.4. La suite
(vn)est croissante et majoré par 0 donc la suite(vn)est convergente. 5. l=-12l2⇔1
Or, -1l0 donc l =0
6. Pour tout entier naturel n
vn=un-3⇔un=vn+3. (vn)est croissante donc vnvn+1 ⇔vn+3vn+1+3⇔unun+1 donc la suite(un)est une suite croissante. limn→+∞ vn=l=0 donclimn→+∞ un=3.Conclusion
Les conjectures de la partie A sont validées.
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