Exercice 1 — Démontrer le point 4 sur l’inversibilité et l’inverse de la matrice transposée tA Exemple 1 — La matrice identité I n est inversible et : Exemple 2 — Montrer que la matrice nulle 0 n de M n(K) n’est pas inversible Exemple 3 — Montrer que si A2M n(K) possède une ligne ou une colonne nulle, alors A n’est pas
Montrer qu’une matrice carrée B, B ∈ Mn (R), n’est pas inversible si et seulement s’il existe un vecteur non nul V, V ∈ M n;1 (R) , tel que BV = 0 3
Montrer que B0= (v 1;v 2;v 3) est une base de R3 3 a Donner la matrice de passage P de la base Bà la base B0 b Calculer son inverse P 1 4 Déterminer la matrice A0de f dans la base B0par deux méthodes di érentes 5 a Calculer la matrice A0n pour tout entier n 2N b En déduire la matrice An pour tout entier n 2N 2
Montrer que A ∈GLn (R)et calculer A−1 3 Etudier l’inversibilité de A =(aij)∈Mn définie par : ˆ aij =a si i =j aij =b sinon Exercice 17 Soit A ∈Mn (R)une matrice nilpotente d’ordre p >1 On pose B =In −A 1 Montrer que B est inversible et exprimer son inverse à l’aide de A (penser à la factorisation de I −Ap) 2
1 Montrer que Aest inversible et donner son inverse 2 Montrer que A2 + A+ I n est inversible et calculer son inverse Exercice 28 (**) On consid ere la matrice A= 7 5 6 4 : 1 Calculer A2 3A+ 2I 2 En d eduire que Aest inversible et d eterminer A 1 2 Montrer qu’il existe deux suites (a n) et (b n) telles que pour tout n2N, que An = a nA+ b
(a)Montrer que le réel detAest une racine d’un polynome de R 3[X] que l’on déterminera (b)En déduire que si A est inversible, alors n est pair Dans la suite, on suppose que n = 3 et on note F = ker(f2 + Id E) (c)Montrer que R3 = ker(f) ⊕F (d)Montrer que F est stable par f, et que l’endomorphisme g:= f F induit par f sur F
1 (a) Montrer qu’une matrice A∈Mn(R) est non inversible si et seulement si elle est équivalente à une matrice nilpotente ⇐Supposons qu’il existe N∈Mntelle que A∼N Alors Rang A= Rang Ncar deux matrices équivalentes ont même rang, ⇒ Rang A6 n−1 parce que N/∈GLnet que une matrice non inversible est de rang 6 n−1,
1) 1Avec la méthode de Gauss -Jordan, montrer que la matrice P et donner P − 2) 1Montrer que la matrice D P AP = − est une matrice diagonale puis calculer, pour tout entier naturel n, D n 3) Montrer que, pour tout entier naturel n, A PD P nn = −1 On pose, pour tout entier naturel n, 1 2 n nn n u X u u + + = 4) Montrer que
a) Montrer qu’il existe un vecteur ǫ2 tel que f(ǫ2)=ǫ2+ǫ1 b) Déterminer une matrice inversible P telle que P−1AP soit égale à la matrice B suivante : B := 1 1 0 0 1 0 0 0 2 3) Calculer Bn pour tout n > 0, et en déduire An Exercice E : Pour toute valeur du nombre réel a, on désigne par f a l’endomorphisme de R4 dont la matrice
1 2 4 On note Q la matrice Q avec j = c T Montrer que Q est inversible puis justifier que la matrice Q est diagonale précisatlt ses élémellts diagonaux Partie Quclques généralités sur les matrices de permutations Dans cotte parties désigne un élémcnt quelconqtte 2 1 Inversibilité d'une matrice de permutation 2 1 1
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8 Matrices inversibles
Ainsi la matrice M n’est pas inversible Dans la pratique, on utilisera souvent le théorème admis suivant pour montrer qu’une matrice est inversible Théorème 8 1 Si A et B sont deux matrices de Mn(R) telles que AB=In, alors A et B sont inversibles et on a: A1 =B et B1 =A: Exemple 8 2 Considérons les matrices A= (4 7 3 5) et B= (5 7 3 4) Alors: AB= (4 7 3 5)(5 7 3 4) = (1 0 0 1) =I2
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Cours de mathématiques ECT 2ème année Chapitre 5 Matrices
La matrice A est inversible si et seulement si pour tout Y ∈Mn,1(R), le système linéaire AX=Y admetune unique solution Méthode1: Montrer qu’une matriceest inversible etcalculer son inverse Enutilisant la méthode du pivotde Gauss, on résoutle système AX=Y d’inconnue X∈Mn,1(R) en fonction deY ∈Mn,1(R) quelconque fixé,puis ondiscute :
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La d ecomposition LU d’une matrice inversible
1 Montrer que la d ecomposition LUde A, si elle existe, est unique 2 Montrer que la matrice A= 1 2 0 3 poss ede une d ecomposition LU Montrer en revanche que la matrice B= 0 3 1 2 n’en poss ede pas 3 On suppose que la matrice Aposs ede une d ecomposition LU Montrer que toutes ses sous-matrices principales sont inversibles Pour cela, on utilisera une
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EXOS 02 Matrices - lewebpedagogiquecom
Montrer que A est inversible 11 Soit A une matrice carrée qui n’est pas égale à kI , où k est un nombre réel Dans chacun des cas suivants préciser si A est inversible ou non Si A est inversible, exprimer A−1 en fonction de A et I a) A2 −5A+6I = O; b) A 3+2A = I ; c) A2 = −A; d) (A−I)(A +2I) = O; e) A3 = O; A = I 12 Pour quelle valeur de t la matrice
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MATRICES - Unisciel
3) En déduire que la matrice A est inversible et calculer son inverse 4) En déduire la résolution du système : + + = + + = − = 2 2 3 13 2 8 2 x y z x y z x z Partie B 1) Montrer (par la méthode de Gauss) que la matrice P est inversible et calculer son inverse 2) Calculer la matrice
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Matrices - michelquerciafreefr
1) Montrer que Aest une sous algèbre commutative de M n(R) 2) Soit M = aU + bI ∈A Montrer que M possède un inverse dans Asi et seulement si b(b + na) 6= 0, et le cas échéant, donner M−1 3) Montrer que si b(b+na) = 0, alors M n’est pas inversible dans M n(R) 4) Trouver les matrices M ∈Avérifiant : Mn = I Exercice 21 Centre de GL n(K)
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Matrices - Lycée privé Sainte-Geneviève
1 Les coefficients diagonaux d’une matrice inversible sont non nuls 2 Une matrice non inversible possède forcément un 0 sur sa diagonale 3 La somme de deux matrices inversibles est inversible 4 Le produit de deux matrices inversibles est inversible 5 Si AB = 0 alors A = 0 ou B = 0 6 Soit A et B deux matrices carrées de taille n telles que BA = 0
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Trigonalisation et diagonalisation des matrices
7 1 11 Exercice — Montrer qu’une matrice de M n(R) est inversible si, et seulement si, elle n’admet pas de valeur propre nulle 7 1 12 Exemple — Dans l’exemple 7 3 4, nous avons montre que la matrice´ A = 2 6 6 6 4 0 0 1 0 0 1 1 1 1 3 7 7 7 5Taille du fichier : 298KB
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TD 13 Calcul matriciel - heb3org
(Q 2) Montrer qu’une matrice nilpotente ne peut être inversible Exercice 13 : (Q 1) Soit M ∈ Mn(K) On supposequ’il existe p ∈ N∗ tel que Mp =0 Calculer (In −M) pP−1 k=0 Mk (Q 2) En déduire que In −M est inversible et déterminer son inverse Exercice 14 : On considère la matrice J ∈ Mn(R) dont tous les coefficients sont égaux à 1 ExprimerTaille du fichier : 128KB
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Exo7 - Cours de mathématiques
• La matrice (de taille n p) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée la matrice nulle et est notée 0n,p ou plus simplement 0 Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels 1 3 Addition de matrices Définition 3 (Somme de deux matrices) Soient A et B deux matrices ayant la même taille n p Taille du fichier : 220KB
La notion de matrice inversible n'a de sens que pour des matrices carrées Méthode 1 : Montrer qu'une matrice est inversible et calculer son inverse
ECT Cours Chapitre
Montrer que si A+ B = A, alors B est la matrice nulle 3 Que vaut 0 · A? et 1 C' est une matrice inversible, et son inverse est elle-même par l'égalité InIn = In
ch matrices
Exercice 12 – Soit A et B deux matrices carrées de même ordre, on suppose que la matrice AB est inversible d'inverse la matrice C Montrer alors que B est
EC .
8 nov 2011 · gauche ou à droite par une matrice inversible Deux matrices équivalentes ont même rang Nous allons démontrer la réciproque Théorème 4
cm
Montrer que si factorisation LU existe alors elle est unique 2 Décrire une méthode permettant de calculer explicitement les coefficients des matrices L et U 3 (
TD correction exercice
En d'autres termes, si une matrice est inversible, l'inverse `a gauche et l'inverse ` a droite de cette matrice sont égaux Démonstration Il suffit de montrer que si
L alg lin II
Inverse d'une matrice Critère d'inversibilité : le déterminant Quelques exemples det( ( 4 3 -1 2 ) ) = 11, donc la matrice est inversible det( ( 4 -1 -1 1/4 )
c
Montrer que si A+ B = A alors B est la matrice nulle C'est une matrice inversible et son inverse est elle-même par l'égalité InIn = In
AB est inversible d'inverse la matrice C Montrer alors que B est inversible et préciser A-1 Exercice 13 – (extrait partiel novembre 2011)
2 fév 2018 · On peut montrer que ker(B) = {0} et donc B est inversible 2 Matrices semblables E désigne un espace vectoriel sur R de dimension n avec n
Propriété : La matrice est inversible si et seulement si - Admis - Méthode : Calculer l'inverse d'une matrice carrée de taille 2 Vidéo
Démontrer les propriétés de la proposition En d'autres termes si une matrice est inversible l'inverse `a gauche et l'inverse `a droite de cette
Montrer que si factorisation LU existe alors elle est unique 2 Décrire une méthode permettant de calculer explicitement les coefficients des matrices L et
Vidéo ? partie 5 Inverse d'une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires Montrer que si A+ B = A alors B est la matrice nulle
La matrice est alors l'inverse de i e B A Propriétés : 1 Si est inversible alors 1 est aussi inversible et A A 2 Si est inversible
1) Montrer en appliquant les algorithmes du cours que M est inversible Préciser la matrice M-1 ainsi que la décomposition de M-1 comme produit de matrices
Il existe un critère tres pratique pour savoir si une matrice est inversible Le fondement de ce critère ne rentre pas dans le cadre de ce cours
Définition : Une matrice carrée A de taille n est une matrice inversible s'il existe une matrice B telle que A x B = B x A = In La matrice B notée A-1 est
2 fév 2018 · 1 Matrices carrées inversibles et endomorphismes bijectifs On peut montrer que rg(A) = 3 et donc A est inversible - Soit B =
8 nov 2011 · gauche ou à droite par une matrice inversible Deux matrices équivalentes ont même rang Nous allons démontrer la réciproque Théorème 4
Montrer que dans un groupe l'inverse d'un élément est unique La matrice B est alors appelée la matrice inverse de A on note alors B = A ?1
de calculer l'inverse de la matrice le calcul du rang est une perte de temps ! Q 3 Peut-on démontrer qu'une matrice est inversible en calcu- lant son inverse
à m lignes et n colonnes est dite matrice d'ordre (m n) ou de dimension m × n On souhaite montrer que E est inversible d'inverse F On calcule le
Comment montrer que matrice est inversible ?
En mathématiques et plus particulièrement en alg?re linéaire, une matrice carrée A d'ordre n est dite s'il existe une matrice B d'ordre n, appelée matrice inverse de A et notée : B = A^?1 telle que : AB = BA = In Si le déterminant d'une matrice A est non nul, alors A est inversible.Quand Dit-on qu'une matrice est inversible ?
Soit une matrice de M n ( K ) . Elle est inversible si et seulement son déterminant est non nul. De plus si est inversible, det ( M ? 1 ) = [ det ( M ) ] ? 1 .Quels sont les types de matrices ?
Exemple 3: Types de matrices
matrice ligne.matrice carrée.Matrice identitématrice colonne.- Définition 1.
Une matrice A est un tableau rectangulaire d'éléments de . Elle est dite de taille n × p si le tableau poss? n lignes et p colonnes. Les nombres du tableau sont appelés les coefficients de A. Le coefficient situé à la i-ème ligne et à la j-ème colonne est noté ai,j.
[PDF] Matrices - Exo7 - Cours de mathématiques