de relier des invariants d’une matrice, tels que sa trace et son determinant,´ a ses valeurs propres ` Si une matrice A est trigonalisable, semblable `a une matrice triangulaire sup ´erieure T, alors les valeurs propres de A etant les racines du polyn´ omeˆ p A, sont aussi les coefficients de la diagonale de la matrice T
• Pour trigonaliser une matrice, il n’y a pas de méthode globale à connaître a priori • La trigonalisabilité d’une matrice s’obtient après le calcul de son polynôme caractéristique et le constat que ce polynôme est scindé sur le corps de référence de la matrice
de relier des invariants d’une matrice, tels que sa trace et son d ´ eterminant, ` a ses valeurs propres Si une matrice A est trigonalisable, semblable ` a une matrice triangulaire sup ´ erieure T, alors les valeurs propres de A ´ etant les racines du polyn ˆ ome p A, sont aussi les coefficients de la diagonale de la matrice T ´ Etant
De nition 4 1 1) On dit qu’une matrice A= (a ij) de M n(K) est triangulaire sup erieure si a ij= 0 pour tout i>j 2) On dit qu’un endomorphisme uest "triangulable" (ou "trigonalisable") s’il existe une base dans laquelle la matrice de uest triangulaire sup erieure En particulier, etant donn e une base B, uun endomorphisme et A= Mat
Dans ce cas, il est facile de trigonaliser On commence par se calculer une famille de n −1 vecteurs propres indépendants(possibled’aprèsleshypothèses),etoncomplèteenunebaseE deRn en«rajoutant »unvecteur à lafin «Dans »cettebase, la matrice sera triangulaire Exemple : A = 9 1 6 − 7 1 −6 −10 1 −7 det(A−λI3)= ¯ ¯ ¯
Déterminer une matrice à coefficients entiers de polynôme caractéristique Yn i=1 (X Trigonaliser la matrice A reste à trouver un contre-exemple
Une matrice est trigonalisable ssi son polyn^ome caract eristique est scind e Une m ethode e cace pour trigonaliser une matrice est d’utiliser les sous es-paces caract eristiques Si ˜ A(X) = Q k i=1 (X a i) i le sous espace caract eristique N i est le noyau de (A a iI) i Le sous espace propre E A(a i), qui est le noyau de (A a iI) est uns
Une matrice A (2,2), ou un endomorphisme ϕ, dont le polynˆome caract´eristique est scind´e et qui n’est pas diagonalisable a une valeur propre double λ Proposition 2 2 Sous l’hypoth`ese pr´ec´edente il existe P telle que P−1AP = J 2(λ) On dira qu’on a jordanis´e la matrice Une base de Jordanisation est obtenue de la mani
Trigonaliser la matrice A , c'est donner explicitement une matrice inversible P telle que P 1 AP soit triangulaire Bien entendu, les colonnes de P représentent une base de trigonalisation de l'endomorphisme f : V 7 AV canoniquement associé à A Evidemment toute matrice triangulaire est trigonalisable, et la réciproque est fausse Si A 2
Si toute matrice carr ee complexe est trigonalisable, ceci n’est pas vrai pour les matrices r eelles Ceci signi e qu’il n’existe pas toujours une matrice triangulaire r eelle semblable a la matrice r eele donn ee, la matrice de passage devant ^etre aussi r eelle Prenons par exemple la matrice M= 0 1 1 0 :
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Trigonalisation et diagonalisation des matrices
7 1 4 Theor´ eme (Th` eor´ `eme de trigonalisation) — Une matrice A de M n(K) est trigonalisable dans M n(K) si, et seulement si, son polynome caractˆ eristique´ p A est scinde´ sur K Preuve La condition est n´ecessaire Si A est une matrice trigonalisable, par d´efinition, elle est semblable a une matrice triangulaire sup` erieure :´ t = 2 6 6 6 4 1Taille du fichier : 298KB
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Fiche technique 5 - Diagonalisation, trigonalisation
exemple 2 : A a deux valeurs propres, l’une simple, l’autre double et A n’est pas diagonalisable Trigonaliser la matrice : − − − − = 3 2 0 1 2 0 3 1 1 A On trouve (et on factorise) χA en ajoutant toutes les colonnes à la première : x( ) =(x −1) (x −2) 2 χA Les espaces propres de A sont :Taille du fichier : 79KB
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Diagonalisation et trigonalisation
Dans C le polyn^ome caract eristique est toujours scind e, et donc toute matrice est trigona-lisable Dans R ce n’est pas toujours le cas Ex : A= 0 1 1 0 , A= R avec sin( ) 6= 0, A= a b b a avec b6= 0, etc On peut pr eciser ce th eor eme (voir le th eor eme de Jordan) Exercice Trigonaliser la matrice A= 3 1 1 1 (On pourra m^eme trouver une base BdansTaille du fichier : 268KB
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Triangularisation, jordanisation, exponentielle de
une valeur propre λ et un vecteur propre e de l’endomorphisme associ´e (ou ce qui est ´equivalent de la matrice A) On compl`ete en une base de E : (e,v 2, ,v n) La matrice de ϕ est dans cette base de la forme : λ L 0 B Soit si P est la matrice de passage P−1AP = λ L 0 B On applique a la matrice B (n−1,n−1) l’hypoth`ese de r´ecurrence C’es-`a-dire que l’onTaille du fichier : 86KB
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L2 Math ematiques Math ematiques: ALGEBRE LINEAIRE II
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Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
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Technique de la réduite de Jordan - reussirenmaths
a) Exemple en dimension 2 Il s’agit d’étudier la matri e ???? = (3 −1 1 1) Le calcul des valeurs propres nous fournit la valeur propre réelle double : 2 L’espae propre assoié à la valeur propre 2 est 〈: ????2 =( 1 1)〉 de dimension 1 alors que l’ordre de multipliité est 2 A n’est pas diagonalisale, mais est trigonalisale dans
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Chapitre 7 Diagonalisation - univ-angersfr
§2 Une matrice A semblable à une matrice diagonale M On dit que A est semblable à M si A s’écrit A =PMP−1, ou bien P−1AP =M , avec P une matrice inversible Exemple A = 3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b =P a 0 0 b P−1 avec P = 1 2 1 3 Une fois avoir exprimé A sous cette forme, il est beaucoup plus
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Sujets de l’année 2006-2007 1 Devoir à la maison
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Fiche Méthode 14 : Diagonaliser une matrice, dire si elle
Dans les exemples ci-dessous, la matrice sera notée A et l'endomorphisme canoniquement associé u exemple 1 : diagonaliser :
fiche technique diagonalisation trigonalisation
4) Trigonalisation Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure, nous commençons par calculer les
correction du td
La trigonalisation : transformer une matrice en une matrice triangulaire DE DUNFORD ET RÉDUCTION DE JORDAN 1 TRIGONALISATION 3 1 3 Exemple
ch jordan
3 2 Crit`ere de trigonalisation 3 3 Méthode de trigonalisation – Exemple Exemple Soit f l'endomorphisme de R2 dont la matrice dans la base canonique ( e1
Poly
i=1(x − λi) Définition Un endomorphisme est trigonalisable si il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire (supérieure ou inférieure)
fetch.php?media=pmi:prepred new
Ee±iθ = C ( 1 ∓i ) Exemple 3 : Soit u representé dans la base canonique par la matrice suivante : Sθ = [cos(θ) sin(
cours diagonalisation
Trigonalisation des endomorphismes, sous espaces caractéristiques - Applications la matrice de u est triangulaire supérieure, c'est-à-dire s'il existe une base e de E Reprenons l'exemple de la matrice A du 1), avec les mêmes notations
trig
Voici un exemple, soit la matrice A : ⎛ ⎝ 2 −2 2 2 2 2 1 1 2 ⎞ ⎠ 2 est valeur propre triple, le sous espace propre est de dimension 1, (1,1,−1) est vecteur
jordan
Exemple Soit f l'application linéaire dont la matrice dans la base canonique est A = ⎛⎝ −3 2 4 −2 1 4 Pratique de la trigonalisation Soit A ∈ Mn(R) une
Coursdiagonalisation
Dans les exemples ci-dessous la matrice sera notée A et l'endomorphisme canoniquement associé u . exemple 1 : diagonaliser :...
Il existe alors une matrice inversible P et une matrice triangulaire T de Mn(C) telles que A = PTP-1. 7.1.7. Exemple. — La matrice suivante de M4(R). A =.
Par exemple toute matrice diagonale est triangulaire supérieure. Définition 2. Soit T ? Mn(K) une matrice carrée `a coefficients dans K
Trigonalisation. Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure il suffit de compléter la famille.
La trigonalisation : transformer une matrice en une matrice triangulaire. DE DUNFORD ET RÉDUCTION DE JORDAN. 1. TRIGONALISATION. 3. 1.3. Exemple.
3 Trigonalisation d'un endomorphisme d'une matrice 4.2 Trigonaliser une matrice . ... Exemple du polynôme caractéristique en dimension 2.
Ee±i? = C. ( 1. ?i. ) . Exemple 3 : Soit u representé dans la base canonique par la matrice suivante : S? = [cos(?) sin(
Trigonalisation et diagonalisation. 1. 1. Trigonalisation des matrices . K est une extension du corps L. Par exemple le corps des réels R est une ...
3 Trigonalisation d'un endomorphisme d'une matrice 4.2 Trigonaliser une matrice . ... Exemple du polynôme caractéristique en dimension 2.
5 Polynôme annulateur d'un endomorphisme et d'une matrice : HP. 60. 5.1 Dé nitions . Exemple : Trigonaliser la matrice suivante A =.
• La trigonalisabilité d’une matrice s’obtient après le calcul de son polynôme caractéristique et le constat que ce polynôme est scindé sur le corps de référence de la matrice • Si la matrice est considérée comme matrice complexe elle est donc toujours trigonalisable
• La trigonalisation : transformer une matrice en une matrice triangulaire • La décomposition de Dunford : écrire une matrice comme la somme d’une matrice diagonali-sable et d’une matrice nilpotente • La réduction de Jordan : transformer une matrice en une matrice diagonale par blocs
b) Trigonaliser la matrice A Exercice 8 [ 03583 ] [correction] Trigonaliser la matrice A = 1 0 0 0 0 ?1 0 1 2 Exercice 9 [ 02526 ] [correction] Montrer que la matrice 13 ?5 ?2 ?2 7 ?8 ?5 4 7 est trigonalisable et préciser une matrice de passage Exercice 10 [ 02389 ] [correction] a) Soient A et B dans M 2( K) telles que AB = BA
une valeur propre ? et un vecteur propre e de l’endomorphisme associ´e (ou ce qui est ´equivalent de la matrice A) On compl`ete en une base de E : (ev 2 v n) La matrice de ? est dans cette base de la forme : ? L 0 B Soit si P est la matrice de passage P?1AP = ? L 0 B On applique a la matrice B (n?1n?1) l’hypoth`ese de r
Exemple 3 : Soit urepresent e dans la base canonique par la matrice suivante : S = cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) : On trouve deux valeurs propres 1 Soit v 1 = cos( =2) sin( =2) et v 2 = sin( =2) cos( =2) On constate que E 1 = Vect(v 1) etl E 1 = Vect(v 2) Dans la base F= (v 1;v 2) Mat F(u) = 1 0 0 1 On constate de plus que la base Fest
Quels sont les exercices de diagonalisation des matrices ?
Nous proposons des exercices de diagonalisation des matrices. Une matrice est diagonalisable si le nombre de ces valeurs propres égale à la dimension de l’espace dans lequel est définie. D’autre part, on donne des applications de la diagonalisation pour résoudre les systèmes linéaires et calcul de l’exponentielle de matrices.
Comment calculer la diagonale d'une matrice ?
« min(M) » renvoie un vecteur-ligne contenant les valeurs minimales associées à chaque colonne. « rank(M) » renvoie le rang de la matrice. « det(M) » renvoie le déterminant de la matrice. « diag(M) » extrait la diagonale de la matrice.
Comment savoir si une matrice est diagonale ou triangulaire ?
Certains ont déjà été évoqués précédemment mais il a paru bon de les rappeler afin de te faire une idée précise de ces différents cas particuliers qui se retrouvent très souvent en exercice !! Si une matrice est diagonale ou triangulaire, alors les valeurs propres sont les éléments diagonaux de la matrice.
Comment savoir si une matrice est diagonalisable ?
S’il existe une matrice carrée inversible P P (de même ordre que M M) et une matrice diagonale D D telles que M = P DP ?1 M = P D P ? 1 alors M M est diagonalisable. Par propriété, pour tout entier naturel n > 0 n > 0 nous avons M n = P DnP ?1 M n = P D n P ? 1 La démonstration par récurrence de cette propriété est simple à comprendre et à retenir.
Fiche technique 5 - Diagonalisation trigonalisation