1 1 fx x = + The Maclaurin series for f is given by 11,−+ − + +− +xx x x36 9 3LL()n n which converges to f ()x for 1 1 −<
x+ n(Δ )(n−1 O(Δ 2 −x = nx n −1+O(Δx) Δx Δx Δx As it turns out, we can simplify the quotient by canceling a Δx in all of the terms in the numerator When we divide a term that contains Δx2 by Δx, the Δx2 becomes Δx and so our O(Δx2) becomes O(Δx) When we take the limit as x approaches 0 we get: lim Δy = nxn −1 Δx→0 Δx
1 x2 B lim x→2− x+2 x−2 C lim x→1+ 1 x−1 D lim x→0+ 1 x E lim x→3+ x √ x2 −9 F lim x→1 1 (x−1)2 The population P, in thousands, of a small city is given by P(t) = 10+ 50t 2t2 +9 where t is the time in years What is the rate of change of the population at t = 2 yr? Round your answer to the third decimal place 5 A-1 557
4 1 Applications of the First Derivative Objectives: 1 Given a graph, determine the intervals of increasing, decreasing, or constant 2 Use the derivative to find where the function is increasing or decreasing
The Algebra of Functions Like terms, functions may be combined by addition, subtraction, multiplication or division Example 1 Given f ( x ) = 2x + 1 and g ( x ) = x2 + 2x – 1 find ( f + g ) ( x ) and
fx(x) dx Px(x) > 0 LPx(x) -1 ,x fx(x) > O J: (x)dx 1 Defin tion: A random variable is co t1nuous f - ca be escr· ed by a 1p F
4 1 Arbitrary Powers Arbitrary Powers: f(x) = xr Definition 13 For z irrational, we define xz = ez lnx, x > 0 Properties (r and s real numbers) • For x > 0, xr = er lnx • xr+s = xr ·xs, xr−s = xr xs, xrs = (xr)s • d dx xr = rxr−1, ⇒ Z xr dx = xr+1 r +1 +C, for r 6= −1 Example 14 d dx x2 +1 3x = d dx e3xln(x2+1) = e3xln(x2
) k 1, 2, (1) It is convenient to introduce the probability function, also referred to as probability distribution, given by P(X x) f(x) (2) For x x k, this reduces to (1) while for other values of x, f(x) 0 In general, f(x) is a probability function if 1 f(x) 0 2 where the sum in 2 is taken over all possible values of x a x f(x) 1 34
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Equation f(x) = x - Académie de Bordeaux
2 On considère la fonction f définie sur R par 1 22 = + x fx Démontrer que f est continue sur ] 1 ; 2 [, que ] 1 ; 2 [ est stable par f, et que, pourtant, l’équation f (x) = x n’admet pas de solution appartenant à ] 1 ; 2 [ B Approximation de la solution de f(x) = x à l’aide d’une suite On considère un intervalle [ a; b], un réel k appartenant à ] 0 ; 1 [ et une fonction f Taille du fichier : 61KB
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Exercices avec solutions FONCTIONS
fx x 1)Déterminer D f 2) Démontrer que f est majorée sur 3) Démontrer que f est minorée sur Conclure Exercice 19 : Soit f une fonction numérique tq : 2 2 7 33 xx fx xx 1)Déterminer 2) Démontrer que f est minorée par 1 3) Démontrer que f est majorée par 7 3 Conclure Exercice 20 : Soit f une fonction numérique tq : 2 x 1 fx x x m avec m 1)déterminer les valeurs de m pour que D
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chapitre 2 Fonctions : limites et continuité
13 fx() x → 1– lim fx() x → 1+ lim fx() x → + ∞ lim fx() x 3 2 → ---lim 14 fx() x → 0– lim fx() x → 0+ lim fx() x π 2 → ---lim fx() x → + ∞ lim 15 16 fx() x → + ∞ lim fx() x → + ∞ lim 17 fx() x → + ∞ lim fx() x → + ∞ lim 18 02-01 fm Page 16 Mercredi, 2 août 2006 3:08 15 Chap 2 • Fonctions : limites et continuité •17 Pour tout réel x > – 1, x
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LIMITES – EXERCICES CORRIGES
3 17) fx x ()==,a 1 2 0 Exercice n°2 Déterminer les limites de ( 1)( 2) ( ) + − = x x x f x en x = 2 et x = -1 Exercice n°3 Déterminez les limites suivantes 1) x x f x 2 1 ( ) 2 − = en +∞ 2) = x x 1 g( ) cos en −∞ Exercice n°4 Vrai ou Faux ? 1) Si une fonction f est strictement croissante et positive sur [0;+∞[, alors lim ( ) x fx →+∞ =+∞ 2) Si une fonction f a pour
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CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE – ASYMPTOTES
1 YX X = + La fonction 1 FX X: X a + est impaire, et la courbe C est symétrique par rapport à la nouvelle origine I Exemple Soit f la fonction définie sur R−{1} par 2 22 1 xx fx x + + = − 1 Déterminer les limites à gauche et à droite de 1 Interpréter graphiquement le résultat 2 Calculer pour tout x de R−{1}: fx x() ( 3)− +
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Chapitre 10 : Limites et continuité des fonctions
1 f 1 l 0 BSi lim x→a f(x) = 0, il faut étudier le signe de f "au voisinage de a" Si f > 0 : lim 1 f = +∞ Si f < 0 : lim 1 f = −∞ Sinon : 1 f n’a pas de limite Quotient Pour étudier la limite d’un quotient f g, on remarque que f g = f 1 g et il suffit alors de combiner les propriétés du produit et de l’inverse
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EQUATIONS, INEQUATIONS
1 sur 13 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques EQUATIONS, INEQUATIONS I Résolution d’équations Activité conseillée Activité conseillée p126 activité1 : Notion d’équation et d’inéquation p60 activité1 : Notion d’équation et d’inéquation ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 Exercices conseillés En devoir Exercices
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D´erivabilit´e - univ-lillefr
1 Calculs Exercice 1 Etudier la d´erivabilit´e des fonctions suivantes :´ f 1(x) = x2 cos 1 x si x 6= 0 f 1(0) = 0; f 2(x) = sinxsin 1 x si x 6= 0 f 2(0) = 0; f 3(x) = x √ x2 −2x+1 x−1 si x 6= 1 f 3(1) = 1 Exercice 2 D´eterminer a,b ∈ R de mani`ere a ce que la fonction f d´efinie sur R + par : f(x) = √ x si 0 6 x 6 1 et f(x) = ax2 +bx+1 sinon soit d´erivable sur R
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Fractions rationnelles, polynômes, équations algébriques
1 et 2 ne sont pas racines du polynôme X2 +3X+5 et donc, F est bien sous forme irréductible La partie entière de F étant clairement 1, F s’écrit sous la forme : F =1+ a X 1 + b X 2; où a et b sont deux réels a=lim x1(x 1)F(x)= 1+3+5 1 2 = 9 et b=lim x2(x 2)F(x)= 4+6+5 2 1 =15 Donc, F =1 9 X 1 + 15 X 2 : 2 Soit F = X2+1 (X 1)(X 2)(X 3) La décomposition en éléments simples de F
1) Relation fonctionnelle. Théorème : Pour tous réels x et y on a : Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.
Rappel. Soit f une application définie sur un intervalle ouvert I `a valeurs réelles. Si f est convexe
Ainsi pour tout x de R {0}
1 x. Ensemble de définition. L'ensemble de définition de la fonction f est. Df = R {0} = R? =] ? ? 0[ ? ]0
1 Dérivation des fonctions élémentaires. Fonction. Df. Dérivée. D f f(x) = k. R f (x) = 0. R f(x) = x. R f (x) = 1. R f(x) = xn n ? N?. R f (x) = nxn?1.
On appelle racine d'une fonction f(x) trinôme du second degré tout «x0» tel que f(x0) = 0 f (x)=a(x?x1. )(x?x2. ) si la fonction a 2 racines .
1 donc C ? (d). Soit une fonction affine f : x ax + b représentée dans un repère par une droite d. Les coordonnées (x ; y) d'un point M appartenant à d
On a alors la factorisation f (x) = a(x – x1)². ax² + bx + c est du signe de a. •. Si < 0 l'équation
Le sinus du nombre réel x est l'ordonnée de M et on note sin x. Propriétés : x. 0 ?. 6 ?. 4 ?. 3 ?. 2 ? cosx. 1. 3. 2. 2. 2. 1. 2. 0. -1 sinx. 0. 1.
Fonction f. Fonction dérivée f '. Intervalles de dérivabilité. P f (x) = k (constante réelle) f ' (x) = 0. ?. 1. U f (x) = x f ' (x) = 1.
Find the PDFfX(x) of X Problem 3 2 2 Solution From the CDF we can ?nd the PDF by direct di?erentiation TheCDF and correpondingPDF are 0 x < ?1 FX(x) = (x+ 1)/2 x
What is a transformation of f(x) = 1 x?
A transformation of f(x) = 1 x f ( x) = 1 x is a function g (x) that can be simplified to the form g(x) = a x?h +k g ( x) = a x ? h + k where a controls vertical stretching, shrinking, and flipping, h is a horizontal translation, and k is a vertical translation. Let's look through the effects each type of transformation has.
Is f(x) = 1/x a simple function?
f ( x) = 1/ x looks like it ought to be a simple function, but its graph is a little bit complicated. It's really not as bad as it looks, though! Let's examine it more closely. If you follow the function's behavior from left to right, you can see that it's a decreasing function, a function where f ( x) decreases as x increases.
What is the graph of f(x) = |x|?
The graph of f (x) = |x| is vertically stretched by a factor of 3, shifted left 2 units, shifted down 4 units and reflected over the x-axis. What is the function equation of the resulting graph? The first transformation (vertically stretched by a factor of 3) means we multiply by 3 the original function:
What is the notation f(x)=[x]?
The notation f (x)= [x] represents the greatest integer function, with the integer being less than or equal to x. Since we have to find the nearest integer smaller than the given number, we can say that greatest integer function always rounds down its input to the nearest integer. We have to find the value of [3.6].
FONCTION EXPONENTIELLE