Created Date: 12/22/2005 2:25:00 PM
2 −ei(n+ 1 2)x 2sin x 2 # Consequently, from (2), taking the imaginary part of the right side (so the real part of [···]) we obtain the desired formula: sinx+sin2x+··· +sinnx = cos x 2 −cos(n+ 1 2)x 2sin x 2 Exercise 1: By taking the real part in (2) find a formula for cosx+cos2x+···+cosnx Exercise 2: Use sin(a+x)+sin(a+2x
cos +cos = 2cos 2 cos + 2 (2 4) we can find that ytotal(x;t) = 2Acos ˚1 ˚2 2 cos kx t+ ˚1 +˚2 2 (2 5) So the result is a new cos wave with a new amplitude related to the difference in phase, 2Acos ˚1˚2 A ˚1˚ 1
2 CHAPITRE2 TRIGONOMÉTRIE Remarque2 1 1 A partir des propriétés de l’exponentielle complexe on retrouve que, pour tout a et b réels: cosa = cosb 9k 2 Z; a = b+2k ou a = ¡b+2k
2 + ¥ å k=1 a k cos(kx) for some coefficients a k We can compute the a ‘ very simply: for any given ‘, we inte-grate both sides against cos(‘x) This works because of orthogonality: Rp 0 cos(kx)cos(‘x)dx can easily be shown to be zero unless k = ‘ (just do the integral) Plugging the above sum into Rp 0 f(x)cos(‘x)dx therefore
cos(kx) + C 3 Z x3(x2 1)4 dx= u= x 2 1 du= 2xdx 1 2x du= dx Notice the x2 still needs to be replaced So solve the initial U-sub formula for x2 to get: x2 = u+ 1 Z
eit = cos t+i sin t where as usual in complex numbers i2 = ¡1: (1) The justification of this notation is based on the formal derivative of both sides, namely d dt (eit) = i(eit) = icos t+i2 sin t = icos t¡ sin t since i2 = ¡1 d dt (cos t+i sin t) = ¡ sin t+i cos t since i is a constant: along with the initial value of 1 for both sides at t
2 1 1 1 n n n nx n x f x x + - + + =- En déduire la somme 1 2 n k n k S k = = å en fonction de n On veut calculer la somme 1 2 n k n k S k = = å par une autre méthode 3) Retrouver la valeur de Sn en posant j k= - 1 EXERCICE 3 : Soit n un entier naturel non nul, on pose ( ) ( ) 1 cos n n k S x kx = = å 1) Que vaut S xn ( ) si x = 02[p] On
Phys 325: Midterm #1 Feb 27, 2020 There are 5 questions, each of which is worth an equal number of points Feel free to take the question sheet with you, it will not be used for grading
1 en calculant f g; 2 en utilisant le produit de deux matrices jacobiennes EXERCICE 2 On admet que ˜+∞ n=1 1 n2 = π2 6 et on pose A = N∗ ×N∗ Q3 Démontrer que la famille ˚ 1 p 2q ˛ (p,q)∈A est sommable et calculer sa somme Q4 Démontrer que la famille ˚ 1 p 2+q ˛ (p,q)∈A n’est pas sommable PROBLÈME Séries
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Planche no 12 Trigonométrie circulaire
2 cos(2x) 4) 1 tanx −tanx = 2 tan(2x) Exercice no 15 (***) Soit k un réel distinct de −1 et de 1 1) Etudier les variations de fk: x 7→ sinx √ 1−2kcosx+k2 2) Calculer Zπ 0 fk(x)dx Exercice no 16 (***I) Calculer les sommes suivantes : 1) Xn k=0 cos(kx)et Xn k=0 sin(kx), (x ∈ Ret n ∈ Ndonnés) 2) Xn k=0 cos2(kx)et Xn k=0 sin2(kx), (x ∈ Ret n ∈ Ndonnés) 3) Xn k=0 Ck
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Formulaire de trigonométrie circulaire
1 2 (cos(a −b)+cos(a+b)) cos2 a = 1 +cos(2a) 2 sinasinb = 1 2 (cos(a−b)−cos(a +b)) sin2 a = 1 −cos(2a) 2 sinacosb = 1 2 (sin(a+b)+sin(a−b)) Formules de factorisation cos x, sin x et tan x Divers en fonction de t=tan(x/2) cosp +cosq = 2cos p +q 2 cos p−q 2 cosx = 1 −t2 1 +t2 1+cosx = 2cos2 x 2 cosp −cosq = −2sin p+q 2 sin p −q 2 sinx = 2t 1 +t2 1−cosx = 2sin2 x 2
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Formulaire de trigonométrie circulaire
1−tan2(x) Formules du demi-angle cos 2(x) = 1+cos(2x) 2 sin (x) = 1−cos(2x) 2 tan(x) = sin(2x) 1+cos(2x) = 1−cos(2x) sin(2x) En posant t = tan x 2 pour x 6≡π [2π], on a : cos(x) = 1−t2 1+t 2, sin(x) = 2t 1+t et tan(x) = 2t 1−t · Somme, différence et produit cos(p)+cos(q) = 2cos p+q 2 cos p−q 2 cos(p)−cos(q) = −2sin p+q 2 sin p−q 2 sin(p)+sin(q) = 2sin p+q 2 cos p−q 2Taille du fichier : 159KB
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Exo7 - Exercices de mathématiques
4 cos(2x)=cos2 x,cos(2x)= 1 2 (1+cos(2x)),cos(2x)=1 ,2x22pZ,x2pZ De plus, S [0;2p] = f0;p;2pg 5 2cos2 x 3cosx+1 =0 ,(2cosx 1)(cosx 1)=0 ,cosx= 1 2 ou cosx=1 ,x2 p 3 +2pZ [p 3 +2pZ [2pZ De plus, S [0;2p] = 0; p 3; 5p 3;2p 6 cos(nx)=0 ,nx 2p 2 +pZ,x 2p 2n + p n Z 7 jcos(nx)j=1 ,nx 2pZ,x 2p n Z 8 sin(nx)=0 ,nx 2pZ,x 2p n Z 9 jsin(nx)j=1 ,nx 2p 2 +pZ,x 2p 2n + p n Z 10 sinx=tanx,sinx sinxTaille du fichier : 285KB
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Récurrence et sommes - Eklablog
cos (kx) H n = Xn k=0 n k sin (kx) (a)On pose Z n = G n + iH n Exprimez Z n sans symbole P (b)En utilisant les formules d'Euler, exprimer Z n sous la forme A+ iB (c)Conclure 17 En utilisant la formule de Pascal généralisée, déduire Xn k=2 k(k 1) et retrouver Xn k=1 k2 18 Calculer la somme suivante de 2 façons di érentes : F n = X 0 i j n j i
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1 Complexes Polynômes - Éditions Ellipses
1 1 Nombres complexes Calculer C= 1 2 +cosx+cos2x+···+cosnx (n∈N∗ et x∈R) Exercice 1 •Si x=2kπ,k∈Z, écrivons 2C=1+2cosx+2cos2x+···+2cosnx Pour tout entier k, coskx= eikx+e−ikx 2 donc 2C= n k=−n eikx On reconnaît une somme de 2n+1termes en progression géométrique de raison eix =1et de premier terme e−inx d’où : 2C= e−inx 1−ei(2n+1)x
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1 Enonc¶e¶ - Mathniquecom
cos(kx); Sn (x) = Xn k=1 sin(kx); Tn (x) = Xn k=1 kcos(kx); Fn (x) = 1+2 Xn k=1 µ 1¡ k n+1 ¶ cos(kx): (les 1 2 +Cn sont les noyaux de Dirichlet et les Fn les noyaux de Fej¶er) 1 Montrer que : Jn (x) = ei n+1 2 xsin ¡ n 2 x ¢ sin ¡ x 2 ¢: 2 Montrer que : Cn (x) = cos µ n+1 2 x ¶ sin ¡ n 2 x ¢ sin ¡ x 2 ¢; Sn (x) = sin µ n+1 2 x ¶ sin ¡ n 2 x ¢ sin ¡ x 2 ¢: 4
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1 S eries trigonom etriques
( n1) +1 4n2 1 Exercice 3 Soit la fonction f: R R 2ˇ-p eriodique d e nie par 8x2] ˇ;ˇ], f(x) = exp(x) 1 Calculer les coe cients de Fourier exponentiels de f 2 En d eduire la valeur des sommes +X1 n=1 ( 1)n n2 + 1 et X+1 n=1 1 n2 + 1 Exercice 4 Soient 2RnZ et f: R R la fonction 2ˇ-p eriodique d e nie par f(x) = cos
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TD n 2: Calculs algébriques P n P n k P k P
Exercice 1 Calculer Pn k=0 cos(kx)puis Pn k=0 cos2(kx) Exercice 2 Calculer la somme Pn k=0 cos(kx) cosk x) avec x ≡ π 2 [π] Exercice 3 Calculer 1 Xn k=1 1 k(k +1)(k +2) 2 Xn k=1 k (k +1) 3 Xn k=1 kk 4 nX+1 k=0 sin1sin(k +1) 5 Xn k=1 sin 1 k(k+1) cos1 k cos 1 k+1 Exercice 4 Montrer que 2sin x 2 Xn k=1 cos(kx)est une somme télescopique En déduire la valeur de Xn k=1 cos(kx) Exercice 5
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Exo7 - Cours de mathématiques
(k +1)(k +2) = 1 12 + 1 23 + 1 34 + est convergente et a la valeur 1 En effet, elle peut être écrite comme somme télescopique, et plus précisément la somme partielle vérifie : Sn = Xn k=0 1 (k +1)(k +2) = n k=0 † 1 k +1 1 k +2 ‰ = 1 1 n+21 lorsque n+1 Par changement d’indice, on a aussi que les séries P +1 k=1 1 k(k+1) et P +1 k=2 1 k(k1) sont convergentes et de même somme 1 Taille du fichier : 260KB
(on rappelle que ez est défini pour tout nombre complexe z comme la somme ∑ ∞ n=0 zn n ) On a notamment eix = cos(x) + i sin(x) On définit le nombre π/2
formulaire trigo
26 sept 2012 · calculer une somme de fonctions trigo k=0 [cos(kx) + isin(kx)] = n ∑ 2x) cos( n 2x) sin (x 2 ) • Sn =sin (n+1 2x) sin(n 2x) sin(x 2 ) Α 2
corrige dl
k=0 cos(kx) En utilisant une formule classique sinacosb = 1 2 (sin(a + b) + sin(a − b)) = 1 2 (sin(b + a) − sin(b − a)) Avec kx et x 2 `a la place de b et de a
SumCoskx
OA cos sin = α × + α × i j ▻ B qui est associé au réel α+β , a pour coordonnées ( ) ( ) ( )
dpssincossomme
3 x → cos(ax) − 1 et x → sin x 2 sont de classe C1 sur R De plus cette
Lyon PB C
an + ibn 2 La somme partielle a0 2 + p ∑ n=1 (an cos(n x) + bn sin(n x)) s' écrit aussi (écriture exponentielle complexe ) p ∑ n=−p cne inx , où, pour n ∈ N
poly math chapitre
cos(π 2 − x) = sinx sin(π 2 − x) = cosx tan(π 2 − x) = 1 tan x = cotanx Rappelons également : cos2 x + sin2 x = 1 II 2 cos et sin d'une somme Les formules
MAT Rappels trigo
Calcul de cos(kx) et de sin(kx) 0 K=0 Ek=0 Utiliser la formule de Moivre puis les résultats sur la somme des termes d'une suite géométrique Pour simplifier le
. Nombres complexes. Corrig C A s
sont complémentaires leur somme vaut 2 π ( ) ( ) cos cos sin sin π α α π α α − = − − = et α π α− sont supplémentaires leur somme vaut π
formulairetrigo
cos(nt) n dt) = 1 n2 ((2aπ + b)(−1)n − b) − 2a n2 ∫π 0 cos(nt) dt = 2) ( somme télescopique) et pour t /∈ 2πZ, on retrouve n ∑ k=1 cos(kt)=− 1 2 + sin (
ZetaDe
If t is increased by one and x by ?/k the argument of the cosine in (4.1) 4.2 Two Examples of Derivations of Wave Equations ... ka2 cos 2(kx ? ?t) +.
nodes of the wave function and they occur where sin kx = 0 and hence ?(x 1 ? ? ? e = cos + i sin ? ? ?. Figure 2: Complex number in the complex plane ...
08/11/2021 bk. (um k2 sin(kx)(1 ? e?k2t) +. 2?xum k3 cos(kx)(1 ? k2te?k2t ? e?k2t). ) . From (2.51)-(2.50) we need the following proposition to ...
Integrating cos mx with m = n ? k and m = n + k proves orthogonality of the sines. The exception is when n = k. Then we are integrating (sin kx)2 = 1.
nx kx kx x. = = -. +. = -. ?. ?. In order to prove the theorem we have the following lemma. Lemma 2.1. 1 cos cos(. 1). 1 2 cos. 1 cos.
E ckdk cos kx>0 0<x <z7. k=O. Letting ak = ckdk
v is the velocity of the wave. -4. -2. 0. 2. 4. 6 f(x) f(x-1) f(x-2) 1D wave equation: some solutions ... E(xt) = A cos(?)
1 x sin x cosx sin kx k cos kx cosx. ?sin x coskx. ?k sin kx tan x = sin x i) y = x?1/2 j) y = sin x k) y = cos x l) y = sin 4x m) y = cos 1. 2 x.
? = a cos(kx - ?t) = (H/2) cos 2?(x/L – t/T). 5.4 ? = (gk tanh kd). 1/2 taken at some later time would have a similar appearance i.e.
Os sistemas de transferência de energia sem fios (Wireless Power Transfer - WPT) power transfer (WPT) systems are very efficient for powering one or two.
26 sept 2012 · EXERCICE 1 1 Soit n ? N? x ? R On suppose que x n'est pas congru `a 0 modulo 2? On note Cn = n ? k=0 cos(kx) et Sn =
On peut calculer la somme en second membre en linéarisant cos2(kx) On sait cos(2a) = 2 cos2(a) ? 1 et donc cos2(kx) = 1 2
Question posee : Calculer Pk=n k=0 cos(kx) En utilisant une formule classique 1 sin a cos b = (sin(a + b) + sin(a b)) 2 1 = (sin(b + a) sin(b a)) 2
I Calcul d'une somme et d'une intégrale 1 a Soit n un élément de N? et x un élément de [0?] 1+2 Cn(x)=1+ n ? k=1 2 cos(kx)=1+ n ? k=1
2 + n ? k=1(ak cos(kx) + bk sin(kx)) La petite bizarrerie dans le traitement du coefficient a0 vient de la normalisation : la constante 1 est de norme 1
1 – La somme des n premiers entiers vaut n(n + 1)/2 Voici maintenant une explication combinatoire Autour d'une table n+1 personnes sont assises et s'apprêtent
[01] 2 Montrer que la suite de fonctions (fn)n?N converge uniformément Déterminer sa somme an cos(nx) cos(kx)dx (6) = 1 ? +? ? n=1 an 2
k=n k=0 cos(kx) En utilisant une formule classique sinacosb = 1 2 cos(kx) sin( x 2 ) = k=n ? k=0 1 2 (sin(kx + x 2 ) ? sin(kx ?
2n + 1 3n converge puisque que c'est la somme de deux séries géométriques convergentes 1 2n cos(nx) + 1 3n sin(nx) ) = 4 ? 2 cos(x) 5 ? 4 cos(x)
Dans ce chapitre nous allons nous intéresser à des sommes ayant une infinité de termes Par exemple que peut bien valoir la somme infinie suivante : 1 + 1 2
:
Chapter 4 - DERIVATION AND ANALYSIS OF SOME WAVE