Exercice 54 [ 01153 ] [correction] Soient A et B deuxpartiesferméesd’unespacevectorielnormé E dedimension finie Onsuppose A ∪ B et A ∩ B connexespararcs,montrerque A et B sont
TD 4: Topologie Exercice 1 Pour chacun des sous-ensembles suivants de R2, indiquer s’il est ouvert, fermé, les deux ou aucun
Proposition 1 8 Les ouverts de (A,δ) sont exactement les ensembles O ∩ A ou` O est un ouvert de (E,d), c’est a dire les ”traces sur A” des ouverts de E Cette topologie de A s’appelle la ”topologie induite par E sur A”, ou plus simplement la ”topologie induite” Les ferm´es de (A,δ) sont exactement
Remarquer que A est un ouvert de R et D est un ferm´e de R Ils sont a fortiori ouvert (resp ferm´e) dans E En revanche, B et C ne sont ni ouverts, ni ferm´es dans R Proposition 8 Soit E un sous-ensemble de R Une partie A ⊂ E est ouverte (resp ferm´ee) dans E si et seulement si il existe un ouvert U
Exercice 9 Udans N est dit ouvert s’il est stable par divisibilit´e, c a d tout diviseur de n∈ Uest encore dans U Montrer qu’on a d´efini ainsi une topologie sur N qui n’est pas la topologie discr`ete Exercice 10 On consid`ere dans N∗, la famille de progressions arithm´etiques P a,b= {a+bn/n∈ N∗},
Topologie Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur www maths-france * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exercice 1 ** Montrer que la boule unité d’un espace vectoriel normé est un convexe de cet espace Correction H [005839] Exercice 2 *** I
Exercice 13 Soit Rn considéré comme groupe additif muni de sa topologie usuelle Soit G un sous-groupe de Rn 1 On suppose que 0 est isolé dans G Montrer que tout point est isolé, que G est discret et fermé dans Rn On se restreint maintenant au cas n=1 2 Montrer qu’alors, G est soit f0g, soit de la forme aZ, a>0
3M260 – Topologie et calcul différentiel Université Pierre et Marie Curie Mathématiques Année 2016/2017 Feuille d’exercices no 1 – Espaces métriques Dans tout ce qui suit, si (X,d) est un espace métrique et qu’il n’y a pas d’ambiguïté sur le choix de X et d,
D n’est pas ouvert Dans toute boule de centre (0;0), qui est élément de D, il existe des éléments qui ne sont pas dans D, par exemple les éléments du type (0; p 2/n) 5 E n’est pas ouvert car son complémentaire, D, n’est pas fermé E n’est pas fermé car son complémentaire n’est pas ouvert 6
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I Ouverts, ferm´es - Claude Bernard University Lyon 1
Topologie des espaces vectoriels norm ´es I Ouverts, ferm´es Exercice 1 Montrer en utilisant la d´efinition d’un ouvert et d’un ferm´e que : 1 Tout ouvert de Rn est une r´eunion de boules ouvertes 2 L’ensemble ] a,b [, a
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Corrigé de la feuille d’exercices no5
Topologie Exercice 1 Déterminer si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés : A = f(x;y) 2 R2 j 0 < jx 1j < 1g B = f(x;y) 2 R2 j 0 x yg C = f(x;y) 2 R2 j jxj < 1; jyj 1g D = f(x;y) 2 R2 j x 2 Q et y 2 Qg E = f(x;y) 2 R2 j x ̸ Q ou y ̸ Qg F = f(x;y) 2 R2 j x2 +y2 < 4g: Correction A et F sont ouverts B est fermé, les autres ne sont ni ouverts ni fermés Voici une preuve variant les
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Feuille d'exercices 5 : topologie des evn
Feuille d'exercices 5 : topologie des e v n Exercice 1 Pour chaque ensemble, dire s'il est ouvert, fermé, borné : (i) f(x;y) 2R2: x= yg, (ii) f(x;y) 2R2: xy>0g, (iii) f(x;y;z) 2R3: xy>zg Exercice 2 Soient Set T deux parties dans Rn Étant donné X dans Rn, on note X ou X l'intérieur de X, i e la réunion de tous les ouverts inclus dans X, et X la adhérence de X, i e l'ensemble
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Topologie - puissancemathscom
Exercice 54 [ 01153 ] [correction] Soient A et B deuxpartiesferméesd’unespacevectorielnormé E dedimension finie Onsuppose A ∪ B et A ∩ B connexespararcs,montrerque A et B sont
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Feuille d'exercice : Topologie
Feuille d'exercice : Topologie Exercice 1: ( La somme de deux sous-espaces fermés ) Soient E un espace vectoriel normé (sur K = R ou C), F, G deux sous espaces de E On suppose F fermé et G de dimension nie, montrer que F+ G= fx+ y;x2F;G2Ggest fermé Exercice 2: ( somme d'ouverts et de fermés ) Soit Eun espace vectoriel normé Soient AˆEet BˆEdeux parties de E On pose : A+ B
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Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 4 *** I Topologie dans M n(K) 1 Montrer que GL n(R) est un ouvert de M n(R), dense dans M n(R) 2 Montrer que M n(R)nGL n(R) est fermé mais non compact (pour n>2) 3 Montrer que O n(R) est compact O n(R) est-il convexe? 4 Montrer que S n(R) est fermé 5 Soit p 2[[0;n]] Montrer que l’ensemble des matrices de rang inférieur ou Taille du fichier : 300KB
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Feuille d’exercices no 1 – Espaces métriques
Montrer que l’intervalle [a,b[ n’est ni ouvert, ni fermé dans R 2) Les parties N, Z, Qet RrQde Rsont elles ouvertes? fermées? 1 3M260 – Topologie et calcul différentiel Feuille d’exercices no 1 8 On se place dans (X,d) un espace métrique Dans chacun des cas suivants, dire si l’assertion proposée est vraie ou fausse, en justifiant votre réponse 1) ∅et X sont à la fois
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Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 13 Soit Rn considéré comme groupe additif muni de sa topologie usuelle Soit G un sous-groupe de Rn 1 On suppose que 0 est isolé dans G Montrer que tout point est isolé, que G est discret et fermé dans Rn On se restreint maintenant au cas n=1 2 Montrer qu’alors, G Taille du fichier : 193KB
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TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE - Université Paris-Saclay
TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE P Pansu 16 mai 2005 1 Qu’est-ce que la topologie? C’est l’´etude des propri´et´es des objets qui sont conserv´ees par d´eformation continue Belle phrase, mais qui n´ecessite d’ˆetre pr´ecis´ee 1 1 Rappels D´efinition 1 Une partie U ⊂ R est dite ouverte si pour tout x ∈ U, il existe > 0 tel que]x− ,x+ [⊂ U Une partie F ⊂ R est dite
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Exercices de licence - univ-lillefr
Exercice 9 Udans N est dit ouvert s’il est stable par divisibilit´e, c a d tout diviseur de n∈ Uest encore dans U Montrer qu’on a d´efini ainsi une topologie sur N qui n’est pas la topologie discr`ete Exercice 10 On consid`ere dans N∗, la famille de progressions arithm´etiques P a,b= {a+bn/n∈ N∗},Taille du fichier : 899KB
(b) Montrer qu'un hyperplan est soit fermé soit dense. Exercice 38 [ 01132 ] [Correction]. Soient U et V deux ouverts denses d'un espace vectoriel normé E
Décrire la topologie dont les singletons forment une base d'ouverts. Montrer que dans tout espace métrique (Ed) une boule fermée est un fermé
Exercice 2 – Topologie induite a) Décrire les ouverts et les fermés de [a; b[ et [a;+?[ pour la topologie induite par R.
b) Montrer qu'un hyperplan est soit fermé soit dense. Exercice 64 [ 01132 ] [correction]. Soient U et V deux ouverts denses d'un espace vectoriel normé E. a
Topologie. Exercices de Jean-Louis Rouget. Exercice 4 *** I Topologie dans Mn(K) ... Mn(R)GLn(R) est fermé en tant que complémentaire d'un ouvert.
On peut traiter cet exercice par “passage au complémentaire” qui transforme les propriétés portant sur des fermés en propriétés portant sur des ouverts.
Exercice 7.7 Soit U un ouvert fermé d'un espace topologique E. a) Montrer que si x ? U alors C(x) ? U o`u C(x) est la composante connexe de x dans E
Exercice 1. Soit E un evn de dimension finie et A ? E borné fermé
L'ensemble {(x y) ? R2 : x + 3y2 ? 1} est ouvert ? fermé ? borné ? Exercice 4. 1. Montrer que toute boule ouverte (fermée) est un ouvert (fermé).
d'ouverts. C) On montre que X est l'image réciproque d'un ouvert par une application continue. D) On montre que son complémentaire est fermé.
Feuille d’exercices n o4 Topologie des espaces vectoriels norm ´es I Ouverts ferm´es Exercice 1 Montrer en utilisant la d´e?nition d’un ouvert et d’un ferm´e que : 1 Tout ouvert de Rn est une r´eunion de boules ouvertes 2 L’ensemble ] ab [ a
Un ouvert de Eest une partie de Equi est voisinage de tous ses points Un ferm´e de Eest le compl´ementaire d’un ouvert de E Remarque : Dans un espace vectoriel norm´e (Ek?k) B(ar) est le translat´e de B(0r) par le vecteur a Lemme 1 4 Dans un espace m´etrique (Ed) toute boule ouverte est un ouvert et toute boule ferm´ee est
4 Montrer que si k est in ni deux ouverts non vides quelconques s'intersectent (on pourra com-mencer par traiter le cas n= 1) 5 Montrer l'equivalence de (a) Z séparée (b) k ni (c) Z discrète (d) Z métrisable 6 Sur Rn montrer que Z est moins ne que la topologie usuelle Exercice 3
Exercice 4 Montrer que dans tout espace métrique (E;d) une boule fermée est un fermé mais que l’adhérence d’une boule ouverte B(a;r) ne coincide pas nécessairement avec la boule fermée B0(a;r) (on pourra considérer dans (R2;jj:jj ¥) E =[0;1]f 0g[f0g [0;1] et la boule centrée en (1 2;0) de rayon 1=2) Indication H Correction H
Qu'est-ce que la topologie ?
Ce texte repr´esente le cours de topologie dispens´e en Licence de Math´ematiques Pures a Nice, pendant quatre ann´ees cons´ecutives (de 2000/2001 a 2003/2004). La topologie est une th´eorie math´ematique relativement jeune : elle ´emerge (sous le nom d’analysis situs) au d´ebut du vingti`eme si`ecle dans les travaux de Hausdor? et de Tychono?.
Quelle est la différence entre un ouvert et un ferm'e ?
8 CHAPITRE 1. ESPACES METRIQUES´ Un ouvert de Eest une partie de Equi est voisinage de tous ses points. Un ferm´e de Eest le compl´ementaire d’un ouvert de E. Remarque : Dans un espace vectoriel norm´e (E,k?k), B(a,r) est le translat´e de B(0,r) par le vecteur a.
Quelle est la topologie de la convergence uniforme ?
La notion de boule ouverte pour une semi-distance est identique a la notion de boule ouverte pour une distance. La topologie d´e?nie pour F(E,R) ci-dessus s’appelle la topologie de la convergence uniforme. En e?et, (f n)
Quel est le rôle de la topologie dans la recherche ?
Dans la recherche actuelle, la topologie joue un role fondamental aussi bien en Analyse Fonctionnelle qu’en G´eom´etrie Di?´erentielle ou encore en Topologie Alg´ebrique. Ce cours (de 13 s´eances d’une heure et demi) n’est cependant qu’une introduction aux notions de base.
topologie-des-espaces-normés.pdf