(R A T) s’appelle une relation d’ordre sur E b) Exemple de relation d’ordre : (i) Les ordres usuels Det Edans les ensembles de nombres N;Z;Q;R (ii) Attention la relation >ou
3 1 5 Relation d’ordre 3 1 6 Exposants entiers relatifs 3 1 7 Intervalles de IR 3 1 8 Droite num´erique achev´ee 3 1 9 Identit´es remarquables 3 1 10 Valeur absolue et distance 3 1 11 Quelques in´egalit´es classiques 3 2 Borne sup´erieure, borne inf ´erieure 3 2 1 Axiome de la borne sup´erieure 3 2 2 Propri´et´es de la
The ordered pairs (2,2) and (3,3) must be added to R, to obtain this new reflexive relation that is the reflexive closure of R cs2311-s12 - Relations-part2 note 1 of slide 9
1 2 Suites d’ordre deux On consid`ere ξ une suite v´erifiant la relation: ξn+2 = aξn+1 +bξn, n ≥ 0, o´u a, b ∈ Fp avec a = 0 On notera, Δ = D(f)=a2 +4b Les r´esultats ci-deous sont bien connus et d´emontr´es en [1]
a) Propri~t~s poss~d~es par un sommet b) Construction des relations simples c) Construction des relations multiples 4 ° - Reconnaissance d'une figure dans une structure arborescente a) Schema de figure b) Figures dans une arborescence munie d'une relation d'ordre restreinte
On conviendra de noter xRyla relation x2E, y2Eet (x;y) 2R On va etudier deux types de relations particuli erement importantes, la relation d’ equiva-lence et la relation d’ordre 1 2 2 Relation d’ equivalence Une relation binaire Rsur un ensemble Eest dite relation d’ equivalence si elle est : a) r e exive : 8x2E; xRx
Proof To show that isomorphism is an equivalence relation, I must show re exive, symmetric and transitive First, notice that GˇGby the identity map Thus the isomorphism relation is re exive Suppose that GˇH Then there exists an isomorphism ˚: GH But this implies that ˚ 1: HGis also an isomorphism Thus HˇGand the relation is symmetric
relation from the set A to the set B 12 CS 441 Discrete mathematics for CS M Hauskrecht Set operations Definition: Let A and B be sets The union of A and B, denoted
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1 Propri et es de R li ees a la relation d’ordre
1 Propri et es de R li ees a la relation d’ordre Th eor eme 1 1 Pour qu’une suite (x n) n de nombres r eels ait une limite, il faut et il su t que cette suite soit de Cauchy; cette limite xest unique Et si on a x n 0 pour tout n2N (ou m^eme seulement pour nassez grand), on a x 0 1 1 Ensembles adjacents
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Vocabulaire et propri et es relatifs a la relation d’ordre
1 Vocabulaire et propri et es relatifs a la relation d’ordre 2 Intervalles de R 3 Approximation d’un nombre r eel 4 equations, in equations 13 novembre 2013 2 / 32 Vocabulaire Proposition R est l’ensemble des r eels L’ensemble R muni des lois internes + et est un corps commutatif Ce qui veut dire qu’on a le droit de calculer avec les r eels comme on a l’habitude de le faire 13
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1 Relations d’ordre
Relations d’ordre D enombrement Plus grand el ement Borne Sup erieure 1 Relations d’ordre 1 1 Relations d’ordre Ensembles ordonn es D e nition Soit E un ensemble muni d’une relation binaire R On dit que R est une relation d’ordre sur E ou que (E;R) est un ensemble ordonn e si et seulement si R poss ede les propri et es
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Relations d’ordre - Page d'Igor Kortchemski
Relations d’ordre Club ParisMaths - groupe avanc e No e de Rancourt 22 f evrier 2013 1 G en eralit es Soit X un ensemble Une relation Rsur X est une partie de X2; etant donn es x et y deux el ements de X, on notera xRy plut^ot que (x; y) 2R Une relation d’ordre sur X est une relation 6 satisfaisant les trois propri et es suivantes : (R e
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Alg ebre fondamentale - ericsoccorsipersoluminyuniv-amufr
1 2 1 Propri et es li ees a la relation d’ordre L’ensemble IR est totalement ordonn e par la relation Cette relation est compatible avec l’addition : 8a;b;c2IR; (a b) )(a+ c b+ c); et compatible avec la multiplication par un r eel positif : 8a;b2IR; 8c2IR+; (a b) )(ac bc):
Exercices de Math´ematiques Relations d’ordre
La propri´et´e subsiste-t-elle si on remplace “max” par “sup”? Exercice 2 [Indication] [Correction] Soient R et S deux relations d’ordre total sur E 1 Sur E on pose xT y ⇔ (xRy et xSy) Est-ce une relation d’ordre (total, partiel)? 2 Mˆeme question en d´efinissant : xUy ⇔ (xRy ou xSy) Exercice 3 [Indication] [Correction] Sur IR2, on d´efinit ˆ (x,y)R(x0,y0) ⇔ x
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Zoom sur IR et IN munis de l’ordre
1 La relation d’ordre usuelle sur IN, ZZ, QI , IR : on a a chaque fois un ordre total 2 Si Eest un ensemble, ˆest une relation d’ordre sur P(E) : c’est un ordre partiel 3 Si E= IR2, on peut d e nir des relations d’ordre Par exemple on a : L’ordre produit d e ni par : (x;y) 4(x0;y0) si et seulement si x6x0et y6y0 C’est un ordre partiel
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1 Introduction Propri et es des rationnels
la relation d’ equivalence obtenue en posant (p;q) (p0;q0) si (et seulement si) pq0= qp0 On a alors les propri et es suivantes : Propri et e 1 1 1 Q est un corps commutatif pour les op erations usuelles d’addition et de multiplication 2 Q est totalement ordonn e par la relation d’ordre usuelle, et cette relation d’ordre satisfait a
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Universit e Paris 13, Institut Galil ee
relation d’ordre naturel { l’ordre li e a la num eration { de N Nous terminerons par les op orateurs P et Q, appliqu es aux suites ou fonctions enti eres a valeurs enti eres 1 Propri et es el ementaires des op erations addition et multiplication dans N L’addition de deux nombres entiers naturels a pour r esultat un nombre entier naturel