Les exercices ¶etoil¶es (*) s’adressent aux seuls ¶etudiants inscrits µa l’unit¶e MO12 Corrig¶e de la feuille d’exercices 1 Exercice 1 Etude des sous-groupes de Z=nZ: (i) Montrez que tout groupe cyclique d’ordre n est isomorphe µa Z=nZ; (ii) Montrez que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique;
1 Résoudre dans , l’équation (donner les solutions sous forme algébrique et trigonométrique), et exprimer ces solution en fonction de 2 Montrer que { } muni de la multiplication est un sous-groupe de ( ) 3 Déterminer les ordres possible des sous-groupes de ( ), en déduire tous les sous-groupes de ( )
Corrig¶e de la feuille d’exercices 2 1 Polyµedres r¶eguliers 1 1 Trois polyµedres r¶eguliers et leurs groupes Exercice 1 Le t¶etraµedre r¶egulier: on note IT le groupe des isom¶etries qui laissent le t¶etraµedre globalement invariant et DT le sous-groupe de IT constitu¶e par les d¶eplacements de IT
cylique engendré par h K∩hhiétant un sous-groupe strict de hhi, par Lagrange il est trivial De plus le groupe engendré par K et hcontient strictement K, par Lagrange à nouveauilestégalàG Enfinghhig−1 = hhipourtoutélémentdehhi,pourtoutélément de K⊂Z(G), et donc finalement pour tout élément de G: ainsi hhiest distingué dans
Exercice24 Groupes abéliens d’ordre donné Donner la liste des groupes abéliens d’ordre 72 à iso-morphismesprès,sousforme“facteursinvariants”etsousforme“facteursélémentaires” Exercice25 Un théorème de simplification Soit G,H,G0,H0des groupes finis, tels que G’G0et G×H’G0×H0 OnseproposedemontrerqueH’H0
Groupes, sous-groupes, ordre Exercice 1 On dispose d’un échiquier et de dominos Les dominos sont posés sur l’échiquier soit horizontalement, soit verticalement de façon à couvrir deux cases contiguës Est-il possible de couvrir ainsi entièrement l’échiquier à l’exception des deux cases extrèmes, en haut à gauche et en bas à
Exercices corrig´es de Algebra1, Hungerford, Thomas W Adem Oztur¨ k et Fabien Trihan¨ 2 avril 2004 1Reprint of the 1974 original Graduate Texts in Mathematics, 73 Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980
Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 1 Daniel ALIBERT Ensembles, applications Relations d'équivalence Lois de composition (groupes) Logique élémentaire Objectifs : Démontrer que deux ensembles sont égaux, maîtriser les opérations élémentaires ensemblistes (union, intersection, complémentaire), utiliser
TD11 : Repr esentations des groupes nis I Exercices ?: a pr eparer a la maison avant le TD, seront corrig es en d ebut de TD Exercices ??: seront trait es en classe en priorit e Exercices ???: plus di ciles Exercice 1 : ? Montrer que tout groupe ni Gadmet une repr esentation d ele sur tout corps K Solution de l’exercice 1
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Groupes, anneaux, corps - Claude Bernard University Lyon 1
Déterminer les ordres possible des sous-groupes de ( ), en déduire tous les sous-groupes de ( ) Allez à : Correction exercice 12 Exercice 13 Soit On pose { { }} Soit , avec , et l’ordre de , on rappelle que est le plus petit entier non nul tel que 1 Montrer que ( ) est un sous-groupe de ( ) 2 a) En faisant la division euclidienne de par montrer que est un multiple de b Taille du fichier : 1MB
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TD 1: Groupes, sous-groupes, morphismes de groupes
A ˆG stable par produit de sorte que A ne soit pas un sous-groupe de G Exercice 4 Soit G un groupe On suppose que : 8x 2G, x2 = e Montrer que G est commutatif Exercice 5 On va montrer que les sous-groupes de (Z,+) sont de la forme nZ, n 2N 1 Soit n 2N, montrer que nZ est un sous-groupe de(Z,+) 2 Soit G 6= f0gun sous-groupe de (Z,+)
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Groupes, sous-groupes, ordre - Exo7 : Cours et exercices
Groupes, sous-groupes, ordre Exercice 1 On dispose d’un échiquier et de dominos Les dominos sont posés sur l’échiquier soit horizontalement, soit verticalement de façon à couvrir deux cases contiguës Est-il possible de couvrir ainsi entièrement l’échiquier à l’exception des deux cases extrèmes, en haut à gauche et en bas à droite? Reprendre cette question dans le cas où Taille du fichier : 184KB
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Corrig¶e de la feuille d’exercices 1
Les exercices ¶etoil¶es (*) s’adressent aux seuls ¶etudiants inscrits µa l’unit¶e MO12 Corrig¶e de la feuille d’exercices 1 Exercice 1 Etude des sous-groupes de Z=nZ: (i) Montrez que tout groupe cyclique d’ordre n est isomorphe µa Z=nZ; (ii) Montrez que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique; (iii) Montrez que pour djn, il existe un unique sous-groupe d’ordre d Taille du fichier : 159KB
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Corrigé exercices 7 et 10 feuille 2
j est un sous-groupe de G, d’oùhk 1 2\ i2IH i L’ensemble\ i2IH i estdoncunsous-groupedeG 2 Donner une condition nécessaire et suffisante pour que l’union de deux sous-groupes de G soit unsous-groupedeG Soient H et K deux sous-groupes Montrons qu’il est nécessaire que H K ou K H pour
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Morphisme, sous-groupe distingué, quotient
Soit f : G H un morphisme de groupes finis Soit G0un sous-groupe de G d’ordre premier à l’ordre de H Montrer que G0ˆker(f) Indication H [002148] Exercice 14 Soit G un groupe fini et H et K deux sous-groupes de G On suppose que H est distingué dans G, que jHjet jG=Hjsont premiers entre eux et jHj=jKj Montrer que H =K Correction H Taille du fichier : 183KB
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EXERCICESSURLESGROUPES
Exercice24 Groupes abéliens d’ordre donné Donner la liste des groupes abéliens d’ordre 72 à iso-morphismesprès,sousforme“facteursinvariants”etsousforme“facteursélémentaires” Exercice25 Un théorème de simplification Soit G,H,G0,H0des groupes finis, tels que G’G0et G×H’G0×H0 OnseproposedemontrerqueH’H0
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DEVOIR SURVEILLE´ N˚04 - mpsi-saintbrieuc
E´noncez la caract´erisation des sous-groupes de G (On ne demande pas de d´emonstration) Dans la suite de l’exercice, on consid`ere un sous-groupe H de (R,+), H 6= {0} b Notons H+ la partie de R d´efinie par H+ = {h ∈ H h > 0} D´emontrez que H+ poss`ede une borne inf´erieure a qui est positive ou nulle 2 Sous-groupes denses de R
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Ag 1,2,3,4 : exercices avec corrigés
Ag 1,2,3,4 : exercices avec corrigés I Ancienne liste oral ccp Algèbre1 Soient 2R et n2N Décomposez en produit de polynômes irréductibles dansC[X],puisdansR[X] lepolynôme: P= X2n 2Xncos(n ) + 1 Algèbre2 OnconsidèrelespolynômesP= 3X4 9X3 + 7X2 3X+ 2 et Q= X4 3X3 + 3X2 3X+ 2 1 Décomposez P et Qen facteurs premiers sur R[X], puis sur
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Chapitre 2 suite : classer les êtres vivants
La classification du vivant se présente sous forme de groupes emboîtés Chaque groupe correspond à un attribut possédé par les espèces de ce groupe On situe une espèce dans la classification du vivant grâce aux attributs qu’elle possède Activité 5 : classer les êtres vivants du sol à ta manière 1 A toi de jouer Constitue manière à les classer Activité 5 : classer
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Calculer l'ordre de H8 exhiber ses sous-groupes
Exercice 3 : ⋆. Soit G un groupe et soit H un sous-ensemble fini non vide de G stable pour la loi de composition du groupe G. a) Montrer que H est un sous-
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Calculer le sous-groupe dérivé de B le groupe des matrices triangulaires supérieures. Exercice 8 Construction de morphismes. Soit G un groupe. Pour n ∈ N on
III Les corrigés des exercices. 131. Corrigé des exercices du chapitre 1. 133 Exercice 3.12 (Groupe à sous-groupes triviaux). Soit G un groupe ayant au ...
(vi) Montrez que tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cy- clique. Preuve: (i) Soit G un groupe cyclique de cardinal n et g un
sous-groupe d'un groupe par un morphisme de groupes. ➟ Exercices 1.3 1.4 CORRIGÉS. Page 18. Chapitre 1 – Groupes. Corrigés des exercices. 1.1. On a : ab ...
Exercice (Le groupe H8). On pose. I := (. 1 0. 0 1. ) A := (. 0. 1. −1 0. ) B := (. 0 Les autres sous-groupes sont des sous- groupes cycliques engendrés par ...
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thèmes abordés dans les exercices Tous les exercices sont corrigés de fa- çon détaillée. ... sous-groupe d'un groupe par un morphisme de groupes.
Exercices ? : `a préparer `a la maison avant le TD seront corrigés en début de TD. composition du groupe G qui ne soit pas un sous-groupe de G.
Corrigé des exercices du chapitre 1. 133. Corrigé des exercices du chapitre 2 que tout groupe peut se voir comme sous-groupe d'un groupe symétrique).
Corrigé de la feuille d'exercices 1. Exercice 1. Etude des sous-groupes de Z/nZ: (i) Montrez que tout groupe cyclique d'ordre n est isomorphe `a Z/nZ;.
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Exercice 1. Soit (G .) un groupe. Soient N et H deux sous-groupes de G tels que N soit distingué. On.
Calculer le sous-groupe dérivé de B le groupe des matrices triangulaires supérieures. Exercice 8 Construction de morphismes. Soit G un groupe. Pour n ? N on
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Exercices corrigés - Groupes : sous-groupes normaux théorèmes de Sylow groupe opérant sur un ensemble Sous-groupes normaux groupe quotient Exercice 1
Exercice 1 1 On munit de la loi de composition interne définie par : ( )( ) Montrer que est commutative non associative et que est élément neutre
Groupes sous-groupes ordre Exercice 1 On dispose d'un échiquier et de dominos Les dominos sont posés sur l'échiquier soit horizontalement soit
Exercice 7 Soit G un groupe et K ? H ? G deux sous-groupes On suppose que H est distingué dans G et que K est caractéristique dans H (i e stable par
Exercice 9 p-Sylow dans un sous-groupe Soit G un groupe fini d'ordre G = pam avec p premier et p ?
Exercices ? : `a préparer `a la maison avant le TD seront corrigés en début de TD composition du groupe G qui ne soit pas un sous-groupe de G
(3) Montrer que ? ? (cos(?)sin(?) est un morphisme surjectif de groupes de R dans C Quel est son noyau ? Exercice 3 Soit (G ?) un groupe abélien (on note
Calculer le sous-groupe dérivé de B le groupe des matrices triangulaires supérieures Exercice 8 Construction de morphismes Soit G un groupe Pour n ? N on
Les corrigés des exercices 10 Thèmes abordés dans les exercices • Établir une structure de groupe de sous-groupe • Calculs dans un groupe
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Groupes anneaux