COMPLÉMENTS DE MÉCANIQUE STATISTIQUE par Gilles Fontaine
Mécanique Statistique des Syst`emes Hors d'´Equilibre
Droit du commerce international
Cours Droit du Commerce International : Docteur de SOUZA Joao
Le droit du commerce international
Commission des Nations Unies pour le droit commercial
PRINCIPES RELATIFS AUX CONTRATS DU COMMERCE
Droit du commerce International
L'objet du droit du commerce international
DROIT-CONSTITUTIONNELpdf

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Preprint typeset in JHEP style - PAPER VERSIONMecanique StatistiqueMarcos Mari~noDepartement de Physique Theorique et Section de Mathematiques,Universite de Geneve, Geneve, CH-1211 Switzerlandmarcos.marino@unige.chAbstract:Polycopie du cours de Mecanique Statistique de 3eme annee.Contents1.

Guide bibliographique 32. Marche au hasard et mouvement brownien 52. 1) Le mouvement brownien 52. 2) Marche au hasard a une dimension 62. 3) Limite macroscopique et equation de diusion 82. 4) Le probleme general de la marche au hasard 102. 5) La relation d'Einstein{Shuterland et le nombre d'Avogadro 143. Notions et outils de base de la Mecanique Statistique 183. 1) Probabilites et entropie statistique 183. 2) Description quantique d'un systeme macroscopique. Operateur densite 193. 3) Densite d'etats 223. 4) Description classique d'un systeme macroscopique 254. La distribution microcanonique 294. 1) La distribution microcanonique et le postulat fondamental de la Mecanique Statis-tique294. 2) Distribution de probabilite d'une variable interne 314. 3) Temperature et equilibre 364. 4) Distribution microcanonique en Mecanique Statistique Classique 394. 5) Paradoxe de Gibbs et approximation de Maxwell{Boltzmann 414. 6) Entropie et information: le demon de Maxwell 435. La distribution canonique 465. 1) Derivation 465. 2) L'operateur densite canonique 505. 3) Energie libre 515. 4) Equivalence canonique-microcanonique 535. 5) Distribution d'equilibre d'une variable interne 555. 6) Particules independantes 555. 7) La distribution canonique en Mecanique Statistique classique 565. 8) Exemples 575.8. 1) La particule libre et le gaz parfait 585.8. 2) Le gaz parfait en Mecanique Statistique classique 605.8. 3) L'oscillateur harmonique 615.8. 4) Le rotateur rigide 645.8. 5) Le theoreme d'equipartition de l'energie 685.8. 6) Application: les gaz parfaits diatomiques 695. 9) La distribution canonique pour les particules quantiques indiscernables 72{ 1 {6. La distribution grand-canonique. Gaz parfaits quantiques 806. 1) Derivation 806. 2) Grand potentiel 816. 3) Equivalence canonique-grand canonique 826. 4) Exemples 836.4. 1) Le gaz parfait 836.4. 2) Les gaz reels et le developpement du viriel 846. 5) La distribution grand-canonique pour des particules indiscernables 896.5. 1) Calcul avec l'operateur densite 906.5. 2) Distributions de Bose-Einstein et Fermi-Dirac 946.5. 3) Le gaz de Bose et la condensation de Bose{Einstein. 966.5. 4) Le rayonnement du corps noir 1006.5. 5) Le gaz de Fermi 1027. Transitions de phase 1077. 1) Introduction 1077. 2) Exposants critiques 1087. 3) Le modele d'Ising 1097.3. 1) Le modele 1097.3. 2) Solution de champ moyen 1117.3. 3) Solution exacte a une dimension 1147.3.

4) Le modele d'Ising end >1 1158.Evolution vers l'equilibre et irreversibilite I: processus stochastiques 1168.

1) Paradoxes de l'irreversibilite 1168. 2) Processus stochastiques et cha^nes de Markov 1168. 3) Recurrences 1218. 4) Le modele d'Ehrenfest 1228. 5) Le processus de Smoluchowski 1298. 6) L'equation ma^tresse 1338.6. 1) Formulation generale 1338.6. 2) Exemples 1348.6. 3) L'equation ma^tresse pour la distribution microcanonique 1368.6. 4) L'equation ma^tresse pour la distribution canonique 1378. 7) L'equation de Fokker{Planck 1388. 8) Retour au mouvement brownien: l'equation de Langevin 1398. 9) Le r^ole des probabilites: l'anneau de Kac 1428.9. 1) Le modele 1438.9. 2) Traitement statistique 1448.9.

3) Conclusions 1478.10 Consequences pour le second principe 1489.Evolution vers l'equilibre et irreversibilite II: theorie cinetique 1519.

1) La hierarchie BBGKY 1519. 2) L'equation de Boltzmann 1549.2. 1) Derivation 1559.2. 2) Interpretation physique 158{ 2 {9.2. 3) Distribution de Maxwell{Boltzmann 159A. Quelques integrales et transformees de Fourier 162A. 1) Integrales gaussiennes 162A. 2) Fonction Gamma 162A. 3) Transformees de Fourier 1621.

Guide bibliographiquePour la preparation de ce cours on a utilise fondamentalement les references bibliographiques quel'on liste a continuation.

On indique au debut de chaque section les sources les plus importantes,dont la lecture est bien s^ur vivement recommandee.

Les references plus specialisees, pour dessujets concrets, se trouvent dans la bibliographie a la n du cours.I.Livres recommandes1.

B. Diu, C. Guthmann, D. Lederer et B. Roulet,Elements de physique statistique, Hermann,Paris, 1997.2. J. Sethna,Statistical mechanics: entropy, order parameters, complexity. Oxford UniversityPress, 2006.II.Livres d'exercices recommandes1. H. Krivine et J. Treiner,La physique statistique en exercices, Vuibert, 2008.2. D.A.R. Dalvit, J. Frastai and I.D. Lawrie,Problems on statistical mechanics, Institute ofPhysics Publishing, 1999.3. R. Kubo,Statistical mechanics, Elsevier, 1965.II.Livres utiles.1. M.

Droz,Mecanique Statistique, polycopie,disponible sur http://theory.physics.unige.ch/ droz/home.html.2.

M. Kardar,Statistical physics of particles. Cambridge University Press, 2007.3. R.P. Feynman,Statistical mechanics, Perseus Books, 1998.4. K. Huang,Statistical mechanics. Wiley, 1983.5. F. Reif,Fundamentals of statistical and thermal physics, McGraw Hill, 1965.6. L. E. Reichl,A modern course in statistical physics. Wiley, 1998.7. R. K. Pathria,Statistical mechanics, Pergamon Press, 1972.{ 3 {8. W. Krauth,Statistical mechanics: Algorithms and computation. Oxford University Press,2006.9. J.J. Binney et al.,The theory of critical phenomena. Oxford University Press, 1992.10. L. Landau et E. Lifchitz,Physique Statistique, Ellipses, 1994.11. S. Chandrasekhar, \Stochastic problems in Physics and Astronomy," Rev. Mod. Phys.15(1943) 1, repris dans N. Wax (ed.),Selected papers on noise and stochastic processes,Dover, New York, 1954.{ 4 {2. Marche au hasard et mouvement brownienReferences: Sethna, chapitre 2. Diu, complements I.B-I.D et Appendix I.

Chandrasekhar,chapitres 1 et 2.La marche au hasard, qui modelise le mouvement brownien, va nous donner une illustrationde plusieurs concepts fondamentaux de la Mecanique Statistique.

L'ensemble de marches auhasard est notre premier exemple d'ensemble statistique: tandis que le mouvement de chaquemarche est irregulier est dicile a predire, l'ensemble detoutesles marches au hasard possiblessatisfait des lois assez simples.Pour les divers aspects scientiques et historiques du mouvement brownien, on recommandel'article (en francais!) de Betrand Duplantier [8].

Le chapitre 5 de la biographie classiqued'Einstein [22] explique en detail sa contribution au sujet et son contexte historique.

Lesexperiences de Jean Perrin ont ete decrites par lui-m^eme dans son livreLes atomes[25], un desclassiques de la vulgarisation scientique du XXeme siecle dont la lecture est vivement recom-mandee.2.

1) Le mouvement brownienFigure 1:Mouvement aleatoire d'une particule en suspension d^u aux chocs moleculaires.Si l'on observe des particules immergees dans un uide, de taille petite mais bien plus grandque les molecules du uide (de l'ordre dem, typiquement), on voit qu'elles bougent avec unmouvement tres irregulier.

Ce phenomene a ete decouvert par le botaniste Robert Brown en 1827,et on l'appelle doncmouvement brownien.

Il est provoque par les chocs aleatoires des moleculesdu uide contre la particule en suspension, comme l'on illustre dans la Fig. 1.

Le mouvementbrownien a ete fondamental pour etablir l'existence des atomes et des molecules (encore trescontestee au debut du XXeme siecle!).

En eet, il permet de les \voir" en action a travers deleurs eets dans des particules bien plus grandes.

Celles-ci peuvent ^etre observees directementdans un microscope.{ 5 {La theorie mathematique du mouvement brownien a ete etablie par Einstein, Shuterlandet Smoluchowski dans les premieres annees du XXeme siecle.

En particulier, Einstein, dans sathese doctorale de 1905, expliqua comment on pourrait deduire la valeur du nombre d'AvogadroNAa partir de l'observation des trajectoires des particules en suspension.

En 1908 et 1909,dans une serie remarquable d'experiences, Jean Perrin veria les predictions d'Einstein et obtintdes valeurs pourNAen accord avec d'autres determinations.

Cette convergence des dierentesmesures du nombre d'Avogadro f^ut essentiel pour l'acceptation de l'hypothese atomique.Dans ce chapitre on va etudier divers aspects de la theorie du mouvement brownien.

L'ideede base est que ce mouvement est un processus stochastique ou aleatoire que l'on peut d'ecrireavec un modele probabiliste tres simple: la marche au hasard.2.

2) Marche au hasard a une dimensionDans le mouvement brownien il est tout a fait irrealiste de decrire en detail les chocs de moleculescontre les particules en suspension.

On va donc utiliser un modeleprobabilistepour le mouvementdes particules qui nous permettra de faire des predictionsstatistiquespour un ensemble tresgrand de particules.

On va commencer par l'etude d'un modele \microscopique" tres simpledu mouvement brownien: lamarche au hasard.

On a va aussi considerer le cas simple d'unmouvement unidimensionnel.

La generalisation au cas realiste de trois dimensions est immediate,comme on verra plus tard.Dans notremodele microscopique, on a une particule qui se deplace de facon aleatoire surune ligne droite, en faisant un pas de longueur a chaque intervalle de temps.

La probabilited'un pas vers la droite estP+, et la probabilite d'un pas vers la gauche estP= 1P+.

Cesprobabilites sont les m^emes pout tous les pas, et la particule n'a pas de \memoire." Il s'agit enfait d'un exemple simple deprocessus markovien, que l'on etudiera plus en detail au Chapitre 8.Il est tres dicile de verifer notre modele microscopique de facon directe, car ce que l'on ob-serve est l'evolution des particules apres un grand nombre de pas.

On veut calculer la probabiliteP(0jn;N) pour que la particule soit an apresNpas, si au debut elle etait a l'origine.Pour calculer cette quantite, on remarque que chaque trajet an+pas dans la directionpositive, etndans la direction negative, avecN=n++n:(2.1)A la n de ce trajet on est au point d'abscisse(n+n) =n (2.2)On en deduit,n=Nn2;(2.3)et on voit qu'il y a plusieurs trajets qui nous conduisent au pointn: tous ceux qui verient laconditionn+n= 2n+N=n:(2.4)Ces trajets dierent entre eux par la place precise desn+pas positifs dans la sequence deNevenements, donc il y aN!n+!n!=N!N+n2!Nn2!(2.5){ 6 {trajets de ce type.

Tous ces trajets sont egalement possibles, avec probabilitePn++Pn;(2.6)doncP(0jn;N) =PN+n2+PNn2N!N+n2!Nn2!:(2.7)Il s'agit bel et bien de la distribution binomiale.

Cette distribution de probabilite obeit l'equationP(0jn;N+ 1) =P+P(0jn1;N) +PP(0jn+ 1;N);(2.8)qui a une interpretation tres simple: pour aller jusqu'a la positionnapresN+1 pas, la particulepeut aller jusqu'an1 enNpas, et ensuite sauter en avant, avec probabiliteP+, ou elle peutaller jusqu'an+ 1 enNpas et apres sauter en arriere avec probabiliteP.

C'est notre premierexemple d'uneequation ma^