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Chapitre 1 Fonctions harmoniques

Comment savoir si une fonction est harmonique ?
On dit que u 2 C(U) est harmonique sur U si en tout point de D, ses dérivées partielles ∂2u ∂x2 et ∂2u ∂y2 existent et vérifient ∆u := ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 = 0.
Pour qu'une fonction soit harmonique, il faut et il suffit que ses parties réelle et imaginaire le soient.
Comment savoir si une fonction est holomorphe ?
Pour cela, il faut et il suffit qu'elle vérifie les conditions de Cauchy-Riemann (1.7 ou 1.8).
Une fonction est holomorphe dans un domaine si elle est dériveble en chaque point de ce domaine.
On parle aussi de fonction analytique; une fonction analytique est une fonction développable en série enti`ere.
Définition 1.
7) Une fonction f : U ⊂ C → C est holomorphe si elle est C-dérivable en chaque point de U, et si sa dérivée f : U → C est continue.
Les fonctions holomorphes sont donc les fonctions continûment dérivables, au sens complexe, sur tout leur domaine de définition.

Comment savoir si une fonction est harmonique ?