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Fonctions harmoniques

Comment calculer les fonctions harmoniques ?
Commençons par effectuer quelques rappels sur les fonctions harmoniques définies sur des ouverts de 2, qui satisfont par définition u = 0 où = @2 @x2 + @2 @y2 est l’opérateur laplacien. Dans la théorie plus générale des fonctions sous-harmoniques satisfaisant u
Comment savoir si une fonction est harmonique ?
Une fonction f f définie sur un ouvert U U de R2 R 2 à valeurs dans C C est harmonique si elle est de classe C2 C 2 et vérifie : ∂2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 =0. ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0. Les fonctions harmoniques sont intimement liées aux fonctions holomorphes. Ainsi :
Quels sont les avantages des fonctions harmoniques ?
Les fonctions harmoniques ont de remarquables propriétés d’équilibre qui leur confèrent une grande flexibilité pour résoudre le problème dit de Dirichlet dans des domaines à bord suffisamment ‘régulier’ en un certain sens. Définition 3.1.
Pourquoi les fonctions harmoniques sont-elles stables par dilatation ?
Puisque l'opérateur laplacien est linéaire, l'ensemble des fonctions harmoniques sur un ouvert fixé est un espace vectoriel. Les fonctions harmoniques sont donc stables par addition et multiplication par un réel. . En somme les fonctions harmoniques sont stables par translation . . Ainsi les fonctions harmoniques sont stables par dilatation . .

Comment calculer les fonctions harmoniques ?