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Paires de structures de contact sur les vari´et´es de dimension trois

Vincent Colin et Sebasti˜ao Firmo

R´esum´e.On introduit une notion de paire positive de structures de contact sur les vari´et´es

de dimension trois qui g´en´eralise celle de [ET, Mi1, Mi2].Une telle paire??normale?? donne naissance `a un champ de plans continu et localement int´egrableλ. On montre que siλest uniquement int´egrable et si les structures de contact sont tendues, alors le feuilletage int´egral deλest sans composante de Reeb d"ˆame homologue `a z´ero. De plus, dans ce cas, la vari´et´e ambiante porte un feuilletage sans composante de Reeb. On

d´emontre ´egalement un th´eor`eme de stabilit´e??`a la Reeb??pour les paires positives de

structures tendues. Mots cl´es: structure de contact, paire, feuilletage, tendu, composante de Reeb

Codes AMS: 57R17, 57M50, 57R30.

1 Introduction

En dimension trois, Eliashberg-Thurston [ET] et Mitsumatsu [Mi1, Mi2] associent `a toute paire (ξ+,ξ-) de structures de contact transversales, o`uξ+est positive etξ- n´egative, une paire de champs de plans (λ+,λ-) transversaux, continus et localement (non uniquement) int´egrables : par tout point passe un germe de surface int´egrale de

±. L"intersectionξ+∩ξ-est alors dirig´ee par un champ de vecteurs??conform´ement??

Anosov. R´eciproquement, cette situation se rencontre lorsqu"on ´etudie les directions sta- bles et instablesλ±d"un champ de vecteurs Anosov, les structuresξ±apparaissant comme ??plans m´edians??desλ±. Du point de vue de la g´eom´etrie de contact, le fait d"imposer `aξ+etξ-d"ˆetre des structures transversales est trop contraignant. Le but du pr´esent article est d"´etudier le

cas de paires (ξ+,ξ-) o`u l"on relˆache cette condition pour la remplacer par unepropri´et´e

de co¨ıncidence positive : les champs de plansξ+etξ-ne sont jamais??dos-`a-dos??. Autrement dit, ils sont transversaux `a un mˆeme champ de droitesD. Dans cette situation, on perd l"existence d"un des deux champs int´egrableλ±, mais on en pr´eserve un,λ, coinc´e entreξ+etξ-et lui aussi transversal `aD. Comme auparavant, le champλest

localement int´egrable et en g´en´eral seulement continu :il n"y a pas unicit´e locale des

surfaces int´egrales, ni donca prioride feuilletage int´egral global. Lorsque cette unicit´e

est av´er´ee, par exemple sous les conditions du th´eor`eme3.4, les propri´et´es de rigidit´e

des structuresξ+etξ-rejaillissent sur celle du feuilletage int´egral : si celles-l`a sont tendues, celui-ci est sans composante de Reeb d"ˆame homologue `a z´ero et la vari´et´e ambiante porte un feuilletage sans composante de Reeb (th´eor`eme 3.3). Notre leitmotiv est que cette notion de paire positive de structures de contact tendues pourrait ˆetre une bonne g´en´eralisation de celle de feuilletage sans composante de Reeb. En particulier, 1 d"apr`es Eliashberg et Thurston [ET], tout feuilletage tendu (et mˆeme tout feuilletage sans composante de Reeb [Co1]) est limite de paires positives de structures de contact tendues. Pour conclure, on d´emontre pour les paires positives de structures de contact tendues un analogue du th´eor`eme de stabilit´e de Reeb pour les feuilletages (th´eor`eme 4.1). Ce

r´esultat semble faire ´echo `a la th´eorie des courbes holomorphes. Son pendant a en effet ´et´e

d´emontr´e par Eliashberg et Hofer [EH],viaune m´ethode de remplissage par des disques holomorphes. Par certains aspects, les r´esultats de cet article peuvent ˆetre vus comme une version topologique des feuilletages d"´energie finie de Hofer, Wyzocki et Zehnder [HWZ].

La notion de paire positive est ´egalement bien adapt´ee `a celle de surface branch´ee, connue

dans le monde int´egrable pour rendre compte des propri´et´es des laminations. Zannad tire

b´en´efice de ce parall`ele dans [Za1, Za2] en trouvant une condition suffisante, inspir´ee de

la g´eom´etrie de contact, pour qu"une surface branch´ee porte une lamination.

Remerciements.Ce travail a´et´e rendu possible par l"accord France-Br´esil, grˆace auquel

nous avons pu s´ejourner `a l"Universit´e Federal Fluminense et `a l"Universit´e de Nantes. Il

a ´egalement b´en´efici´e du support de l"Institut Universitaire de France et de l"ANR Sym-

plexe. Nous souhaitons saluer ces institutions pour leur soutien. Le rapporteur anonyme d"une premi`ere version de ce texte y a relev´e de nombreuseserreurs. Cette nouvelle mouture doit beaucoup `a la qualit´e de son travail. Nous luiadressons nos plus vifs re- merciements.

2 Paires de structures de contact

2.1 Structures de contact

Unestructure de contact(orientable) sur une vari´et´e orient´eeVde dimension trois est un champ de plans orientable lisseξ, noyau d"une 1-formeαdont le produit ext´erieur

avecdαne s"annule pas. Le signe deξest celui deα?dα, rapport´e `a l"orientation deV.`A l"oppos´e des feuilletages, les structures de contact supportent bien les d´eformations :

la condition de contact est ouverte pour la topologieC1et, d"apr`es un th´eor`eme de Gray [Gr], tout chemin de structures de contact est le fait d"une isotopie deVissue de l"identit´e. Une structure de contactξesttenduesi aucun disque plong´e dansVne s"appuie sur une courbe int´egrale deξtransversalement `aξ. Dans le cas contraire, on dit queξest vrill´ee. Une structure de contact estuniversellement tenduelorsque son rappel dans le revˆetement universel deVest tendu. Soitγune courbe plong´ee dansVqui borde une surface compacte, plong´ee et ori- entableS. Siγest transversale `aξ, l"autoenlacementl(γ) deγest l"enlacement entre γet toute courbe obtenue en poussant l´eg`erementγpar une section non singuli`ere de

ξ|S. De mˆeme, siγestlegendrienne, c"est-`a-dire tangente `aξ, son invariant de Thurston-

Bennequin est l"entiertb(γ) obtenu en comptant l"enlacement entreγet sa d´eformation dans la direction d"un vecteur normal `aξ. Ces enlacements sont calcul´es avec l"orientation deVqui rendξpositive. Lorsqueξest tendue, siχ(S) d´esigne la caract´eristique deS,

l"autoenlacementl(γ) et l"invariant de Thurston-Bennequintb(γ) v´erifient les in´egalit´es

de Bennequin [Be] : SiSest une surface close orient´ee, munie d"une forme d"aireω, et plong´ee dans

une vari´et´e de contact (V,ξ), dont l"orientation est donn´ee parξ, on appellefeuilletage

2

caract´eristiquedeS, not´eξS, le feuilletage int´egral du champ de vecteursYdonn´e par

i

Yω=α|TS

qui dirigeξ∩TS. Ses singularit´es sont les pointsx?So`uξ(x) =TxS. Remarque 1.On insiste sur le fait que pour d´eterminer l"orientation dufeuilletage car- act´eristique d"une surfaceS, on utilise une orientation de l"espace ambiant diff´erente

suivant que la structure de contactξconsid´er´ee est positive ou n´egative. La divergence

d"une singularit´e du feuilletage caract´eristique sera donc toujours positive l`a o`u les ori-

entations de la structureξet deTSco¨ıncident, ce ind´ependemment du signe deξ.

2.2 Paires

SoitVune vari´et´e de dimension trois orient´ee. On appellepairede structures de contact la donn´ee d"une structureξ+positive et d"une structureξ-n´egative. Dans la suite, on ne consid`ere que des structuresξ+etξ-coorient´ees (et donc ori- ent´ees). On appellepoint de contactentreξ+etξ-un pointx?Vo`uξ+(x) =ξ-(x). Les

points de contact sont de deux sortes : positifs si les coorientations deξ+etξ-co¨ıncident

enx, et n´egatifs si elles sont oppos´ees. Pour une paire (ξ+,ξ-), on note Δ+le lieu des

contacts positifs, Δ -le lieu des contacts n´egatifs et Δ = Δ+?Δ-. Soientα+etα-des ´equations deξ+etξ-, toujours suppos´ees positives sur un vecteur normal direct a, respectivement,ξ+etξ-. Il existe un unique champ de vecteursXinclus dansξ-et qui v´erifie l"´equation i

Xdα-|ξ-=α+|ξ-.

Il est lisse, nul le long de Δ et dirigeξ+∩ξ-surV\Δ. Sa divergence dans la direc- tion deξ-pour la formedα-est bien d´efinie et non nulle aux points o`uξ+=ξ-: L Xdα-|ξ-=d(iXdα-)|ξ-=dα+|ξ+. En un point de Δ+(resp. Δ-), la divergence deX dans la direction deξ±est positive (resp. n´egative). d´efinie sur une vari´et´e close (compacte sans bord)V, sera ditenormalesi l"ensemble Δ est un entrelacs lisse plong´e dansV, transversal `aξ±sauf en un nombre fini de points - Siaid´esigne un arc ouvert transversal `aξ±et d´elimit´e parxietxi+1dans Δ, alorsaiposs`ede un voisinage tubulaireD2×ai,{(0,0)} ×ai=ai, sur lequel +∩ξ-?TD2× {pt}et le feuilletage caract´eristiqueξ+D2× {pt}est ´egal au

feuilletageξ-D2×{pt}(´egalit´e dans Δ+, ´egalit´e `a orientation pr`es dans Δ-) et est

un feuilletage deD2× {pt}par des selles ou par des foyers radiaux. - La sous-vari´et´e Δ a un contact quadratique avecξ±en lesxi, etxiposs`ede un voisinageD2×[-1,1],xi= (0,0,0), o`uξ+∩ξ-=ξ+∩TD2×{t}=ξ-∩TD2×{t}, et o`u le feuilletage caract´eristique deξ+D2×{t}=ξ-D2×{t}, pourt?[-1,1], est le film d"une ´elimination entre un foyer et une selle. En particulier, le feuilletage de D

2×{0}poss`ede une singularit´e de type naissance-mort en (0,0,0) =xi. Dans ces

coordonn´ees, le champ de vecteursXest tangent au champ de droites{dt=dy= 0} sur{y= 0} ×[-1,1] (l"´elimination se fait le long de ces caract´eristiques). On montre que toute paire se laisse d´eformer en une paire normale. Proposition 2.1.Sur une vari´et´e closeV, pour toute paire(ξ+,ξ-)il existe une paire normale(ξ?+,ξ?-)o`uξ?±est isotope `aξ±. 3 D´emonstration.On fixe une trivialisation deTV, ainsi qu"une m´etrique surV. La donn´ee deξ+etξ-est la donn´ee de deux applicationsf±:V→S2?R3. La condition de contact est ouverte pour la topologieC1, et mˆeme, d"apr`es le th´eor`eme de Gray, deux applicationsfetgqui sontC1-proches donnent des structures de contact isotopes. On peut donc, quitte `a perturberξ+par isotopie, se placer dans la situation g´en´erique (*) o`u l"applicationF:V→S2×S2,F(x) = (f+(x),f-(x)), est transversale `a la diagonale et `a l"antidiagonale deS2×S2. Sous cette hypoth`ese, Δ+et Δ-sont des sous-vari´et´es de dimension 1 deV, et le long de Δ la diff´erentielle deXest de rang 2. On suppose

´egalement v´erifi´ee la propri´et´e g´en´erique : les points o`u Δ+et Δ-sont tangents `aξ±sont

types suivant le signe du d´eterminant de la diff´erentielledeXdans la direction normale : branches de foyerssi ce d´eterminant est positif etbranches de selless"il est n´egatif.

On suppose que Δ

+a des contacts quadratiques avecξ±; dans le cas contraire, l"´etude se simplifie. Un voisinageN(Δ+) de Δ+est ditnormals"il est constitu´e des ´el´ements suivants : - un voisinageN(xi) de chaque point de contact quadratiquexi,i= 1,...,n, de la champ de vecteursXest transversal aux facesverticales{|x|=z0}et{|y|=⎷ z0+z0}. Il esthorizontal(i.e. inclus dans kerdz) et sort deN(xi) le long de ces faces ver- ticales, sauf le long de la face{y=⎷ z0+z0}o`u il rentre dansN(xi). Pour tout c?[-z0,z0], l"arc{|x|=z0,z=c} ? {y=-⎷ z0-z0,z=c}(orient´e comme bord du disque horizontal, lui-mˆeme coorient´e par∂z,{z=c}) est positivement transversal `aξ+et, sauf aux deux points{x=±z0,y= 0,z=-z0}, son int´erieur est n´egativement transversal `aξ-. L"arc{y=⎷ z0+z0,z=c}est n´egativement transversal `aξ+et tangent `aξ-. En particulier, du fait queXy est horizontal,ξ- a pour ´equationdz= 0 le long de cet arc. La structureξ-est ´egalement d"´equation dz= 0 le long de l"arc{y= 0,z=-z0}, tandis queξ+lui est transversal. Pour finir, le champXdirige le feuilletage caract´eristique de la face sup´erieure{z=z0} pourξ+etξ-(seulement en dehors de l"arc{y=⎷ z0+z0}pour cette derni`ere, qui est, d"apr`es ce qui pr´ec`ede, une ligne de singularit´es deξ-{z=z0}). o`u les voisinagesNj?[-1,1]×[-1,1]×[0,m] sont deux `a deux disjoints. Chaque N jest muni de coordonn´ees (x,y,z) avec Δ+∩Nj= (0,0)×[0,m]. Il intersecte

N(xi),i= 1,...,n, le long du disque{-z0-⎷

z0+z0} ?N(xi), ou de l"ensemble vide. S"il s"agit du voisinage d"une branche de foyers, il est feuillet´e par des disques horizontaux{z=c}dont les bords sont positivement transversaux `aξ+et n´egativement transversaux `aξ-(le champ de vecteursXest horizontal et sortant le long du bord), sauf en{z= 0}et {z=m}o`u une arˆete est tangente `aξ-. S"il s"agit du voisinage d"une branche de selles, le champXest horizontal et rentrant le long des faces verticales{|y|= 1}, et horizontal et sortant le long des faces verticales{|x|= 1}. La structureξ+ est n´egativement transversale aux arcs{|y|= 1,z=c}, tandis queξ-leur est tangente, et positivement transversale aux arcs{|x|= 1,z=c}, tandis queξ-est n´egativement transversale `a leur int´erieur. En renversant le sens deX, on d´efinit de fa¸con similaire une notion de voisinage normal pour Δ Lemme 2.2.Si(ξ+,ξ-)est une paire de structures de contact g´en´erique pour laquelle

Δest une sous-vari´et´e de dimension1qui a des contacts quadratiques avecξ±, alorsΔ

4

poss`ede un voisinage normal.D´emonstration.On explique comment trouver un voisinage normal de Δ+. L"´etude pour

-est similaire. Soitpun point de contact quadratique entre Δ+etξ±. On prend un voisinage U

0?R3dep= (0,0,0), muni de ses coordonn´ees cart´esiennes (x,y,z), pour lequel

±(p) ={dz= 0}. Par commodit´e, on se r´ef´erera `a la coordonn´eezcomme `a la di- rectionverticale, et aux coordonn´eesxetycomme aux directionshorizontales. SoitX

le champ de vecteurs lisse, qui dirigeξ+∩ξ-en dehors de Δ et nul sur Δ, d´efini par

l"´equationiXdα-|ξ-=α+|ξ-. On ´ecrit le d´eveloppement deX`a l"ordre 1 au voisinage

de (0,0,0) :X=X1+o(?(x,y,z)?). CommeXest dansξ+, il v´erifie une ´equation dz=fdx+gdy, avecf(0,0,z) =g(0,0,z) = 0. En particulier,X1est horizontal : X

1= (a0x+b0y+c0z)∂x+(a1x+b1y+c1z)∂y. Comme le rang deDX1enpest 2, on ob-

tient, apr`es un changement de variables dansTpVqui donne une forme r´eduite de Jordan `aDpX, queX1est du typeX1=ax∂x+bz∂y. Une fois choisi (∂x,∂y,∂z) dansTpV, on ´etend ce rep`ere par de nouvelles coordonn´ees (x,y,z) de sorte que Δ+={z=-y2,x= 0} etξ-=dz-xdypr`es dep. Le d´eveloppement deX`a un ordre sup´erieur est, dans ces coordonn´ees : X= (x(R1(x,y,z) + (z+y2)R2(x,y,z))∂x+ ((z+y2)R3(x,y,z) +xR4(x,y,z))∂y+ (bx(z+y2) +x2R4(x,y,z))∂z+o(?(x,y,z)?2) o`u : -R1,R2,R3etR4sont d"ordre 1; -R1etR3ont un terme constant non nul (resp.aetb), `a l"inverse deR2etR4; - les termes d"ordre 3 provenant dey2R2ety2R3sont ceux apparaissant dans le d´eveloppement deX`a l"ordre 3. Pour fixer les id´ees, on se place dans le cas o`ub >0, ce qui signifie que Δ+se situe o`uz0>0 est choisi assez petit. Dans l"´ecriture de la coordonn´ee deXsur∂x, les termes enz2,yzety3sont toujours au maximum de l"ordre de (z0)1/2+1, c"est-`a-dire n´egligeables devantz0. De mˆeme, lorsque |y|=⎷ z0+z0,z+y2est toujours sup´erieur `a unO(z0); c"est donc le terme dominant dans le coefficient de∂y. On v´erifie ainsi que pourz0assez petit,Xest transversal aux faces verticales|x|=z0et|y|=⎷ z0+z0. Il sort deUle long de|x|=z0cara >0 (c"est la divergence deXdansξ-(p)), sort deUle long dey=-(⎷ z0+z0) et rentre dansU le long dey=⎷ z0+z0. Lorsque le voisinageUest assez petit (z0est assez petit),R3(x,y,z) vaut environb. De plus, comme la composante sur∂zest environbx(z+y2), toute orbite partant dans Ude l"altitudez0rencontre une des faces verticales (ou plutˆot leur prolongement dans la direction desz) `a une altitude sup´erieure `az0-O(z0⎷quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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