PROPRIÉTÉS DES SECTIONS
Moment statique d'une surface;. • Moment d'inertie;. • Module de section;. • Rayon de giration. 8.1.2 Surface neutre et axe neutre. Lorsqu'une poutre est
RDM – Flexion Manuel dutilisation
6.8 Exemple 8 – dimensionnement d'une poutre soumise `a son poids propre . . . . . . . . 21 le moment quadratique par rapport `a l'axe z : Iz (en cm4).
Cours de Mécanique Statique et RDM
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Le Moment quadratique est une mesure en mètre puissance 4 (Quatre : quadra) Il exprime le rapport à un point ou à un axe notamment afin de définir la
Génie Civil
Calcul des structures
Anders Thorin - Gilles Foret
Édité le 14 novembre 2014Ce cours correspond au module MEC441 de l"École Polytechnique. Il a pour objectif de fournir
les outils de base pour appréhender le calcul de structures sous des hypothèses simplificatrices
qui peuvent être fortes. Il n"a pas vocation à couvrir le calcul de structures au sens le plus large.
Illustration de la page de garde : Mathias Legrand Photographies des en-têtes des chapitres : Anders Thorin Polycopié disponible en version pdf sur research.andersthorin.com. Si vous trouvez une erreur, merci de nous la signaler par mail à anders.thorin@polytechnique.edu.Table des matières
1Définitions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Notion de poutre
71.2 Géométrie des poutres : cas usuels
81.3 Repère central principal d"inertie
82Hypothèses fondamentales de la théorie des poutres.. . . . . . . . 11
2.1 Hypothèses géométriques
112.2 Hypothèses sur le matériau
122.3 Hypothèse cinématique
122.4 Hypothèses sur les actions extérieures
133Système isostatique, système hyperstatique, mécanisme.. . . . 15
4Efforts dans les poutres.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1 Efforts extérieurs
174.1.1 Les charges
174.1.2 Les actions de liaison
184.2 Équilibre global d"une poutre
184.3 Efforts intérieurs
194.3.1 Cas général
194.3.2 Cas de la poutre droite
214.4 Équations d"équilibre
224.5 Diagramme des efforts intérieurs23
4.5.1 Signe des efforts intérieurs - convention de l'ingénieur
234.5.2 Sollicitations simples ou composées
245Relations entre efforts intérieurs et grandeurs locales.. . . . . . . . 27
5.1 Expression de la déformation en fonction des efforts intérieurs
275.2 Expressions des contraintes en fonction des efforts intérieurs
295.3 Flèche
326Récapitulatif et exemples d"application.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.1 Récapitulatif concret
336.2 Flexion simple
366.3 Chargement mixte
397Annexes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.1 Repère principal d"inerties
457.2 Symétrie du tenseur des contraintes
477.3 Loi de Hooke tridimensionnelle
497.4 Bornes du coefficient de Poisson
517.5 Calcul d"une poutre composite
53Bibliographie.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
IntroductionLe génie civil est une discipline très vaste. Elle regroupe les constructions civiles, du tunnel
ferroviaire à la centrale nucléaire, en passant par le pont, le barrage et le bâtiment. Les principes
structurels de ces constructions sont très variés, comme l"arc, la voûte, le fonctionnement en
poteau-poutre, la toile tendue, le pont suspendu, le pont haubané, le treillis, etc. Ces différents
types de structures s"expriment dans différents matériaux comme l"acier, le béton, le bois, mais
aussi le verre, les matériaux composites et d"autres. Les métiers du génie civil sont également
très nombreux, selon le domaine (géotechnique, thermique, structure, etc.) ou l"étape du projet
de construction (bureau d"étude, méthodes, suivi de chantier, planning, etc.).Dans ce polycopié, nous ne nous intéresserons qu"aux structures, c"est-à-dire aux éléments
qui permettent le transfert des charges jusqu"au support, le sol. En pratique, leur calcul se faitgénéralement à l"aide de simulations numériques et les résultats doivent vérifier les codes de
constructions réglementaires. Il est néanmoins souvent possible d"appréhender le comportement
d"une structure à la main. Cela permet d"en comprendre le fonctionnement rapidement et d"éviter
l"usage de méthodes numériques qui sont lourdes et dont les incertitudes, souvent oubliées, peuvent être grandes. Nous présenterons ici les méthodes classiques de calcul de structuresisostatiques (cf. Chapitre 3) composées d"éléments dont une longueur est grande devant les deux
autres (poutres), sous certaines hypothèses (cf. Chapitre 2) qui sont suffisamment peu restrictives
pour être bien souvent valides. La figure 6.2 page 35 synthétise la structure du polycopié.Le formalisme présenté ici a pour but de faire le lien avec la mécanique des milieux continus
et de satisfaire le lecteur curieux. Néanmoins, la finalité de ce document est de fournir des outils
concrets et applicables, aussi le lecteur plus pressé pourra ne s"arrêter que sur les encadrés.
Notion de poutre
Géométrie des poutres : cas usuels
Repère central principal d"inertie1Définitions 1.1Notion de poutr e
Définition 1.1.1 - Poutre.On appelle poutre un solide engendré par une surface plane(S) qui peut être variable et dont le centre de gravitéGdécrit un segment[AB], le plan de(S) restant perpendiculaire à cette courbe. Il faut également que la longueurABsoit grande devant les dimensions des sections transverses.FIGURE1.1 - Notion de poutre Une poutre est donc un volume dont une dimension est grande devant les deux autres. De manière analogue, une coque est un volume dont deux dimensions sont grandes devant la troisième.Définition 1.1.2 - Section droite, fibre moyenne.(S) est appelée section droite,(AB)est la fibre moyenne de la poutre (ou ligne moyenne ou encore lieu des centres d"inertie des sections droites de la poutre).Définition 1.1.3 - Fibre neutre. La ligne d"allongement nul en flexion pure est appelée fibre neutre (ou ligne neutre).Sous l"hypothèse des petites déformations (voir Chapitre 2), la fibre neutre et la fibre moyenne
sont confondues.8Chapitre 1. Définitions1.2Géométr iedes poutr es: cas usuels
Si la fibre moyenne(AB)de la poutre est :
contenue dans un plan, on parle de poutre plane(oupoutre à plan moyen); une droite, on parle de poutre droite; courbe, on parle de poutre gauche.La section droite(S)peut être :
constante le long de (AB), on parle alors depoutre à section constante; -variable, on parle alors depoutre à section variable; en pratique, l"intérêt d"une telle poutre est de s"adapter aux efforts qu"elle supporte et donc d"optimiser l"emplacement de la matière. Dans la mesure où la complexité apportée par la tridimensionnalité est formelle plus quesubstantielle, les poutres étudiées en exemples ici sont planes. En outre, elles sont à sections
constantes et généralement droites.1.3Repèr ecentral pr incipald"iner tieDéfinition 1.3.1 - Centre d"inertie.
Le centre d"inertieGd"un solideSde masse volu-
miquer(M)enM2Sest le barycentre des masses, c"est-à-dire que siOest le centre du repère : OG= 1m Z S r(M)OMdV; avecm=RSr(M)dVla masse du solideS.
Le centre de gravité étant le barycentre des poids, le confondre avec le centre d"inertie revient à
négliger les variations de la pesanteur. L"erreur commise est très faible en pratique, même pour
les plus grandes structures du génie civil.Définition 1.3.2 - Opérateur d"inertie. On appelle opérateur d"inertie au pointPdu solide Sl"application qui à toutu2R3associe le vecteurI(S;P;u) =
Z S (PM^(u^PM))dm:L"opérateur d"inertie définit la répartition de la masse d"un solide autour d"un de ses points
P. Il s"agit d"un opérateur linéaire enuet peut donc être représenté par une matrice dans une
base donnée. Par exemple dans une base(e1;e2;e3 )deR3,Ole centre du repère considéré et u= 2 4u 1 u 2 u 335 un vecteur,
I(S;O;u) =
2 4RS(y2+z2)dmR
SxydmR
SxzdmR
SyxdmR
S(z2+x2)dmR
SyzdmR
SzxdmR
SzydmR
S(x2+y2)dm3
5 2 4u 1 u 2 u 335 SoitGle centre d"inertie d"une section droite(P)etI(S;G;)l"opérateur d"inertie de(P) enG.I(S;G;)est symétrique défini positif. Ses vecteurs propres (perpendiculaires et normés)
dans le plan de la sectionPsont notésIyetIz.Définition 1.3.3 - Repère central principal d"inertie.
Entout pointGdela fibremoyenne,
le repère central principal d"inertie est le repère notéR= (Gxyz), centré enGet formé par
les vecteurs propres principaux de l"opérateur d"inertie du solide enG.1.3 Repère central principal d'inertie 9
Définition 1.3.4 - Matrice d"inertie.Dans le repère central principal d"inertie, la matrice d"inertie associée àI(S;G)s"écrit 2 4I x0 0 0Iy00 0Iz3
5 avec I x=Iy+IzIy=Z S z2dS Iz=Z S y2dS x ,yetzétant les coordonnées d"un point de(S)dansRetIx,Iy,Izles moments d"inertie (ou moments quadratiques) de la section(S)par rapport aux axes(Gx),(Gy),(Gz)respecti- vement. Dans toute la suite, il ne sera plus question que du repère central principal d"inertieR.Restlerepère dans lequel s"écrivent les équations de la théorie des poutres et c"est grâce à ce repère
qu"elles s"écrivent si simplement.Hypothèses géométriques
Hypothèses sur le matériau
Hypothèse cinématique
Hypothèses sur les actions extérieures2Hypothèses f ondamentalesde la théor iedes poutresLa mécanique des structures, très utilisée en génie civil, découle de la mécanique des milieux
continus. Elle en est une simplification, la contrepartie à la simplicité étant la perte de généralité :
la mécanique des structures fournit un modèle satisfaisant sous la condition qu"un certain nombre
d"hypothèses soient vérifiées.2.1Hypothèses sur la géométr iedes poutr esHypothèses 2.1.1
- Géométr ie.La géométrie de la poutre est supposée telle que : le rayon de courbure de la fibre moyenne est grand par rapport aux dimensions des sections droites; les év entuellesv ariationsde l"aire de la section droite sont f aibleset progressi ves. Rappelons que par définition d"une poutre, la longueur de la fibre moyenne est grande devant les dimensions des sections droites (longueur supérieure à une dizaine de fois la plus grande dimension transversale), c"est-à-dire que l"on considère unsolide élancé. En particulier, les solides représentés à la figure 2.1 ne sont pas des poutres.12Chapitre 2. Hypothèses fondamentales de la théorie des poutres(a) Rayon de courbure
faible devant les dimen- sions de la section(b) Variations fortes de section(c) Élancement faibleFIGURE2.1 - Exemples de solides non modélisables par une poutre2.2Hypothèses sur le ma tériau
Hypothèses 2.2.1
- Ma tériau.Le matériau constitutif de la poutre est supposé être : -homogène : tous les éléments du matériau, aussi petits soient-ils, ont une structure iden- tique à l"échelle considérée1; -isotrope : en tout point, les propriétés mécaniques sont les mêmes dans toutes les direc- tions; -continu :les propriétés mécaniques varient de manière continue d"un point à l"autre; -utilisé dans le domaine élastique linéaire : les relations entre contraintes et déformations sont réversibles et linéaires (la loi de comportement est de typeloi de Hooke)Ces hypothèses, qui peuvent sembler très restrictives, sont en pratique souvent vérifiées pour
les structures courantes en génie civil et dans le cadre de leur utilisation usuelle.2.3Hypothèse cinéma tique
Il convient d"adopter une cinématique adaptée au problème considéré. Celle-ci permet le
lien entre les déformations tridimensionnelles et des grandeurs de déformation globales. Lemodèle cinématique le plus courant est le modèle de Navier-Bernoulli, qui permet de décrire
les déformations d"une poutre par la déformation de sa fibre moyenne uniquement. On peutd"ailleurs prouver que sous cette hypothèse, la déformation de la fibre moyenne est complètement
caractérisée par la déformation axialeetla variation de courbure [Bisch].Hypothèse 2.3.1
- Cinéma tique: Navier -Bernoulli.Les sections planes normales à la fibre
moyenne avant transformation restent planes et normales à la fibre moyenne au cours de la transformation.Cette hypothèse est correctement vérifiée par l"expérience dans le cadre des petites pertur-
bations définies ci-après. En revanche, elle n"est plus valable lorsque les déformations liées
à l"effort tranchant sont trop importantes. Il faut alors utiliser un autre modèle de poutre, par
exemple le modèle de Timoshenko.Pour aller plus loin 2.1 Le modèle de Timoshenko est plus général que celui de Navier- Bernoulli. Pour prendre en compte les déformations liées à l"effort tranchant, Timoshenko aintroduit un nouveau paramètre dans la transformation : à abscisse curviligne fixée, il s"agit
de l"angle entre la normale à la section - toujours supposée plane - et la fibre moyenne.1. Par exemple un cube de béton d"un mètre de côté sera considéré homogène, contrairement à un cube d"un
centimètre de côté du même matériau.2.4 Hypothèses sur les actions extérieures 13On montre que l"effort tranchant et le moment fléchissant dépendent alors de cet angle. En
pratique, on utilise un tel modèle pour les poutres peu élancées (rapport longueur/épaisseur
inférieur à environ 4f).(a) Illustration de l"hypothèse des petits déplacements (i) poutre non déformée (ii) déformation en petites perturbations (iii) limite de validité de l"hypothèse(b) Ilustration de l"hypothèse de Navier-Bernoulliquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22[PDF] ranger dans l'ordre synonyme
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