[PDF] Champ électrostatique 19 nov. 2021 Correction TD

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BLAISE PASCAL

PT 2021-2022TD 11 - ÉlectromagnétismeCorrection

Champ électrostatiqueExercice 1 : Champ gravitationnel créé par le Soleil1|1|?Théorème de Gauss gravitationnel.1On se place en coordonnées sphériques de centreOle centre du Soleil, et on cherche à calculer le champ

gavitationnel en un pointMquelconque de l"espace.

•Symétries :tout plan contenant les pointsOetMest plan de symétrie de la distribution de masse, donc#"G(M)

est inclus dans chacun de ces plans, donc dans leur intersection. On en déduit que#"G(M)est purement radial.

•Invariances :la distribution de masse est invariante par toute rotation autour du centreOdu Soleil, donc#"G(M)

ne dépend pas des variables angulairesθet?.

•Conclusion :#"G(M) =Gr(r)#"er.2Les forces de gravitation et de Coulomb s"écrivent respectivement

Fg=-Gm1m2r

2#"er←→#"FC=14πε0q

1q2r 2#"er

On en déduit que la masse et la charge jouent des rôles analogues, tout comme les constantes-Get1/4πε0. Le

théorème de Gauss s"écrit donc

SG#"E·# "dS=Qintε

0←→'

SG#"G·# "dS=-4πGMint,avecQint(resp.Mint) la charge (resp. la masse) intérieure à la surface de Gauss.

3Considérons une surface de Gauss sphérique de rayonr.

•Flux sortant :'

SG#"G·# "dS= 4πr2Gr(r).

•Masse intérieure :

M int=43

πμ0r3,

?sir≥R, la totalité du Soleil se trouve à l"intérieur de la surface de Gauss, donc la masse totale est égale à la

masse du Soleil, M int=MS=43

πμ0R3.

•Conclusion :

4πr2Gr(r) =-4πG ×43

πμ0Gr#"er,?pourr≥R,

4πr2Gr(r) =-4πGMSd"où#"G(r≥R) =-GMSr

2#"er.1/13Étienne Thibierge, 19 novembre 2021,www.etienne-thibierge.fr

Correction TD 11 : Champ électrostatique Blaise Pascal, PT 2021-2022

4La force exercée par le Soleil sur un objet de massemsitué à la surface de la Terre vaut

FS=m#"G(r=D) =-GMSmD

2#"er

Numériquement, pour une personne de 70kg, on trouveFS= 4·10-7N. La force gravitationnelle exercée par la

Terre sur un objet situé à sa surface n"est autre que le poids dudit objet, soit ici environ 700N.Exercice 2 : Deux cylindres concentriques1|2|?Charge volumique non-uniforme;

?Charge surfacique; ?Relation de passage;

?Coordonnées cylindriques.1SoitMun point quelconque de l"espace. L"étude est évidemment menée en coordonnées cylindriques, voir figure 1.Oz

Σ×M#"

er#" eθ#" ezFigure 1-Distribution de charge à deux cylindres concentriques.

•Invariances :

?La distribution de charges est invariante par toute translation le long de l"axeOz, donc#"E(M)est indépendant de

la coordonnéez;

?La distribution de charges est invariante par toute rotation autour de l"axeOz, donc#"E(M)est indépendant de la

coordonnée angulaireθautour de cet axe.

•Symétries :

?le plan de la figure 1 engendré par les vecteurs#"eret#"eθest un plan de symétrie de la distribution de charge

contenantM, donc#"E(M)est inclus dans ce plan, ce qui imposeEz= 0;

?le plan perpendiculaire à la figure 1 engendré par les vecteurs#"eret#"ezest également plan de symétrie de la

distribution de charges, doncEθ= 0. ?Finalement, il reste#"E(M) =Er(r)#"er.

•Théorème de Gauss :

?La surface de GaussΣest un cylindre passant parM, donc de rayonr, et fermé par deux surfaces planes

orthogonales à#"ezdistantes deh. ?Le flux de#"Esortant de cette surface vaut

Σ#"E·# "dS=¨

haut E r#"er·dS#"ez+¨ latérale E r#"er·dS#"er+¨ bas E r#"er·(-dS#"ez) = 0 + 2πrhEr(r) + 0. ?La charge intérieure contenue dans cette surface dépend du rayon : →sir < R1: Q

ρ(r)rdrdθdz=-ˆ

r 0

αrrdr×2πh=-2παhr33

.2/13Étienne Thibierge, 19 novembre 2021,www.etienne-thibierge.fr Correction TD 11 : Champ électrostatique Blaise Pascal, PT 2021-2022 Dans ce cas, on a d"après le théorème de Gauss

E(r < R1) =-αr23ε0#"er→siR1< r < R2, un calcul identique au précédent donne directement

Q int=-2παhR313 et d"après le théorème de Gauss,

E(R1< r < R2) =-αR313ε0r#"er→sir > R2il faut également prendre en compte la charge surfacique portée par le cylindre creux, donc

Q int=-2παhR313 + 2πR2hσ , et alors d"après le théorème de Gauss

E(r > R2) =1ε

0r? -αR313 +σR2? #"er2•Enr=R1: E r(r=R-1) =-αR213ε0etEr(r=R+1) =-αR313ε0R1=-αR213ε0

Lechamp électrique est continuenr=R1.

•Enr=R2:

E r(r=R-2) =-αR313ε0R2etEr(r=R+2) =1ε 0R2? -αR313 +σR2? Ainsi, lechamp électrique est discontinuenr=R2. La discontinuité vaut E r(R+2)-Er(R-2) =σε 0,

ce qui est conforme à la relation de passage au travers d"une interface portant une charge surfacique.Rappelons que seules les charges surfaciques peuvent provoquer des discontinuités de champ électrique.

La composante de#"Etangentielle à la surface est toujours continue, mais la composante normale est

discontinue.3Voir figure 2. rE r? -r2? -1/r?1/rR 1R

2Figure 2-Champ créé par deux cylindres concentriques.On suppose pour ce tracé queσR2> αR31/3.3/13Étienne Thibierge, 19 novembre 2021,www.etienne-thibierge.fr

Correction TD 11 : Champ électrostatique Blaise Pascal, PT 2021-2022

Exercice 3 : Noyau atomique2|2

?Charge volumique non uniforme;

?Coordonnées sphériques.1La charge totale contenue dans le noyau est égale àZe, c"est-à-dire

noyau noyau

ρ(r)r2drsinθdθd?

On peut alors séparer l"intégrale triple,

Ze=ρ0׈

a 0? 1-r2a 2? r

2dr׈

0 sinθdθ׈ 2π 0 d?

=4π, , ,Attention !La coordonnéeθdes coordonnées sphériques n"est définie que entre 0 etπ!!

La valeur4πse retrouve très rapidement en raisonnant par analogie avec le volume d"une sphère de

rayonR,

V=ˆ

R 0 r2dr׈ 0 sinθdθ׈ 2π 0 d?=R33

×4π .Il vient alors

Ze= 4π ρ0?r33

-r55a2? a 0 = 4π ρ0?a33 -a35 = 4πρ0×215 a3 et finalement

0=158πZea

3.2On se place en un pointMquelconque où l"on calcule le champ électrique, voir figure 3.OM?#"

e?#" er#" eθθ Figure 3-Noyau modélisé par une distribution volumique de charge.

•Invariances :la distribution est invariante par toute rotation autour du pointO, donc le champ ne dépend pas

des coordonnées angulairesθet?.

•Symétries :

?Le plan de la figure 3 engendré par les vecteurs#"eret#"eθest un plan de symétrie de la distribution de charges

contenantM. On en déduit que#"E(M)est inclus dans ce plan, et donc que sa composanteE?est nulle.

?De même, le plan orthogonal à la figure engendré par les vecteurs#"eret#"e?est un plan de symétrie de la distribution

de charges. On en déduit que#"E(M)est inclus dans ce plan, et donc que sa composanteEθest nulle.

On en conclut#"E(M) =Er(r)#"er.

•Théorème de Gauss :on choisit comme surface de Gauss la sphère de centreOpassant parM, et donc de rayonr.

Le flux de#"Esortant de cette surface vaut

SG#"E·# "dS='

(Er(r)#"er)·(dS#"er) =Er(r)×πr2.4/13Étienne Thibierge, 19 novembre 2021,www.etienne-thibierge.fr

Correction TD 11 : Champ électrostatique Blaise Pascal, PT 2021-2022

La charge intérieure pourr < as"obtient par un calcul quasiment identique à la question précédente :

Q int(r < a) = 4πρ0?r33 -r55a2? 152

Ze?r33a3-r55a5?

Pourr > a, on obtient directement

Q int(r > a) =Ze.

D"après le théorème de Gauss, on conclut

?sir < R:

4πr2Er(r) =152

Zeε

0? r33a3-r55a5? d"où#"E(r < a) =15Ze8πε0a2? r3a-r35a3? #"er.?sir≥R:

4πr2Er(r) =qε

0d"où#"E(r > a) =Ze4πε0r2#"er.3Tracé à faire.

4On constate que le champ obtenu pourr > aest identique à celui créé par une charge ponctuelleZeplacée au

centre de la sphère. Cela n"est pas surprenant car les deux distributions de charge présentent les mêmes symétries et

invariances, et la charge contenue dans une sphère de rayonr > aest dans les deux cas égale à la charge totale du

noyau.Exercice 4 : Champ électrostatique créé par une couche épaisse1|2 ?Charge volumique uniforme; ?Modélisation surfacique; ?Relation de passage; ?Coordonnées cartésiennes.1SoitMun point quelconque de l"espace.

•Symétries de la distribution :

?le plan(M,#"ex,#"ez)est plan de symétrie de la distribution, donc#"E(M)est inclus dans ce plan, soitEy(M) = 0;

?le plan(M,#"ey,#"ez)est plan de symétrie de la distribution, donc#"E(M)est inclus dans ce plan, soitEx(M) = 0.

•Invariances de la distribution :la distribution est invariante par toute translation de vecteurs directeurs#"exet#"ey, donc#"E(M)ne dépend ni dexni dey.

•Conclusion :#"E(M) =Ez(z)#"ez.2Calculons le champ #"Een un pointMsitué à l"ordonnéezM>0par application du théorème de Gauss.

•Surface de Gauss :cylindre de sectionSet dont les deux faces planes sont situées enz=±zM.Le choix d"une surface de Gauss cylindrique sert à bien visualiser la surface choisie, mais n"est pas

une obligation. Il suffit que la surface retenue ait bien deux portions planes enz=±zMpour que le raisonnement ci-dessous s"applique.•Calcul du flux sortant :

SG#"E·# "dS=¨

haut E z(z=zM)#"ez·dS#"ez+¨ lat E z(z)#"ez·dS#"n+¨ bas E z(z=-zM)#"ez·dS#"ez

Or par construction de la surface de Gauss, en tout point de la paroi latérale du cylindre, le champ électrostatique

est orthogonal au vecteur normal#"n. Ainsi,

SG#"E·# "dS=Ez(z=zM)S-Ez(z=-zM)S .5/13Étienne Thibierge, 19 novembre 2021,www.etienne-thibierge.fr

Correction TD 11 : Champ électrostatique Blaise Pascal, PT 2021-2022

De plus, le plan(xOy)est lui aussi plan de symétrie de la distribution, donc plan de symétrie pour le champ lui-même.

Par conséquent,

E z(z=-zM) =-Ez(z=zM) et ainsi

SG#"E·# "dS= 2Ez(z=zM)S .

•Calcul de la charge intérieure :

?sizM≥a/2alors la surface de Gauss contient une portion de la couche chargée de surfaceSet de hauteura, donc

Q int(zM≥a/2) =ρ0Sa. hauteur2zM, donc Q •Conclusion :d"après le théorème de Gauss, ?sizM≥a/2, alors

2Ez(z=zM)S=ρ0Saε

0

2Ez(z=zM)S=2ρ0SzMε

0 ?le caszM<0s"en déduit par symétrie, simplement au signe près.

Finalement, le champ

#"Een un pointMd"ordonnéezquelconque s"écrit

E(M) =?

?sgn(z)ρ0zε

sgn(z)ρ0a2ε0#"ezpour|z| ≥a/23Le plan(xOy)est le planz= 0, donc le champ y est nul d"après la question précédente. Cela se comprend par

symétrie : en effet, le plan(xOy)est un plan de symétrie de la distribution, donc en tout point de ce planEz= 0.

Comme on a montré précédemment qu"il s"agit de la seule composante potentiellement non nulle du champ, cela

implique que le champ est forcément nul en tout point de ce plan.

4Voir figure 4. On constate que le champ estcontinuenz=±a/2au niveau des discontinuités de la distribution

de charge.zE z(z)-a/2-ρ0a/2ε0a/2ρ

0a/2ε0Figure 4-Champ créé par une couche épaisse.

5Une portion de couche chargée de surfaceSet de hauteuracontient une charge

Q=ρ0aS ,

on peut donc identifier formellement une densité surfacique de charge 0=QS =ρ0a.6/13Étienne Thibierge, 19 novembre 2021,www.etienne-thibierge.fr Correction TD 11 : Champ électrostatique Blaise Pascal, PT 2021-2022 on a donc simplement

#"E(z) =sgn(z)σ02ε0#"ez.Sans surprise, on retrouve bien l"expression du champ créé par un plan infini uniformément chargé en surface.

6La distribution étant maintenant modélisée par un distribution surfacique, on retrouve une discontinuité du

champ électrostatique au passage de la distribution, conforme à la relation de passage pour le champ électrostatique :

E(z=0+)-#"E(z=0-) =σε

0#"ez.Exercice 5 : Champ électrostatique dans une cavitéoral banque PT|2|2|?Charge volumique uniforme;

?Principe de superposition; ?Coordonnées sphériques, coordonnées intrinsèques.1Cf. cours : #"E=E(r)#"er, et d"après le théorème de Gauss,

E(r) =ρR33ε0r2#"erpourr > R

2On peut considérer la cavité creuse comme étant la superposition de la sphère précédente avec une seconde

sphère de densité volumique de charge-ρ. D"après le principe de superposition, le champ total est la superposition

des champs créés par chaque sphère. Ainsi, ?pourr < R?:#"E(M) =ρr3ε0#"er-ρr3ε0#"er=#"0. ?pourR?< r < R: #"E(M) =ρr3ε0#"er-ρR?33ε0r2#"er=ρ3ε0? r-R?3r 2? #"er. ?pourr > R: #"E(M) =ρR33ε0r2#"er-ρR?33ε0r2#"er=ρ(R3-R?3)3ε0r2#"er.

3Appliquons de nouveau le principe de superposition, en tenant compte du fait que les centres des sphères ne sont

plus confondus : #"E(M) =ρr3ε0#"er-ρr?3ε0#"e?r avecr#"er=# "OMetr?#"e?r=# "O?M, soit

E(M) =ρ3ε0(# "OM-# "O?M)donc#"E(M) =ρ3ε0# "OO?.Le champ est uniforme dans la cavité, d"autant plus grand que les centres sont éloignés.

Exercice 6 : Profil de masse volumique au sein de la Terreoral banque PT|3|2

?Théorème de Gauss gravitationnel.1Cette relation est l"analogue gravitationnel duthéorème de Gauss, avec#"g↔#"E,G ↔ -1/4πε0etMint↔Qint

charge électrique contenue à l"intérieur de la surface de Gauss.7/13Étienne Thibierge, 19 novembre 2021,www.etienne-thibierge.fr

Correction TD 11 : Champ électrostatique Blaise Pascal, PT 2021-2022

2Supposons la masse volumique uniforme,

M T=43

πρ0R3T

Raisonnons une sphère de rayonr. Pour cette sphère, -g(r)#"ur·dS#"ur=-4πr2g(r) et M int=? ?M

Tsir > RT

43

πρ0r3=MTr3R

Ainsi, d"après le théorème de Gauss gravitationnel, g(r) =? ?G MTr

2sir > RT

GMTrR ≂1/r2g 0R TFigure 5-Champ de pesanteur au sein de la Terre dans le modèle de masse volumique uniforme.

3À partir de la question précédente, on trouve

g

0=g(RT) =GMTR

2T= 9,8m·s-2.4Raisonnons toujours sur une sphèreΣde rayonr. La masseMint(r)contenue dans cette sphère vaut

M

ρ(r?)r?2dr?sinθdθd?=ˆ

r 0

ρ(r?)dr?׈

0 sinθdθ׈ 2π 0 d?

=4π., , ,Attention !La coordonnéeθdes coordonnées sphériques n"est définie que entre 0 etπ!!

La valeur4πse retrouve très rapidement en raisonnant par analogie avec le volume d"une sphère de

rayona,

V=ˆ

R 0 r2dr׈ 0 sinθdθ׈ 2π 0 d?=R33 ×4π .D"après le théorème de Gauss gravitationnel, -4πr2g(r) =-4πG ×4πˆ r 0

ρ(r?)r?2dr?soitr2g(r) = 4πGˆ

r 0

ρ(r?)r?2dr?.

Pour obtenirρ(r), on peut alors dériver cette relation par rapport àr, ddr?r2g(r)?= 4πGr2ρ(r)soitρ(r) =14πG1r

2ddr?r2g(r)?.8/13Étienne Thibierge, 19 novembre 2021,www.etienne-thibierge.fr

Correction TD 11 : Champ électrostatique Blaise Pascal, PT 2021-2022

Rappelons que pour une fonctionfquelconque on a

x 0 f(x?)dx?=F(x)-F(0) avecFune primitive de la fonctionf. Par dérivation, on trouve bien ddx? ˆx 0 f(x?)dx?? =F?(x) =f(x).

Le raisonnement mené ici revient ni plus ni moins à redémontrer l"équation " de Maxwell-Gauss »

gravitationnelle dans le cas particulier de la symétrie sphérique, div #"g=-4πGρ(r).On peut alors reconstruire la fonctionρ(r)par morceaux. ?pour0< r < RN,g(r) =AravecAune contante. Comme g(r=RN) =ARN=g0alorsA=g0R N.

On en déduit

ρ(r) =14πGr2ddr?

r 2g0rR N? =14πGr2×3r2g0R

Nsoitρ(0< r < RN) =3g04πGRN.On peut vérifier la cohérence avec la première question : une masse volumique uniforme correspond

à un champ qui évolue linéairement.?pourRN< r < RT,g(r) =g0=cte, donc

ρ(r) =14πGr2ddr?r2g0?=14πGr2×2rg0soitρ(RN< r < RT) =g02πGr.?enfin, pourr > RTle champg(r)décroît proportionnellement à1/r2doncr2g(r)est constant, ce qui donne une

dérivée nulle et

ρ(r) = 0... ce qui était un peu évident : il n"y a plus de matière pourr > RT.Exercice 7 : Nuage d"orageoral banque PT|2|3

?Charge volumique non uniforme;

?Équation de Maxwell-Gauss.L"exercice est d"une difficulté somme toute raisonnable, mais il est surtout beaucoup trop long et trop

calculatoire pour un oral.1Le phénomène d"influence est la modification de la répartition des charges dans un conducteur sous l"effet d"un

champ extérieur : les charges?à la base du nuage attirent les charges?se trouvant dans le sol et repoussent les

charges?. Le schéma suppose implicitement qu"elles sont suffisamment loin et elles ne sont pas représentées.

2Tout plan passant parMet contenant le vecteur#"uzest plan de symétrie de la distribution de charges, donc

plan de symétrie du champ. Le champ est inclus dans l"intersection de tous ces plans de symétrie : il est donc porté

par#"uz.

3On utilise le théorème de Gauss appliqué à une surface cylindrique de sectionS, située entrez= 0etzquelconque,

sachant que d"après l"énoncé (mesures en ballon sonde)E(0) = 0. Ainsi, '#"E·# "dS=¨ bas#"E(0)???? =0·(-dS#"ez) +¨ lat#"E·# "dS???? =0+¨ haut#"E(z)·dS#"ez=SE(z).9/13Étienne Thibierge, 19 novembre 2021,www.etienne-thibierge.fr Correction TD 11 : Champ électrostatique Blaise Pascal, PT 2021-2022 ?pour0< z < h:Qint(z) =ρsolSzdonc

E(0< z < h) =ρsolzε

0#"ez.?pourh < z < h1:Qint(z) =ρsolShdonc

E(h < z < h1) =ρsolhε

0#"ez.?Pourh1< z < h2, commençons par exprimer la densité volumique de charge à l"intérieur du nuage : elle est de la

formeρ(z) =Az+Bavecρ(h1) =-ρ0etρ(h2) =ρ0d"où

ρ(z) =2ρ0H

(z-2h0)

Ainsi,

Q int=ρsolSh+ˆ z h

12ρ0H

(z-2h0)Sdz=ρsolSh+2ρ0SH z22 -h212 -2h0(z-h1)? et donc #"E(h1< z < h2) =?ρ0ε

0H?z2-4h0z?+1ε

0? solh-2ρ0H h212 -2h0h1???

#"ez.?pourz > h2: il suffit de remplacerzparh2dans l"expression précédente.Comme on connaît directement ici la valeur du champ dans le planz= 0, il est tout aussi simple

d"intégrer l"équation de Maxwell-Gauss,dEdz=ρε 0.

Il faut dans ce cas penser à justifier la continuité du champ électrique par l"absence de charges surfa-

ciques.4Voir figure 6. Figure 6-Évolution du champ électrique dans le nuage.

5Au milieu du nuagez=h0. En reprenant la question précédente avecρsol=ρ0,

E max=ρ0ε

0H?h20-4h20?+1ε

0?

0h-2ρ0H

h212 -2h0h1?? =-3ρ0h20ε

0H+ρ0ε

0? h-h21H +4h0h1H

ρ0ε

0H?-3h20+hH-h21+ 4h0h1?

Or par définition dehetHon a

2h0-H= 2h1soith1=h0-H2

donc en remplaçanth1, E max=ρ0ε 0H? -3h20+hH-h20+h0H+H24 + 4h20-2h0H? =ρ0ε 0H? hH-h0H+H24 ce qui donne en fin de compte E max=ρ0ε 0? H4 +h-h0?10/13Étienne Thibierge, 19 novembre 2021,www.etienne-thibierge.fr Correction TD 11 : Champ électrostatique Blaise Pascal, PT 2021-2022

ATTENTION : calcul à vérifier avant de donner le corrigé, il est surprenant queEmaxdépende de la

positionh0du centre du nuage.6Le champ au centre du nuage est donné, et il est inférieur au champ disruptif. Ce donc n"est pas comme ça

qu"apparaît la foudre. Le champ disruptif est en fait atteint au niveau d"une pointe, comme un arbre, un clocher ou un

paratonnerre : c"est là que le champ disruptif est atteint, et l"éclair permet de vider le nuage des charges accumulées.Exercice 8 : Diode à jonction PN3|2

?Analyse de document; ?Équation de Maxwell-Gauss;

?Principe de superposition.1Lorsqu"un hétéroatome accepteur d"électrons est inséré dans le réseau cristallin du silicium, il attire à lui un

électron d"un atome de silicium qui se retrouve bloqué et ne peut plus participer à la conduction du courant. Tout se

passe donc comme si un trou était apparu à la place de cet électron. Ajouter au silicium des hétéroatomes accepteurs

permet donc de réaliser undopage de type P.

2Lorsqu"un électron quitte la zone N pour rejoindre la zone P alors la zone P gagne une charge négative perdue

par la zone N, ce qui est exactement équivalent au gain d"une charge positive. De même, lorsqu"un trou quitte la

zone P pour la zone N alors la zone N gagne une charge positive et la zone P une charge négative. Ce faisant, la

zone N est globalement chargée positivement et la zone P négativement.

3Les charges?se trouvant dans la zone P sont forcément attirées par les charges?se trouvant dans la zone N,

ce qui freine la migration des électrons et des trous de part et d"autre de la jonction jusqu"à la bloquer complètement

lorsqu"un équilibre est atteint entre diffusion et attraction électrostatique.

4La jonction ayant une sectionSuniforme, la charge totale qu"elle porte s"écrit

PaS+ρNbS= 0soitρPa+ρNb= 0.5Déterminons le champ #"Ecréé par la distribution représentée figure 7 en un pointMquelconque.x-d/2d/2y z×MFigure 7-Couche uniformément chargée en volume.

5.aTout plan contenant le pointMet le vecteur#"exest plan de symétrie de la distribution de charges, donc#"E(M)

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