[PDF] Fiche de TD 5:Théorème de Gauss Exercice1: Calculer le flux du

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1ère ANNEE LMD

FACULTE DES SCIENCES EXACTES ET APPLIQUEES PHYSIQUE 2-ELECTRICITE-

DOMAINE SCIENCES ET TECHNIQUES

S.MEBARKI & A.ABDELOUAHAD

Fiche de TD 5:Théorème de Gauss

Exercice1:

Calculer le flux du champ : ܧ

Exercice2:

Soit ܸ

ഊ le potentiel créé par une distribution de charges avec A et ߣ constantes positives.

1)- Déterminer le flux du champ électrique ܧ

O et de rayon R

2)- GpPHUPLQHU OM ŃOMUJH pOHŃPULTXH j O·LQPpULHXU GH OM VSOqUHB (PXGLHU OHV ŃMV RZ ܴ

5ń"

Exercice 3:

I- Une sphère de centre O et de rayon R est chargée par une densité de charge surfacique ǔ ǔ!0B (Q XPLOLVMQP OH POpRUqPH GH *MXVV GpPHUPLQHU OH ŃOMPp électrique ܧ point M de l'espace et en déduire l'expression du potentiel électrique V(r).

Déterminer le champ électrique ܧ

Exercice 4:

On considère trois sphères concentriques de rayons a, b et c tel que a< b< c. La sphère de

UM\RQ M HVP ŃOMUJpH HQ VXUIMŃH SMU OM GHQVLPp GH ŃOMUJH ǔB IH YROXPH ŃRPSULV HQPUH OHV

sphères de rayons N HP Ń HVP ŃOMUJp SMU OM GHQVLPp YROXPLTXH ǒB Déterminer le champ électrique en tout point de l'espace.

Exercice 5:

En utilisant le théorème de Gauss, calculer le champ électrique créé par

1)- un cylindre de rayon R et de longueur infinie chargé avec une densité volumique ߩ

Exercice 6:

En XPLOLVMQP OH POpRUqPH GH *MXVV GRQQHU O·H[SUHVVLRQ GX ŃOMPS pOHŃPURVPMPLTXH ŃUpp SMU

XQ SOMQ LQILQL XQLIRUPpPHQP ŃOMUJp HQ VXUIMŃH MYHŃ XQH GHQVLPp VXUIMŃLTXH SRVLPLYH ǔB (Q

déduire le champ résultant entre deux plans infinis parallèles et uniformément chargés

MYHŃ GHV GHQVLPpV Ą ǔ HP ²ǔ

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Fiche de TD 5:Théorème de Gauss

Corrigé

Exercice 1 :

1)- Le flux du champ ܧ

- La face ݔൌ-ǡ݀ܵ - La face ݔൌͳǡ݀ܵ - La face ݕൌ-ǡ݀ܵ - La face ݕൌͳǡ݀ܵ - La face ݖൌ-ǡ݀ܵ - La face ݖൌͳǡ݀ܵ

Le flux total est :

Exercice 2 :

1)- Le flux du champ électrostatique j PUMYHUV XQH VXUIMŃH G·XQH VSOqUH GH ŃHQPUH 2 HP GH UM\RQ r

est : sur une sphère de rayon ݎ. IH SRPHQPLHO HQ XQ SRLQP GH O·HVSMŃH HVP GRQQp SMU : Z Y X O

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Le potentiel dépend que de la composante radiale, donc la dérivée par rapport à la

composante angulaire est nulle, ainsi :

En remplaçant le module du champ ܧ

Pour une sphère de rayon ݎൌܴ

2)- 3RXU GpPHUPLQHU OM ŃOMUJH j O·LQPpULHXU GH OM VSOqUH RQ XPLOLVH OH POpRUqPH GH *MXVV :

Ȱൌ1୧୬୲

où 1୧୬୲ est la charge intérieure à la surface de Gauss qui est dans ce cas une sphère de centre O et

de rayon R, ainsi :

La limite ܴ

Exercice 3 :

I- La distribution de charges est sphérique. Par symétrie le champ électrostatique créé par une

sphère est radiale :

IH ŃOMPS SRVVqGH XQH V\PpPULH VSOpULTXH VRXV Q·LPSRUPH TXHOOH URPMPLRQ MXPRXU GX ŃHQPUH GH OM

sphère O, le champ est invariant (reste le même), ce qui signifie que le champ ne dépend pas de ߠ

ni de ߮ En raison de la symétrie sphérique, on choisit la surface de Gauss une sphère ܵ champ est constante sur une sphère de rayon ݎ, ܧ௥ൌܥ

Pour déterminer le champ ܧ

Ȱൌ1୧୬୲

avec 1୧୬୲ la charge enfermée par la surface de Gauss et Ȱ le flux du champ électrostatique donné

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Dans ce cas la surface de Gauss ne renferme aucune charge électrique, 1୧୬୲ൌ- IH POpRUqPH GH *MXVV SHUPHP G·pŃULUH : Ȱൌ-, ainsi : - Région 2 : Pour ݎ൐ܴ

Le flux à travers la surface de Gauss est :

Ainsi :

Ȱൌ1୧୬୲

Pour déterminer le potentiel, on utilise la relation locale : ܸଵൌെܧ׬ଵ݀ݎൌܥଵ , où ܥ - Région 2 : Pour ݎ൐ܴ

Pour déterminer ܥଵ et ܥ

continuité du potentiel

G·RZ :

La condition de continuité du potentiel :

G·RZ

r R O r R O

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Ȱൌ1

Dans ce cas, la surface de Gauss renferme une charge totale ܳൌܳ௜௡௧ଵ൅ܳ

Exercice 4

La distribution de charges est sphérique. Par symétrie le champ électrostatique créé par une

En raison de la symétrie sphérique, on choisit la surface de Gauss une sphère ܵ champ est constante sur une sphère de rayon ݎ, ܧ௥ൌܥ

Pour déterminer le champ ܧ

Ȱൌ1୧୬୲

avec 1୧୬୲ la charge enfermée par la surface de Gauss et Ȱ le flux du champ électrostatique donné

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Le flux à travers la surface de Gauss est :

Dans ce cas la surface de Gauss ne renferme aucune charge électrique, 1୧୬୲ൌ- IH POpRUqPH GH *MXVV SHUPHP G·pŃULUH : Ȱൌ-, ainsi : HO Q·\ M j O·LQPpULHXU GH OM VSOqUH GH *MXVV, que la charge surfacique portée par la sphère de rayon a.

Ainsi :

Ȱൌ1୧୬୲

La surface de Gauss renferme la charge surfacique portée par la sphère de rayon a et une charge volumique comprise entre la sphère de Gauss de rayon r et la sphère de rayon b. La charge entre les deux sphères de Gauss et la sphère de rayon b est calculée par :

Ȱൌ1୧୬୲

- Région 4 : ݎ൐ܿ La surface de Gauss, comprend la charge surfacique portée par la sphère de rayon a et une charge volumique comprise entre les deux sphères de rayon b et c. a b c

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La charge entre les deux de rayon b et c est calculée par :

Ȱൌ1୧୬୲

Exercice 5

1)- Les charges sont réparties HQ YROXPH G·XQ Ń\OLQGUH GH UM\RQ 5 HP GH ORQJXHXU LQILQLH

Par symétrie le champ électrostatique créé par ce cylindre est radiale :

SRXV Q·LPSRUPH TXHOOH URPMPLRQ MXPRXU GH O·M[H GX Ń\OLQGUH, le champ est invariant (reste le

même), ce qui signifie que le champ ne dépend pas de ߠ Pour ces raisons de symétrie, on choisit la surface de Gauss ܵ hauteur h.

Pour déterminer le champ ܧ

Ȱൌ1୧୬୲

avec 1୧୬୲ la charge enfermée par la surface de Gauss et Ȱ le flux du champ électrostatique donné

on doit calculer le flux à travers ces trois surfaces, ainsi Comme le champ électrostatique est perpendiculaire à la surface

QXO G·RZ : ȰଵൌȰଷൌ-

R r r

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Avec ܸ݀ൌ-ߨ

Pour calculer cette intégrale, on utilise double intégrale par partie et on trouve :

Le POpRUqPH GH *MXVV SHUPHP G·pŃULUH :

Ȱൌ1୧୬୲

- Région 2 : Pour ݎ൐ܴ

Ainsi :

Ȱൌ1୧୬୲

2)- Une distribution de charges volumiques est répartie entre deux cylindres coaxiaux

Le flux à travers la surface de Gauss a la même expression est :

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Dans ce cas la surface de Gauss ne renferme aucune charge électrique, 1୧୬୲ൌ- IH POpRUqPH GH *MXVV SHUPHP G·pŃULUH : Ȱൌ-, ainsi : Il y M j O·LQPpULHXU GH OM VSOqUH GH *MXVV OM ŃOMUJH volumique comprise entre le cylindre de rayon ܴ

Ainsi :

Ȱൌ1୧୬୲

- Région 3 : ݎ൐ܴ La surface de Gauss renferme la charge volumique comprise entre le cylindre de rayon

ܴଵ et le cylindre de rayon ܴ

Ainsi :

Ȱൌ1୧୬୲

Exercice 6 :

1) On étudie les éléments de symétrie. Tout plan, passant par M et perpendiculaire au

plan chargé, est un plan de symétrie. On en déduit que le champ est perpendiculaire au plan. Pour calculer le champ électrostatique à une distance z du plan chargé, on prend comme

surface de Gauss adaptée à la symétrie du problème qui est un cylindre de hauteur ݄ et

de rayon R GRQP O·M[H HVP SHUSHQGLŃXOMLUH MX SOMQ ŃOMUJp HP TXL HVP V\PpPULTXH SMU

rapport au plan chargé.

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Pour déterminer le champ ܧ

Ȱൌ1୧୬୲

avec 1୧୬୲ la charge enfermée par la surface de Gauss et Ȱ le flux du champ électrostatique donné

latérale). Pour cela, on doit calculer le flux à travers ces trois surfaces, ainsi Comme le champ électrostatique est perpendiculaire au plan chargé, son flux à travers la La surface de Gauss étant un cylindre symétrique par rapport au plan chargé, on trouve Le champ ne dépend que de z, il est donc constant sur toute la surface S1. On obtient donc : ൌ- 3ଵൌ-ܴܧߨ On détermine la charge enfermée par la surface de Gauss

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En appliquant le théorème de Gauss :

Ȱൌ1୧୬୲

2)- On a deux plans parallèles chargés en surfaces avec des densités Ą ǔ HP ²ǔ selon la

figure ci-contre.

En utilisant le principe de superposition

2Q XPLOLVH O·H[SUHVVLRQ GX ŃOMPS ŃUpp XQ SOMQ ŃOMUJp HQ PRXP SRLQP GH O·HVSMŃH GH OM

question (1).

On distingue trois zones :

-Zone 1 : -Zone 2 : -Zone 3 :

Zone 1

Zone 2

Zone 3

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