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2) Définition On dit que ?u est colinéaire à ?v lorsqu'il existe un réel k tel que ?u=k ?v ? ?u a alors la même direction que ?v

  • Quels sont les vecteurs colinéaires ?

    Des vecteurs colinéaires?, aussi appelés linéairement dépendants, sont des vecteurs qui ont la même direction. Dans un langage plus commun, des vecteurs colinéaires sont formés de droites qui sont parallèles.

  • Qu'est-ce que ça veut dire colinéaires ?

    (Géométrie) De même direction (se dit de vecteurs).
  • Deux vecteurs non nuls et sont colinéaires s'il existe un nombre réel k tel que . Autrement dit, deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre.
1

VECTEURS, DROITES

ET PLANS DE L'ESPACE

Le cours sur les vecteurs, droites et plans de l'espace : https://youtu.be/EoT48VtnUJ4 Le cours sur les positions dans l'espace : https://youtu.be/aostYZK5jkE

Partie 1 : Vecteurs de l'espace

1) Notion de vecteur dans l'espace

Définition : Un vecteur de l'espace est défini par une direction de l'espace, un sens et une norme (longueur).

Propriété :

Dire que le point ' est l'image du point par la translation de vecteur ⃗ revient à dire

que : ′

Remarques :

- Les vecteurs de l'espace suivent les mêmes règles de construction qu'en géométrie plane :

somme, produit par un réel, relation de Chasles, colinéarité, ... - Les translations gardent les mêmes propriétés qu'en géométrie plane : conservation du parallélisme, de l'orthogonalité, du milieu, ...

2) Combinaisons linéaires de vecteurs de l'espace

Définition : Soit ⃗, ⃗ et ⃗ trois vecteurs de l'espace.

Tout vecteur de la forme ⃗+⃗+⃗, avec , et réels, est appelé combinaison linéaire

des vecteurs ⃗, ⃗ et ⃗. Méthode : Représenter des combinaisons linéaires de vecteurs donnés

Vidéo https://youtu.be/Z83z54pkGqA

A l'aide du cube ci-contre, représenter les vecteurs ⃗, et ⃗donnés par : =2 1 2 2

Correction

A l'aide du cube, on construit un chemin d'origine et formé des vecteurs (soit ) et =2 Méthode : Exprimer un vecteur comme combinaisons linéaires de vecteurs

Vidéo https://youtu.be/l4FeV0-otP4

Dans le parallélépipède ci-dessous, est le centre du rectangle .

Exprimer les vecteurs

et comme combinaisons linéaires des vecteurs et 3

Correction

• On commence par construire un chemin d'origine et d'extrémité à l'aide des vecteurs

ou ou des vecteurs qui leurs sont colinéaires. =-2

Partie 2 : Droites et plans de l'espace

1) Direction d'une droite de l'espace

Définition : On appelle vecteur directeur de tout vecteur non nul qui possède la même

direction que la droite .

Propriété : Soit une droite passant par un point et de vecteur directeur ⃗.

Un point appartient à la droite si et seulement si les vecteurs et ⃗ sont colinéaires.

Propriété : Deux droites de l'espace de vecteurs directeurs respectifs ⃗ et ⃗ sont parallèles si

et seulement si les vecteurs ⃗ et ⃗ sont colinéaires. 4

2) Direction d'un plan de l'espace

Propriété :

Deux vecteurs non nuls et non colinéaires déterminent la direction d'un plan.

Propriété :

Soit un plan passant par un point et dirigé par deux vecteurs ⃗ et ⃗ non colinéaires.

Un point appartient au plan si et seulement si =⃗+⃗, avec ∈ℝ et ∈ℝ.

Démonstration :

- Soit deux points et tel que ⃗= et ⃗= ⃗ et ⃗ ne sont pas colinéaires donc est un repère du plan (). Dans ce repère, tout point de coordonnées est tel que - Réciproquement, soit un point de l'espace tel que Soit le point du plan () de coordonnées dans le repère

Alors

=⃗+⃗ et donc et sont confondus donc appartient à ().

Remarque :

Un plan est donc totalement déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires.

Propriété : Deux plans déterminés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont

parallèles. 5

Démonstration :

Soit deux plan et ′ de repères respectifs et - Si et ′ sont confondus, la démonstration est triviale. - Dans la suite et ′ ne sont pas confondus. Supposons que et ′ possède un point en commun.

Alors dans , on a :

=⃗+⃗, où sont les coordonnées de dans .

Et dans ′, on a :

=′⃗+′⃗, où sont les coordonnées de dans ′.

Donc

⃗ donc appartient à .

Donc le repère

est un repère de et donc et ′ sont confondus ce qui est contraire à l'hypothèse de départ. et ′ n'ont aucun point en commun et sont donc parallèles. Conséquence : Pour démontrer que deux plans sont parallèles, il suffit de montrer que deux vecteurs non colinéaires de l'un des plans sont respectivement colinéaires à deux vecteurs non colinéaires de l'autre. Méthode : Démontrer que deux plans sont parallèles

Vidéo https://youtu.be/6B1liGkQL8E

est une pyramide.

, et sont les milieux respectifs de [], []et [].

Démontrer que les plans ()et () sont parallèles.

Correction

Deux plans sont parallèles, si deux vecteurs non colinéaires de l'un sont respectivement colinéaires à deux vecteurs non colinéaires de l'autre. Démontrer que et sont colinéaires : 1 2 1 2 1 2

K

L 1 2

Donc

et sont colinéaires. Dans le triangle , on démontre de même que et sont colinéaires. Deux vecteurs non colinéaires du plan (), et , sont respectivement colinéaires à deux vecteurs non colinéaires du plan (), et , donc les plans ()et () sont parallèles. 6 Partie 3 : Positions relatives de droites et de plans de l'espace

1) Positions relatives de deux droites

Propriété : Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires. et sont coplanaires et sont sécantes et sont parallèles et sont strictement parallèles et sont confondus et sont non coplanaires

Exemple :

est un cube. - Les droites ()et ()appartiennent au même plan () et sont sécantes en . - Les droites () et () appartiennent au même plan () et sont parallèles. - Les droites () et () sont non coplanaires. 7

2) Positions relatives de deux plans

Propriété : Deux plans de l'espace sont soit sécants soit parallèles. et sont sécants et sont sécants suivant la droite d et sont parallèles et sont strictement parallèles et sont confondus

Exemple :

est un parallélépipède rectangle. - Les plans () et () sont sécants suivant la droite (). - Les plans () et () sont parallèles 8

3) Positions relatives d'une droite et d'un plan

Propriété : Une droite et un plan de l'espace sont soit sécants soit parallèles. et sont sécants et sont sécants en un point I et sont parallèles est incluse dans et sont strictement parallèles

Exemple :

est un cube. - La droite () et le plan ()sont sécants en I. - La droite ()est incluse dans le plan (). - La droite ()et le plan () sont parallèles. 9

Partie 4 : Bases et repères de l'espace

1) Vecteurs coplanaires et bases de l'espace

Définition : Trois vecteurs sont coplanaires s'ils possèdent des représentants appartenant à

un même plan.

Propriété : Trois vecteurs ⃗, ⃗ et ⃗ de l'espace sont coplanaires, s'il existe un couple de réels

tel que ⃗=⃗+⃗. Propriété : Soit ⃗, ⃗ et trois vecteurs non coplanaires. Pour tout vecteur ⃗, il existe un unique triplet tel que ⃗=⃗+⃗+

Démonstration :

- Existence : Soit un représentant de ⃗.

Soit le plan de repère

Si appartient à alors se décompose suivant les vecteurs ⃗ et ⃗. Supposons que n'appartient pas à . Soit la droite passant par de vecteur directeur

Comme

n'est pas colinéaire avec ⃗ et ⃗, la droite coupe le plan en un point .

On peut écrire

appartient au plan donc il existe un couple tel que est colinéaire avec donc il existe un réel tel que

Il existe donc un triplet

tel que - Unicité : On suppose que l'on ait les deux écritures distinctes : Alors =0

Supposons que l'une au moins des trois différences n'est pas nulle, par exemple : -′≠

0.

Donc

⃗ et dans ce cas, les vecteurs ⃗, ⃗ et seraient coplanaires. Ce qui est exclu.

Les trois différences

- et - sont donc nulles. 10 Définition : Soit ⃗, ⃗ et trois vecteurs non coplanaires de l'espace. On appelle base de l'espace le triplet K⃗,⃗, L.

Méthode : Reconnaitre une base de l'espace

Vidéo https://youtu.be/5a9pE6XQna4

est un cube. a) Reconnaître une base de l'espace. b) Décomposer le vecteurs dans cette base.

Correction

a) Les vecteurs et sont non coplanaires donc forment une base de l'espace. b) Le vecteurs se décompose dans la base

K

L en :

Méthode : Démontrer l'alignement par décomposition de vecteurs dans une base

Vidéo https://youtu.be/i4jDkJNtzZg

est un cube. Soit le milieu de [] et le point de [] tel que : 2 3 Démontrer que les points , et sont alignés.

Correction

Pour prouver cet alignement, on va démontrer que les vecteurs et sont colinéaires.

Les vecteurs

et sont non coplanaires donc il est possible de décomposer les vecteurs et dans la base K L : 2 3 2 3

V

1 2

W

2 3

V

1 2 1 2

W=

11 2 3

V

1 2 1 2 W 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

Donc :

1 3

Les vecteurs

et sont colinéaires et donc les points , et sont alignés.

2) Repère de l'espace

Définition : Soit ⃗, ⃗ et trois vecteurs non coplanaires. est un point de l'espace. On appelle repère de l'espace le quadruplet K;⃗,⃗, L. Remarques : - est appelé l'origine du repère. La décomposition donne les coordonnées

Z du point .

est l'abscisse de , est l'ordonnée de et est la cote de .

De même, la décomposition ⃗=⃗+⃗+

donne les coordonnées

Z du vecteur ⃗.

On retrouve dans l'espace, des propriétés déjà connues dans le plan, comme les suivantes :

Propriétés :

Soit deux points [

\ et [ Les coordonnées du vecteur sont : [ Les coordonnées du milieu du segment [] sont : Exercice-type 6 : Lire des coordonnées dans l'espace

Vidéo https://youtu.be/PZeBXIhNBAk

Soit un parallélépipède . est le milieu de [].

Les points et sont définis par :

=2 et 12

1) Dans le repère K;

L, donner les coordonnées de tous les points de la figure.

2) Placer le point

1;3;-1

3) Démontrer que les vecteurs

et sont égaux.

4) Démontrer que est le milieu du segment [BN].

Correction

1)[

0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0,5 1 -1 0,5 1 -2 1 2)

3)

1-1 0-1 1-0,5 0 -1 0,5 1-1 -2-(-1) 1-0,5 0 -1 0,5

Donc

4) Le milieu du segment [] a pour coordonnées :

1 -1 0,5

Il s'agit bien des coordonnées de .

Méthode : Démontrer que 4 points sont coplanaires

Vidéo https://youtu.be/9baU60ZNioo

Dans un repère K;⃗,⃗,

L, on considère les points : [

2 -1 4 6 -7 0 1 0 1 \ et [ 13 -16 5 Démontrer que les points , , et sont coplanaires. 13

Correction

On va démontrer que les trois vecteurs et , de même origine , sont coplanaires. Pour cela, on va démontrer qu'il existe un couple de réels tel que Calculons les coordonnées des vecteurs et 4 -6 -4 -1 1 -3 \ et quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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