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Universite Claude Bernard{Lyon I

L1 de Mathematiques : Algebre I

Annee 2012{2013Geometrie dans l'espace

I Operations vectorielles

1

Points et vecteurs, operations lineaires

a) Points et vecteurs On prend comme modele de l'espaceR3. Les elements deR3seront donc consideres de temps en temps comme des points, de temps en temps comme des vecteurs. Dans ce texte, on notera un

element sous la forme (x;y;z) mais il est conseille, si la place sur le papier n'est pas un probleme,

de preferer une notation en colonne (un exemple ci-dessous).Etant donnes deux pointsA= (xA;yA;zA) etB= (xB;yB;zB), on leur associe un vecteur note!ABen posant :

AB=0 @x BxA y ByA z BzA1 A Remarque.Pour chaque fois que pour tout pointA= (xA;yA;zA) et tout vecteurv= (xv;yv;zv), il existe un unique pointBtel que!AB=v: c'estB= (xA+xv;yA+yv;zA+zv). Sivest xe etAvarie, on appelle l'application qui aAassocieBlatranslationde vecteurv. b) Somme de deux vecteurs, produit d'un scalaire par un vecteur Denition.Soientv= (x;y;z) etv0= (x0;y0;z0) deux vecteurs etun reel. On appellesomme devetv0le vecteurv+v0= (x+x0;y+y0;z+z0). On appelleproduit du scalairepar le vecteur vle vecteurv= (x;y;z). On appellecombinaison lineairedevetv0tout vecteur de la formev+0v0ouet0sont des reels. Autrement dit, un vecteurwest combinaison lineaire devetv0s'il existe des reelset0 tels quew=v+0v0. Proposition.Les operations somme de deux vecteurs et produit d'un scalaire par un vecteur satisfont aux m^emes regles de calcul que leurs analogues dans le plan. On ajoutera les quanticateurs qui manquent pour donner un sens aux relations : (v+v0)+v00= v+ (v0+v00),v+v0=v0+v,v+!0 =v=!0 +vou!0 = (0;0;0),v+ (v) =!0 = (v) +v ouv= (x;y;z) siv= (x;y;z),(v+v0) =v+v0, (+0)v=v+0v, 1v=v, (0)v=(0v). 2

Colinearite et produit vectoriel

a) Vecteurs colineaires Denition.Soitvetv0deux vecteurs. On dit qu'ils sontcolineairess'il existe deux reelset

0pas tous les deux nuls (c'est-a-dire que6= 0 ou06= 0) tels quev+0v0=!0 .

Remarque.Avec les notations de la denition,vetv0sont colineaires SSI il existereel tel que v=v0ouv0=v. En eet, siv+0v0=!0 et si, par exemple,6= 0, on peut ecrirev0=v avec=0=. Inversement, siv0=v, alors=et0= 1 conviennent. Proposition.Soitv1= (x1;y1;z1)etv2= (x2;y2;z2)deux vecteurs. Alors,v1etv2sont colineaires si et seulement si z

1y2y1z2= 0etz1x2x1z2= 0etx1y2y1x2= 0:

1 b) Produit vectoriel Denition.Soitv1etv2deux vecteurs. On denit leurproduit vectorielcomme le vecteur : v

1^v2=0

@y

1z2z1y2

z

1x2x1z2

x

1y2y1x21

A Exemple.Soiente1= (1;0;0),e2= (0;1;0) ete3= (0;0;1), on a : e

1^e2=e3=e2^e1; e2^e3=e1=e3^e2; e3^e1=e2=e1^e3:

Remarque.Le critere de colinearite se reformule ainsi : deux vecteurs sont colineaires SSI leur produit vectoriel est nul. On a vu en amphi un moyen mnemotechnique pour retrouver le produit vectoriel (voir regle de

Sarrus ci-dessous).

Remarque.Le produit vectoriel presente plus qu'une analogie avec le determinant 22... De fait, on peut lire les coordonnees du produit vectoriel comme les aires des parallelogrammes projetes sur les plans de coordonnees.0 @x 1 y 1 z 11 A0 @x 2 y 2 z 21
A0 @x 2 y 2 01 A0 @x 1 y 1 01 Ax

1y2y1x2Figure1 { Coordonnees du produit vectoriel et aire des parallelogrammes projetes

Proposition(Proprietes formelles du produit vectoriel).Soitv1,v2etv3trois vecteurs,1,2 et3des scalaires. On a : (i) ( 1v1+2v2)^v3=1v1^v2+2v2^v3; (ii)v1^(2v2+3v3) =2v1^v2+3v1^v3; (iii)v1^v2=v2^v1; (iv)v1^v1=!0, (v)plus precisement,v1^v2=!0si et seulement siv1etv2sont colineaires.

Les assertions (i) et (ii) expriment qu'on peut

developperun produit vectoriel etsortir les scalaires : plus formellement, on parle deapplication bilineaire. Le mot qui decrit l'assertion (iii) estapplication antisymetrique; celui pour l'assertion (iv) estforme alternee; on voit que (iii))(iv) en prenantv1=v2; on voit que (iv))(iii) en developpant!0 = (v1+v2)^(v1^v2). 2 3

Produit scalaire

a)Basics Denition.Soitv1etv2deux vecteurs. On denit leurproduit scalairecomme le reel, note hv1;v2iouv1v2, suivant : hv1;v2i=x1x2+y1y2+z1z2: On dit que deux vecteurs sontorthogonauxsi leur produit scalaire est nul. Exemple.Siv1etv2sont deux vecteurs quelconques, on a :hv1;v1^v2i= 0 =hv2;v1^v2i. (Verier!) Proposition(Proprietes formelles du produit scalaire).Soitv1,v2etv3trois vecteurs,1,2 et3des scalaires. On a : (i)h(1v1+2v2);v3i=1hv1;v2i+2hv2;v3i; (ii)hv1;(2v2+3v3)i=2hv1;v2i+3hv1;v3i; (iii)hv1;v2i=hv2;v1i; (iv)hv1;v1i 0, (v)hv1;v1i= 0si et seulement siv=!0. Les assertions (i) et (ii) expriment que le produit scalaire est, comme le produit vectoriel,bi- lineaire. L'assertion (iii) se resume par le motsymetrique. Les assertions (iv) et (v) se disent denie positive. b) Norme et distance Denition.Soitvun vecteur. On appellenormedevle reel :jjvjj=phv;vi. (Cela a un sens gr^ace a l'assertion (iv) de la proposition precedente.) SoitAetBdeux points. On appelledistanceentreAetBle reel :AB=jj!ABjj.

Exercice.

Enoncer et demontrer l'inegalite de Cauchy-Schwarz et l'inegalite triangulaire (plus dur que dans le plan). 4

Determinant et produit mixte

a) Produit mixte :basics Denition.Soientv1,v2etv3trois vecteurs. Leurproduit mixteest le reel note [v1;v2;v3] et deni par : [v1;v2;v3] =hv1^v2;v3i: Remarque.Le produit mixte de trois vecteurs est aussi appeledeterminantde ces trois vecteurs (dans la base canonique). Siv1= (x1;y1;z1), etc., on le note aussi : [v1;v2;v3] = x 1x2x3 y 1y2y3 z 1z2z3 Pour le calculer, on peut utiliser laregle de Sarrus, consistant a copier la premiere et la deuxieme lignes sous le tableau ci-dessus, puis a ajouter les diagonales et a soustraire les anti-diagonales. x 1x2x3 y 1y2y3 z 1z2z3 x

1x2x3y

Proposition(Proprietes formelles du produit mixte).Soientv1,v2,v3,v01des vecteurs et,

1,01des scalaires. On a :

(i) [ v1;v2;v3] =hv1;v2^v3i; (ii) [ v1;v2;v3] = [v2;v3;v1] = [v3;v1;v2] =[v1;v3;v2] =[v3;v2;v1] =[v2;v1;v3]; (iii) [ 1v1+01v01;v2;v3] =1[v1;v2;v3] +01[v1;v2;v3], idem avec les autres composantes; (iv)en particulier :[v1;v2;v3] =3[v1;v2;v3]. L'assertion (ii) exprime que si on permute les vecteurs de toutes les facons possibles, le produit mixte ne prend que deux valeurs, opposees l'une de l'autre; plus precisement, si on fait une permutation circulaire, le produit mixte ne change pas; si on permute deux vecteurs, il change de signe. b) Produit mixte et volume On va voir que le produit mixte satisfait aux proprietes qu'on souhaite pour calculer le volume d'un parallelepipede. Parlons intuitivement et appelonsV(v1;v2;v3) le volume du parallelepipede construit sur trois vecteursv1,v2,v3. Quand on multiplie une des dimensions par un scalaire (par exemple 2), on veut que le volume soit multiplie par le m^eme scalaire. Cela donne lieu a trois formules du genre :V(v1;v2;v3) =V(v1;v2;v3). Lorsque l'on translate la base (i.e. le parallelogramme engendre parv1etv2), ce qui revient a changerv3en un vecteur de la forme v

3+1v1+2v2, on ne doit pas changer le volume; cela donne :V(v1;v2;v3+1v1+2v2) =

V(v1;v2;v3).A la limite, siv3=!0 , cela doit continuer a marcher, ce qui donne :V(v1;v2;v1) =

0. En remplacantv1parv1+v3, on en deduit formellement (comme pour le produit vectoriel)

queV(v1;v2;v3) =V(v3;v2;v1), ce qui incite a parler devolume algebrique(i.e. muni d'un signe). En bref, le volume satisfait aux proprietes formelles du produit mixte, quoi. Mais alors, on trouve, en injectantv1=x1e1+y1e2+z1e3et en developpant, la relation : V(v1;v2;v3) = [v1;v2;v3]V(e1;e2;e3). Cela traduit que toute bonne notion de volume d'un parallelogramme aboutira a un multiple du produit mixte. Inversement, on comprend bien que l'on puisse multiplier une fonction volume par une constante, cela revient a changer d'unite.

II Bases et reperes

1 Bases a) Les bases sur les bases (jeu de mot un peu baseux...) Denition.Soit (u1;u2;u3) un triplet de vecteurs. On dit que c'est unebasesi, pour tout vecteurv, il existe un unique triplet (1;2;3) de reels tels quev=1u1+2u2+3u3. Ce triplet (1;2;3) est appeletriplet de coordonneesdevdans la base (u1;u2;u3). Exemple.Le triplet (e1;e2;e3), oue1= (1;0;0),e2= (0;1;0),e3= (0;0;1), est une base dite base canoniqueoubase standard. Un point important, c'est qu'un vecteur est determine partroisscalaires : on parle dedimen- sion3. En pratique, en general on conna^t les coordonnees des vecteursu1,u2,u3dans la base canonique et on cherche les coordonnees d'un vecteurvdans la base (u1;u2;u3) : pour cela, on resout le systeme1u1+2u2+3u3=v. Dire qu'un triplet de vecteurs est une base, c'est dire que ce systeme a exactement une solution pour toutv. b) Bases et produit mixte Voici le seul theoreme important du chapitre, a c^ote duquel tout le reste est verbiage. Theoreme.Soit(u1;u2;u3)un triplet de vecteurs. Alors la famille(u1;u2;u3)est une base SSI son produit mixte n'est pas nul :[u1;u2;u3]6= 0. 4 La preuve repose sur une forme deguisee des formules de Cramer, que l'on verra en deuxieme annee pour les systemes lineaires.

Lemme.Soitu1,u2,u3,vquatre vecteurs. On a :

[u1;u2;u3]v[u2;u3;v]u1+ [u3;v;u1]u2[v;u1;u2]u3=!0: Ce lemme est une formule un peu compliquee mais sa verication ne recele aucune diculte : il surait de l'ecrire mais... on ne l'ecrira pas pour autant. Passons au theoreme. D emonstration.Supposons que [u1;u2;u3]6= 0 et soitvun vecteur. On a gr^ace au lemme : ce qui donne l'existence de1= [v;u2;u3]=[u1;u2;u3], etc. Pour l'unicite, procedons (salement) par l'absurde. Supposons donc qu'existent un vecteurvet deux triplets distincts (1;2;3) et (01;02;03) tels quev=1u1+2u2+3u3=01u1+02u2+

03u3. Supposons par exemple que16=01. On en deduit :

u 1=202

011u2+303

011u3;

puis, avec2= (202)=(011) et3= (303)=(011) : [u1;u2;u3] = [2u2+3u3;u2;u3] =2[u2;u2;u3] +3[u3;u2;u3] = 0; cette contradiction prouvant l'unicite dans le sens direct. Inversement, supposons que [u1;u2;u3] = 0. Montrons que (u1;u2;u3) n'est pas une base. Si les trois vecteurs sont nuls, il est evident que l'on n'a pas aaire a une base : le vecteur nul a (au moins) deux ecritures :!0 = 0u1+ 0u2+ 0u3= 1u1+ 1u2+ 3u3et le vecteurv= (1;0;0) n'admet aucune ecriture car1u1+2u2+3u3=!0 . On suppose, par exemple, queu36=!0 . Si les trois produits vectorielsu1^u2,u2^u3etu1^u3sont nuls, les trois vecteurs sont colineaires : u

1=1u3etu2=2u3pour1,2reels convenables. Donc le vecteur nul a au moins deux

ecritures :!0 = 0u1+0u2+0u3=1u1+0u2u3. D'autre part, tout vecteur1u1+2u2+3u3 est un multiple deu3; si on noteu3= (x3;y3;z3), l'un des vecteurs (y3;x3;0), (0;z3;y3) et (z3;0;x3) est non nul et orthogonal au3donc non multiple deu3. On peut supposer que l'un au moins n'est pas nul, par exempleu2^u36=!0 . Alors, puisque [u2;u3;u2^u3] =jju2^u3jj26= 0; on sait par le debut de la preuve que le triplet [u2;u3;u2^u3] est une base, si bien que l'on peut exprimeru1sous la forme :u1=1u2^u3+2u2+3u3. Mais alors, l'egalite [u1;u2;u3] = 0 et les proprietes formelles du produit mixte donnent : 0 = [u1;u2;u3] =1jju2^u3jj2, si bien que

1= 0 et queu1=2u2+3u3.

Ainsi, le vecteuru1s'ecrit de deux facons :u1= 1u1+ 0u2+ 0u3= 0u1+2u2+3u3. A contrario, le vecteuru2^u3ne peut pas s'ecrire sous la forme1u1+2u2+3u3(essayer!). Cela nie doublement la denition d'une base et conclut la preuve du theoreme. On peut eriger une partie de la preuve en proposition bien utile. Proposition.Soitu1,u2,u3trois vecteurs. Siu2^u36=!0et[u1;u2;u3] = 0, alors il existe des reels2et3tels queu1=2u2+3u3. 5 c) Bases orthonormees Denition.On dit qu'un triplet (u1;u2;u3) est unefamille orthonormeesi l'on a :hu1;u2i= hu2;u3i=hu3;u1i= 0 etjju1jj=jju2=jju3jj= 1. Proposition.Une famille orthonormee est une base. Si(u1;u2;u3)est une famille orthonormee, alors, pour tout vecteurv, on a : v=hv;u1iu1+hv;u2iu2+hv;u3iu3: On parlera donc desormais debases orthonormeesplut^ot que de familles orthonormees. D emonstration.Commeu1etu2sont orthogonaux et non nuls, ils ne sont pas colineaires (verier!). Par le theoreme, (u1;u2;u1^u2) est une base. On peut donc exprimeru3sous la formeu3=1u1+2u2+3u3. Mais alors, il vient :1=hu3;u1i= 0,2=hu3;u2i= 0, puis :

23=jju3jj2= 1, si bien queu3=u1^u2. Cela permet d'en deduire que (u1;u2;u3) est une

base. Soitvun vecteur. Sachant que (u1;u2;u3) est une base, on peut armer qu'il existe des reelsi tels quev=P3 i=1iui, alors on a, pourjcompris entre 1 et 3 :hv;uji=P3 i=1ihui;uji=j, ce qui termine la preuve. d) Orthonormalisation Proposition.Soit(v1;v2;v3)un triplet de vecteurs dont le produit mixte n'est pas nul. Il existe une base orthonormee, dont chaque vecteur est unique au signe pres,(u1;u2;u3)telle queu1et v

1d'une part,v1^v2etu1^u2d'autre part, sont colineaires.

(Geometriquement, les conditions signient que les droites engendrees parv1etu1et les plans engendres parv1etv2d'une part,u1etu2d'autre part, concident.) D emonstration.On pose :u1=v1=jjv1jj. Puis on cherche un vecteuru02de la formeu02= v

2+u1tel quehu02;u1i= 0. Cela donne une condition necessaire et susante sur, a savoir :

=hv2;u1i. Il vient :u1^u02=jjv1jj1v1^(v2+u1) =jjv1jj1v1^v2. Le vecteurv1^v2 n'est pas nul, sinon on aurait : [v1;v2;v3] = 0. En particulier,u02n'est pas le vecteur nul. On pose alors :u2=u02=jju02jj. De la sorte, les vecteursv1^v2etu1^u2sont colineaires. De plus, on a :jju1jj=jju2jj= 1 ethu1;u2i= 0. On conclut en posantu3=u1^u2. L'unicite est laissee en exercice. Une autre facon de s'y prendre (exercice) est la suivante : prendreu01=v1,u03=v1^v2et u

02=u03^u01, puis diviser ces vecteurs par leur norme.

2

Reperes

a) Coordonnees dans un repere Denition.On appellerepere de l'espaceun quadruplet (O;u1;u2;u3) forme d'un pointOet

d'une base (u1;u2;u3). Un repere estorthonormesi la base qu'il contient l'est.Etant donne un pointMdu plan, sescoordonneesdans un repere (O;u1;u2;u3) est le triplet de

reels (1;2;3) tel que!OM=1u1+2u2+3u3. b) Changement de repere Donnees.SoientR= (O;u1;u2;u3) etR0= (O0;u01;u02;u03) deux reperes. SoitPla matrice de passage entre les deux bases : c'est un tableau 33 de reels dont lajecolonne est la colonne des coordonnees deu0jdans la base (u1;u2;u3) : P=0 @a

11a12a13

a

21a22a23

a

31a32a331

A ;ouu0j=3X i=1aquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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