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Premi`ere S-m´ethode Chapitre :Produit scalairevecteur normal `a une droite-droites perpendiculaires

Table des mati`eres1 D´eterminer si deux droites sont perpendiculaires 1

1.1 Rappel du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.2 D´eterminer si deux droites sont perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

2 Rappels de cours 2

3 D´eterminer les coordonn´ees d"un vecteur normal `a une droite 3

4 D´eterminer une ´equation cart´esienne d"une perpendiculaire 3

4.1 M´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

4.2 Exemple : perpendiculaire `a une droite d´efinie par une ´equation . . . . . . . . . . . .4

4.3 Exemple : perpendiculaire `a une droite d´efinie par deux points . . . . . . . . . . . . .6

Le plan est muni d"un rep`ereorthonorm´e(O;-→i;-→j).

1D´eterminer si deux droites sont perpendiculaires

1.1 Rappel du chapitre 5

Rappels :

Toute droite du plan admet une ´equation cart´esienne de la formeax+by+c= 0 (a,betcr´eels avec (a;b)?= (0;0) ) et le vecteur -→u(-b;a) est un vecteur directeur de cette droite.

1.2 D´eterminer si deux droites sont perpendiculairesM´ethode :

On donne les droites (d) et (d?) d"´equations respectivesax+by+c= 0 eta?x+b?y+c?= 0•D´eterminer un vecteur directeur de chacune des droites, par exemple

-→u(-b;a) est un vecteur directeur de (d) et-→v(-b?;a?) est un vecteur directeur de (d?)•V´erifier que -→u .-→v= 0•Conclusion : Les vecteurs

-→uet-→vsont orthogonaux donc (d)?(d?)?Exemple 1 : perpendicularit´e de deux droites d´efinies par leurs ´equations cart´esiennesDans un rep`ere orthonorm´e, on donne (d) d"´equation 2x-3y+1 = 0, (d1) d"´equation 6x+4y-3 =

0 et (d2) d"´equation 4x+ 3y-6 = 0.

Les droites (d) et (d1) sont-elles perpendiculaires?

Les droites (d) et (d2) sont-elles perpendiculaires?Chapitre :Produit scalaire Page 1/8Maths premi`ere S

Premi`ere S-m´ethode Chapitre :Produit scalaire?Solution: (d) a pour ´equation 2x-3y+ 1 = 0 donc-→u(3;2) est un vecteur directeur de (d) (d1) a pour ´equation 6x+ 4y-3 = 0 donc-→v(-4;6) est un vecteur directeur de (d1) (d2) a pour ´equation 4x+ 5y-6 = 0 donc-→w(-3;4) est un vecteur directeur de (d2) u .-→v=x-→ux-→v+y-→uy-→v= 3×(-4) + 2×6 = 0 donc -→uet-→vsont orthogonauxdonc (d)?(d1)-→ u .-→w=x-→ux-→w+y-→uy-→w= 3×(-3) + 2×4 =-1 donc

-→uet-→wne sont pas orthogonauxdonc (d) et (d2) ne sont pas perpendiculaires2Rappels de cours

Si-→

u(x;y)(non nul) alors-→ v(-y;x)est orthogonal au vecteur -→u Si (d) a pour ´equationax+by+c= 0, le vecteur-→ n(a;b)est un vecteur normal `a la droite (d) Si -→uest un vecteur directeur de (d) alorsM(x;y) appartient `a la droite perpendiculaire `a (d) passant parAsi est seulement si--→ AM.-→u= 0Chapitre :Produit scalaire Page 2/8Maths premi`ere S

Premi`ere S-m´ethode Chapitre :Produit scalaire3D´eterminer les coordonn´ees d"un vecteur normal `a une droite

Si (d) a pour ´equationax+by+c= 0, le vecteur-→ n(a;b)est un vecteur normal `a la droite (d)

Remarque :Tout vecteur-→vcolin´eaire `a-→nest aussi un vecteur normal `a la droite(d)?Exemple 2 : vecteur normalD´eterminer un vecteur directeur puis un vecteur normal `a la droite (d) d"´equation cart´esienne

2x-5y+ 2 = 0?Solution:

On a icia= 2 etb=-5 donc le vecteur-→u(5;2) est un vecteur directeur de (d). (vecteur de coordonn´ees (-b;a)) et le vecteur -→n(2;-5) est un vecteur normal `a la droite (d)Remarque

Le vecteur

-→v=-2-→nest aussi un vecteur normal `a (d) et on a alors-→v(-4;10).4D´eterminer une ´equation cart´esienne d"une perpendiculaire

4.1 M´ethode

On veut d´eterminer une ´equation de la droite (d?) perpendiculaire `a (d) et passant parA(xA;yA).M´ethode 1 : en utilisant un vecteur normal

•D´eterminer les coordonn´ees d"un vecteur normal -→n(x-→n;y-→n) `a la droite (d)•-→ nest un vecteur directeur de la droite (d?)

Deux possibilit´es pour utiliser le vecteur

-→n: Une ´equation de (d?) est de la formea?x+b?y+c?= 0 avecb?=-x-→neta?=y-→npuis on d´eterminec?en utilisant les coordonn´eesxAetyAdu pointA.

Soit on utilise le pointM(x;y)?(d?) avec les vecteurs--→AMet-→ncolin´eairesChapitre :Produit scalaire Page 3/8Maths premi`ere S

Premi`ere S-m´ethode Chapitre :Produit scalaireRappel :

-→u(x;y) et-→v(x?;y?) (non nuls) colin´eaires si et seulement six?y-yx?= 0M´ethode 2 : en utilisant le produit scalaire

•D´eterminer les coordonn´ees d"un vecteur -→udirecteur de la droite (d)•SoitM(x;y) un point de (d?). --→AM(x-xA;y-yA) et--→AMet-→usont orthogonaux. --→AM.-→u= 0 (x-xA)x-→u+ (y-yA)y-→u= 0 D´evelopper et r´eduire pour obtenir une ´equation de (d?)

4.2 Exemple : perpendiculaire `a une droite d´efinie par une ´equation?Exemple 3 : Droite d´efinie par une ´equationD´eterminer une ´equation cart´esienne de la droite (d?) passant parA(2;-3) et perpendiculaire

`a (d) d"´equation 2x-5y+ 2 = 0Avec la m´ethode 1 : ?Solution: (d) a pour ´equation 2x-5y+ 2 = 0 donc-→n(2;-5) est vecteur normal `a la droite (d).(vecteur de coordonn´ees(a;b)aveca= 2etb=-5) et est un vecteur directeur de (d?) donc (d?) a une ´equation de la forme-5x-2y+c?= 0

A(2;-3)?(d?)?? -5xA-2yA+c?= 0

?? -5×2-2×(-3) +c?= 0 ?? -4 +c?= 0 ??c?= 4-5x-2y+ 4 = 0 est une ´equation de (d?)Remarque On peut aussi ´ecrire que siM(x;y) appartient `a (d?),--→AMet-→nsont colin´eaires.? x --→AM=xM-xA=x-2 y --→AM=yM-yA=y-(-3) =y+ 3 donc--→AM(x-2;y+ 3) --→AMet-→ncolin´eaires ??x--→AMy-→n-y--→AMx-→n= 0 ??(x-2)×(-5)-(y+ 3)×2 = 0 ?? -5x+ 10-2y-6 = 0 ?? -5x-2y+ 4 = 0Chapitre :Produit scalaire Page 4/8Maths premi`ere S Premi`ere S-m´ethode Chapitre :Produit scalaireM´ethode 2 : Utiliser le produit scalaire ?Solution: (d) a pour ´equation 2x-5y+ 2 = 0 donc-→u(5;2) est un vecteur directeur de (d) M(x;y) appartient `a (d)??--→AMet-→usont orthogonaux.? x --→AM=xM-xA=x-2 y --→AM=yM-yA=y-(-3) =y+ 3 donc--→AM(x-2;y+ 3) --→AMet-→uorthogonaux ??x--→AMx-→u+y--→AMy-→u= 0 ??(x-2)×5 + (y+ 3)×2 = 0 ??5x-10 + 2y+ 6 = 0 ??5x+ 2y-4 = 05x+ 2y-4 = 0 est une ´equation de (d?)Remarque Les deux ´equations obtenues avec les m´ethodes 1 et 2 sont ´equivalentes. Il suffit de multiplier les deux membres de la premi`ere par-1 pour obtenir la seconde

5x+ 2y-4 = 0?? -5x-2y+ 4 = 0Contrˆole du r´esultat avec GEOGEBRA :

•Tracer (d) en saisissant son ´equation dans la barre de saisie (en bas de la fenˆetre)•Placer le point A

•En utilisant la commande "tracer une perpendiculaire", pointer sur A puis sur (d) et la

perpendiculaire `a (d) passant parAs"affiche avec une ´equation dans la fenˆetre alg`ebreChapitre :Produit scalaire Page 5/8Maths premi`ere S

Premi`ere S-m´ethode Chapitre :Produit scalaire4.3 Exemple : perpendiculaire `a une droite d´efinie par deux points

?Exemple 4 : Droite d´efinie par deux pointsOn donneA(2 : 3) etB(-3;1).

D´eterminer une ´equation cart´esienne de la droite (d?) passant parC(1;4) et perpendiculaire `a

(AB) .Cet exemple est identique au pr´ec´edent, le rˆole du vecteur -→u´etant jou´e ici par le vecteur-→ABqui est un vecteur directeur de la droite (AB).Avec la m´ethode 1 : ?Solution:? x -→AB=xB-xA=-3-2 =-5 y -→AB=yB-yA= 1-3 =-2 donc-→AB(-5;-2) donc -→n(2;-5) est vecteur normal `a la droite (d). donc (d?) a une ´equation de la forme-5x-2y+c?= 0

C(1;4)?(d?)?? -5xA-2yA+c?= 0

?? -5×1-2×4 +c?= 0 ?? -13 +c?= 0 ??c?= 13-5x-2y+ 13 = 0 est une ´equation de (d?)Remarque Chapitre :Produit scalaire Page 6/8Maths premi`ere S

Premi`ere S-m´ethode Chapitre :Produit scalaireOn peut aussi ´ecrire que siM(x;y) appartient `a (d?),--→AMet-→nsont colin´eaires.

(voir remarque de l"exemple pr´ec´edent (m´ethode 1)Avec la m´ethode 2 : utilisation du produit scalaire

?Solution:? x -→AB=xB-xA=-3-2 =-5 y -→AB=yB-yA= 1-3 =-2 donc-→AB(-5;-2) est un vecteur directeur de (d) SiM(x;y) appartient `a (d?),--→CMet-→ABsont orthogonaux.? x --→CM=xM-xC=x-1 y --→CM=yM-yC=y-4 donc--→CM(x-1;y-4) --→CMet-→ABsont orthogonaux ??x--→CMx-→AB+y--→CMy-→AB= 0 ??(x-1)×(-5) + (y-4)×(-2) = 0 ?? -5x+ 5-2y+ 8 = 0

?? -5x-2y+ 13 = 0-5x-2y+ 13 = 0 est une ´equation de (d?)Contrˆole du r´esultat avec GEOGEBRA :

•Placer les pointsAetBpuis tracer la droite passant par A et B (commande "droite passant

par deux points")•Placer le pointC•En utilisant la commande "tracer une perpendiculaire", pointer surCpuis sur (AB) et la

perpendiculaire `a (AB) passant parCs"affiche avec une ´equation dans la fenˆetre alg`ebreChapitre :Produit scalaire Page 7/8Maths premi`ere S

Premi`ere S-m´ethode Chapitre :Produit scalaireChapitre :Produit scalaire Page 8/8Maths premi`ere S

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