[PDF] REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS





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vocabulaire: normal orthogonal

http://maths.cercle.pagesperso-orange.fr/TS%20PDF/TS-cours-PRODUIT%20SCALAIRE.pdf



VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE

- Deux droites perpendiculaires sont orthogonales. La réciproque n'est pas vraie car deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires et 



Calcul dune normale

Liste plus complète des propriétés du produit scalaire de vecteurs u v et w. le produit vectoriel de U et V est un vecteur perpendiculaire à U et V ...



Premi`ere S-méthode Table des mati`eres 1 Déterminer si deux

vecteur normal `a une droite-droites perpendiculaires. Table des mati`eres 4 Déterminer une équation cartésienne d'une perpendiculaire.



Chapitre 2.3 – Le produit vectoriel

produit des modules des composantes perpendiculaires entre les vecteurs A v et B v dont l'orientation du vecteur résultant se doit d'être perpendiculaire à 



1 Courbes de niveau : 2 Dérivées partielles

Proposition 1 En chaque point (x y)



Produit scalaire dans lespace 1. Produit scalaire dans lespace 2

Deux plans sont dits perpendiculaires si l'un des deux plans contient une droite perpendiculaire à l'autre plan. Théorème. Deux plans et de vecteurs normaux 



REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS

Propriété : Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est orthogonal à un vecteur normal de l'autre. - Admis -. Méthode : Démontrer que 



VECTEURS ET DROITES

( ) un vecteur directeur de D. Un point M(x ; y) appartient à la droite D si et seulement si les vecteurs AM ! "!!



Vecteurs partie 2

On peut donc exprimer le vecteur U en composantes selon i j et k sera perpendiculaire à chacun des vecteurs U et V. Cela.



[PDF] VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE - maths et tiques

Théorème : Un vecteur non nul {? de l'espace est normal à un plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P Au XIXe siècle le vecteur 



[PDF] VECTEURS ET DROITES - maths et tiques

VECTEURS ET DROITES En 1837 le mathématicien italien Giusto BELLAVITIS ci-contre (1803 ; 1880) publie des travaux préfigurant la notion de vecteurs



[PDF] vecteur normal `a une droite-droites perpendiculaires

Rappels : Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c =0(a b et c réels avec (a;b) = (0; 0) ) et le vecteur ?? u (?b;a) est 



[PDF] VECTEURS - Pierre Lux

z designent des vecteurs et a b et k désignent des réels v de directions perpendiculaires sont appelés vecteurs orthogonaux et l'on écrit



[PDF] MAT 1739 Vecteurs

Tout vecteur peut être décomposé en composantes perpendiculaires le plus souvent horizon- tales et verticales Supposons qu'on a un vecteur v qui forme un 



[PDF] Vecteurs : Produit scalaire et produit vectoriel

Définition • Le produit scalaire de deux vecteurs et noté est un scalaire égal au produit des normes des deux vecteurs par le cosinus de leur angle



[PDF] Géométrie Rappels : Vecteur directeur dune droite / équations de

Théorème : Deux droites sont perpendiculaires si et seulement leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux En particulier : Deux droites d'équation réduite y= 



[PDF] Chapitre 1 Géométrie vectorielle euclidienne du plan et de lespace

Deux vecteurs u et v sont dits orthogonaux (et on note u ? v) si < uv >= 0 Intuitivement deux vecteurs sont orthogonaux s'ils forment un angle droit 



[PDF] Calcul dune normale

le produit vectoriel de U et V est un vecteur perpendiculaire à U et V dont la grandeur est donnée par: U x V = U * V * sin ß où ß est l'angle entre 



[PDF] Rappels sur les vecteurs - Normale Sup

Le vecteur nul est ainsi colinéaire et orthogonal à tout vecteur puisquiil peut prendre toutes les directions 2 Addition vectorielle Pour '**/:/544+8 deux 

  • Comment savoir si des vecteurs sont perpendiculaire ?

    D'après le cours, deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.

  • Comment montrer que deux droites sont perpendiculaires avec les vecteurs ?

    Deux vecteurs ?u et ?v de l'espace sont orthogonaux si et seulement si ?u. ?v=0. . Deux droites D et ? de vecteurs directeurs respectifs ?u et ?v sont dites orthogonales lorsque ?u et ?v le sont.

  • Comment savoir si u et v sont orthogonaux ?

    Points clés

    1Le produit scalaire des vecteurs ? �� et ? �� est défini comme ? �� ? ? �� = ? ? ? �� ? ? × ? ? ? �� ? ? × �� , c o s où �� est l'angle entre les deux vecteurs ? �� et ? �� .2Le produit scalaire de vecteurs en 3D peut être calculé en utilisant les composantes des vecteurs : ? �� ? ? �� = �� �� + �� �� + �� �� .
1

REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES

ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES

Le cours en vidéo : https://youtu.be/naOM6YG6DJc Partie 1 : Représentation paramétrique d'une droite Propriété : L'espace est muni d'un repère !;⃗,⃗, Soit une droite passant par un point et de vecteur directeur ⃗

On a :

∈⟺ Il existe un réel tel que Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite .

Démonstration :

∈⟺ ⃗ et sont colinéaires ⟺Il existe un réel tel que

Exemple :

La droite passant par le point

1 -2 3 et de vecteur directeur ⃗ 4 5 -3 a pour représentation paramétrique : =1+4 =-2+5 =3-3 Méthode : Utiliser la représentation paramétrique d'une droite

Vidéo https://youtu.be/smCUbzJs9xo

Soit les points

2 3 -1 et 1 -3 2

Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite () avec le plan de repère

2

Correction

- On commence par déterminer une représentation paramétrique de la droite () : Un vecteur directeur de () est : 1-2 -3-3 2- -1 -1 -6 3 La droite () passe par le point 2 3 -1 Une représentation paramétrique de () est : =2- =3-6 =-1+3 - Soit le point d'intersection de la droite () avec le plan de repère Alors =0 car appartient au plan de repère

Donc -1+3=0 soit =

Et donc :

=2- 1 3 5 3 =3-6× 1 3 =1 =0

Le point a donc pour coordonnées Q

5 3 1 0 R.

Partie 2 : Équation cartésienne d'un plan

Propriété : L'espace est muni d'un repère orthonormé !;⃗,⃗,

Un plan de vecteur normal ⃗ non nul admet une équation de la forme +++=0, avec ∈ℝ.

Réciproquement, si , et sont non tous nuls, l'ensemble des points

tels que +++=0, avec ∈ℝ, est un plan. Cette équation s'appelle équation cartésienne du plan .

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/GKsHtrImI_o

- Soit un point de . et ⃗ sont orthogonaux .⃗=0 =0 3 =0 ⟺+++=0 avec =-

- Réciproquement, supposons par exemple que ≠0 (, et sont non tous nuls).

On note E l'ensemble des points

vérifiant l'équation +++=0

Alors le point Q

0 0 R vérifie l'équation +++=0. Et donc ∈E.

Soit un vecteur ⃗

. Pour tout point , on a : .⃗=V+

W+

-0 -0

E est donc l'ensemble des points

tels que .⃗=0. Donc l'ensemble E est le plan passant par et de vecteur normal ⃗.

Exemple : Le plan d'équation cartésienne -+5+1=0 a pour vecteur normal ⃗

1 -1 5 Méthode : Déterminer une équation cartésienne de plan

Vidéo https://youtu.be/s4xqI6IPQBY

Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan passant par le

point -1 2 1 et de vecteur normal ⃗ 3 -3 1

Correction

Une équation cartésienne de est de la forme 3-3++=0. Le point appartient à donc ses coordonnées vérifient l'équation : 3× -1 -3×2+1+=0 donc =8. Une équation cartésienne de est donc : 3-3++8=0. Propriété : Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est orthogonal

à un vecteur normal de l'autre.

4 Méthode : Démontrer que deux plans sont perpendiculaires

Vidéo https://youtu.be/okvo1SUtHUc

Dans un repère orthonormé, les plans et ′ ont pour équations respectives :

2+4+4-3=0 et 2-5+4-1=0.

Démontrer que les plans et ′ sont perpendiculaires.

Correction

Les plans et ′sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l'un est

orthogonal à un vecteur normal de l'autre. Un vecteur normal de est ⃗ 2 4 4 et un vecteur normal de ′est ′ 2 -5 4 =2×2+4× -5 +4×4=0

Les vecteurs ⃗ et ′

sont orthogonaux donc les plans et ′sont perpendiculaires.

Partie 3 : Applications

Méthode : Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan

Vidéo https://youtu.be/BYBMauyizhE

Dans un repère orthonormé, le plan a pour équation 2-+3-2=0.

Soit

1 2 -3 et -1 2 0 a) Démontrer que la droite () et le plan sont sécants. b) Déterminer leur point d'intersection.

Correction

a) Un vecteur normal de est ⃗ 2 -1 3 () et sont sécants si ⃗ et ne sont pas orthogonaux.

On a :

-2 0 3

Comme :

.⃗=-2×2+3×3≠0, on conclut que () et le plan ne sont pas

parallèles et donc sont sécants. b) Une représentation paramétrique de la droite () est : =1-2 =2 =-3+3 5

Le point

, intersection de () et de , vérifie donc le système suivant : Z =1-2 =2 =-3+3

2-+3-2=0

On a donc : 2

1-2

-2+3 -3+3 -2=0

5-11=0 soit =

D'où :

=1-2× 11 5 17 5 =2 =-3+3× 11 5 18 5 Ainsi la droite () et le plan sont sécants en 17 5 2 18 5 Méthode : Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite

Vidéo https://youtu.be/RoacrySlUAU

Dans un repère orthonormé, on donne les points 1 0 2 -1 2 1 et 0 1 -2

Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur la droite ().

Correction

On appelle le projeté orthogonal du point sur la droite ().

On a :

-2 2 -1 Une représentation paramétrique de () est : =1-2 =2 =2-

Le point appartient à la droite () donc ses coordonnées vérifient les équations du

système paramétrique de ().

On a ainsi :

1-2

2

2-

et donc

1-2

2-1

2-+2

1-2

2-1

4-

Or,

et sont othogonaux, donc : =0

1-2

-2

2-1

×2+

4-

-1 =0 -2+4+4-2-4+=0

9-8=0

6 8 9

Le point , projeté orthogonal du point sur la droite (), a donc pour coordonnées :

1-2×

8 9 2× 8 9 2- 8 9 7 9 16 9 10 9 Méthode : Déterminer l'intersection de deux plans - NON EXIGIBLE -

Vidéo https://youtu.be/4dkZ0OQQwaQ

Dans un repère orthonormé, les plans et ′ ont pour équations respectives :

-+2+-5=0 et 2-+3-1=0.

1) Démontrer que les plans ′ sont sécants.

2) Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection .

Correction

1) et′ sont sécants si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.

Un vecteur normal de est ⃗ -1 2 1 et un vecteur normal de ′est ′ 2 -1quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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