[PDF] LANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.)

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L'ANALYSE EN

COMPOSANTES PRINCIPALES

(A.C.P.)

Pierre-Louis GONZALEZ

2

Données

n individus observés sur p variables quantitatives. L'A.C.P. permet d'explorer les liaisons entre variables et les ressemblances entre individus.

Résultats

Visualisation des individus

(Notion de distances entre individus)

Visualisation des variables

(en fonction de leurs corrélations)

INTRODUCTION

3 Mesurer la qualité des représentations obtenues : critère global critères individuels " Donner des noms aux axes »

Expliquer la position des individus

Utilisation éventuelle de variables supplémentaires (illustratives)

INTERPRÉTATION DES RÉSULTATS

4 X 1 X 2 X j X p x 11 x 21
x i 1 x n1 x j 1 x j 2 x ij x nj x p 1 x p 2 x ip x n p n

Variable X

j p individu e i X (n,p)

I. L'ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES

LE PROBLÈME

1. LES DONNÉES

p variables quantitatives observées sur n individus.

INDIVIDU = Élément de R

p

VARIABLE = Élément de R

n 5 On cherche à représenter le nuage des individus.

A chaque individu noté e

i , on peut associer un point dans R p = espace des individus. A chaque variable du tableau X est associé un axe de R p X 3 x i3 e i x i2 X 2 X 1 x i1

Impossible à

visualiser dès que p > 3. 6 On cherche une représentation des n individus , dans un sous-espace F k de R p de dimension k ( k petit 2, 3 ...; par exemple un plan) Autrement dit, on cherche à définir k nouvelles variables combinaisons linéaires des p variables initialesqui feront perdre le moins d'information possible.2. PRINCIPE DE L'A.C.P. Ces variables seront appelées "composantes principales les axes qu'elles déterminent : "axes principaux les formes linéaires associées : "facteurs principaux 7

ON VISUALISE

X 1 X 2 R p X i axe 3axe 1axe 2 F 3 axes principaux 8 " Perdre le moins d'information possible F k devra être " ajusté » le mieux possible au nuage des individus: la somme des carrés des distances des individus à F k doit être minimale. d F k est le sous-espace tel que le nuage projeté ait une inertie(dispersion) maximale. et sont basées sur les notions de : distance projection orthogonale 9 e j f j f i 2 i j i j 1 e i

La distance entre f

i et f j est inférieure ou

égale à celle entre e

i et e j 10

3. LE CHOIX DE LA DISTANCE ENTRE INDIVIDUS

y B y A x A x B AB

Dans le plan:

dAB x x y y

BA BA222

Dans l'espace R

p à p dimensions, on généralise cette notion : la distance euclidienne entre deux individus s'écrit ex iii ip 12 x . x.. ex jjjjpquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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