FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
C'est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu'il s'agisse de l'initiale de son nom mais peut être car e est la première lettre du mot exponentiel.
Cours sur les fonctions exponentielles et logarithmes - Bacamaths
FONCTIONS EXPONENTIELLES - FONCTIONS LOGARITHMES. 1. De la fonction exponentielle (de base e) à la fonction logarithme népérien. 1.1. Théorème. La fonction
FICHE DE RÉVISION DU BAC
Plan du cours. 1. Fonctions exponentielles. 2. Fonctions logarithmes La fonction logarithme népérien est la bijection réciproque de la fonction exponentielle.
Exponentielle et logarithme
La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques : leurs courbes.
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la fonction ln est concave et ln x ⩽ x − 1 (pour tout x > 0). Page 2. FONCTIONS USUELLES. 1. LOGARITHME ET EXPONENTIELLE. 2.
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ à valeurs dans. 0;+∞⎤⎦⎡⎣ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires
T ES Fonction exponentielle
Le fonction exponentielle notée exp
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La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques : leurs courbes
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Avec la calculatrice il est possible d'observer l'allure de la courbe représentative de la fonction exponentielle : Remarque : On verra dans le paragraphe II
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Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) ? ln(b) ln(1/a) = ? ln(a) ln(
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Le présent cours vous fera découvrir deux nouvelles fonctions liées exponentiel et logarithmique et nous apprendrons à calculer le logarithme d'un
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Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) ? ln(b) ln(1/a) = ? ln(a) ln( ?a) = ln(a)/2 ln(a?) = ?
Comment passer du logarithme à l'exponentielle ?
Pour > 0 et une base > 0 , ? 1 , la forme exponentielle = ? est équivalent à la forme logarithmique = l o g ? , ce qui nous permet de passer d'une forme à l'autre une fois que l'on identifie , et .Quelle est la valeur de ln e ?
Le nombre e est la base des logarithmes naturels, c'est-à-dire le nombre défini par ln(e) = 1. Cette constante mathématique, également appelée nombre d'Euler ou constante de Néper en référence aux mathématiciens Leonhard Euler et John Napier, vaut environ 2,71828.Comment savoir si une fonction logarithme est croissante ou Decroissante ?
Ainsi, son domaine est l'intervalle ]0,?[. 0 , ? [ . Si c>1, la fonction est croissante. Si 0<c<1, 0 < c < 1 , la fonction est décroissante.- Étant la réciproque de la fonction exponentielle, la fonction ln admet une courbe qui lui est symétrique par rapport à la droite d'équation y=x (parfois appelée la première bissectrice). Les courbes des fonctions ln et exp sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.
Rappels sur la fonction exponentielle
Fonction logarithme népérien
Table des matières
1 Rappels sur la fonction exponentielle2
1.1 Définition et propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Courbe représentative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Fonction logarithme népérien4
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Représentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Variation de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Propriétés algébriques de la fonction ln6
3.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Quotient, inverse, racine carrée et puissance. . . . . . . . . . . . . . 6
4 Étude de la fonction ln7
4.1 Dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Limite en 0 et en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3 Tableau de variation et courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.4 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.5 Dérivée de la fonction lnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.6 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Le logarithme décimal11
5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.1 Nombre de chiffres dans l"écriture décimale. . . . . . . . . 12
5.2.2 En chimie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.3 En acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
PAUL MILAN1TERMINALE MATHS SPÉ
1 RAPPELS SUR LA FONCTION EXPONENTIELLE
1 Rappels sur la fonction exponentielle
1.1 Définition et propriétés
Définition 1 :La fonction exponentielle, notée exp, est l"unique fonction déri- vable surRégale à sa dérivée et vérifiant : exp(0) =1. Remarque :En admettant l"existence d"une telle fonction, on montre l"unicité en montrant que la fonction exp ne s"annule pas surR. (cf cours première spé)Théorème 1 :Propriétés
Relation fonctionnelle :?a,b?R, exp(a+b) =exp(a)×exp(b).Positivité :?x?R, exp(x)>0
Monotonie : La fonction exp est croissante surR Notation d"Euler : On pose exp(x) =exavece=exp(1)≈2,718 ?a,b?R:ea+b=eaeb;e-a=1 ea;ea-b=eaeb;ena= (ea)n,n?N Remarque :La relation fonctionnelle pourrait servir de définition à la fonction exponentielle : "unique fonction qui prend la valeur 1 en 0 et qui transforme une somme en produit».Algorithme :On obtient une approximation
deepar l"approximation affine de l"exponen- tielle ena:ea+p≈ea(1+p)oùpest le pas. e(0.000 1) renvoie 2,718 defe(p) : e=1 foriin range(int(1/p) ) : e=e?(1+p) returneThéorème 2 :Équation et inéquation
De la monotonie de la fonction exp, on a :ea=eb?a=b De la croissance de la fonction exp, on a :ea>eb?a>bRésoudre dansR:e2x2+3=e7x
e2x2+3=e7xmonotonie?2x2+3=7x?2x2-7x+3=0
Δ=25=52, d"oùx1=7+5
4=3 oux2=7-54=12soitS=?12; 3?
Résoudre dansR:e3x?ex+6
e3x?ex+6exp??3x?x+6?2x?6?x?3 soitS=]-∞; 3]
PAUL MILAN2TERMINALE MATHS SPÉ
1.2 LIMITES
1.2 Limites
Théorème 3 :On a : limx→+∞ex= +∞et limx→-∞ex=0 Démonstration :Soit la fonctionfsuivante :f(x) =ex-x. fest dérivable surR:f?(x) =ex-1, et de la croissance de la fonction exp f ?(x)>0?x>0 etf?(x)<0?x<0On obtient le tableau de variations suivant :
Du tableau de variation on en déduit que :
?x?R,f(x)>0 doncex>x lim x→+∞x= +∞, par comparaison : limx→+∞ex= +∞.x f ?(x) f(x) -∞0+∞ 0+ 11 En-∞, on poseX=-x, d"où : limx→-∞ex=limX→+∞e-X=limX→+∞1eX=0.1.3 Courbe représentative
D"après les résultats obtenus, on a le tableau de variation et la courbe suivante : x e x e x 00 0 1 1 e T0:y=x+1
T1:?y=e x
passe par l"origine1 2-1-2-31
234e OT0 T1 y=ex
1.4 Des limites de référence
Théorème 4 :On a : limx→0e
x-1x=1 Démonstration :Découle de la définition de la dérivée en 0 de exp. lim x→0e x-e0 x=exp?(0) =exp(0) =1Théorème 5 :Croissance comparée
?n?N, limx→+∞e x xn= +∞et limx→-∞xnex=0PAUL MILAN3TERMINALE MATHS SPÉ
2 FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Démonstration :On a montré au paragraphe 1.2 que :?x?R,ex>x.Pourx>0, on poseX=x
n+1, la fonction puissance étant croissante surR+: eX>X?ex
n+1>xn+1↑n+1?? ex n+1? n+1 >xn+1(n+1)n+1?ex>xn+1(n+1)n+1On divise parxn>0,ex
xn>x(n+1)n+1or limx→+∞x(n+1)n+1= +∞.Par comparaison, on en déduit que : lim
x→+∞e x xn= +∞. Pour la deuxième limite, on poseX=-x, d"où : lim eX=0 Remarque :: On retiendra que : " en l"infini,exl"emporte surxn».2 Fonction logarithme népérien
Avant propos
La création de la fonction logarithme népérien est, à l"origine,antérieure à la fonction exponentielle bien que dans notre progression elle suive l"étude de la fonction exponentielle. La fonction logarithme a été créée par un drapier écos- sais du XVII esiècle. Ce drapier, Néper, cherche une fonction pour simplifierles longs calculs des astronomes, des navigateurs et des financiers.Il crée alors une fonctionfqui transforme le produit en somme :f(ab) =f(a) +f(b).2.1 Définition
Définition 2 :On appelle fonction logarithme népérien notée ln, la fonction définie de]0 ;+∞[surRtelle que :x=ey?y=lnx On dit que la fonction ln est lafonction réciproquede la fonction exponentielle.On a alors : ln1=0 et lne=1 ainsi que
?x?R, lnex=x?x?]0 ;+∞[,elnx=x
Remarque :Cette fonction existe car la fonction exponentielle est une fonc- tion continue, strictement croissante à valeur dans]0 ;+∞[, donc d"après le TVI l"équationx=ey, d"inconnueyavecx?]0 ;+∞[, admet une unique solution lnx. ?Faire attention à l"ensemble de définition de ln :]0 ;+∞[.Démonstration :1=e0donc ln1=0 ete=e1donc lne=1
?y?R,x=eyln?lnx=lneyy=lnx?y=lney ?x?]0 ;+∞[,y=lnxexp?ey=elnxx=ey?x=elnxExemple :lne-2=-2 eteln5=5
PAUL MILAN4TERMINALE MATHS SPÉ
2.2 REPRÉSENTATION
2.2 Représentation
Théorème 6 :Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. Démonstration :SoitClnetCexples courbes respectives des fonctions ln et exp.Soitx?]0;+∞[ety?R
M(x;y)?Cln, doncy=lnxsoitx=ey, d"où M"(y;x)?Cexp. C lnetCexpsont donc symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. e e ClnCexpy=x
xyyx M" M O 112.3 Variation de la fonction logarithme
Théorème 7 :La fonction ln est strictement croissante sur]0 ;+∞[ Démonstration :Soita,b?]0 ;+∞[etaPAUL MILAN5TERMINALE MATHS SPÉ
3 PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DE LA FONCTION LN
Exemples :
Résoudre ln(2-2x) =1.
Validité : 2-2x>0?x<1 doncDf=]-∞; 1[
x?Df, ln(2-2x) =1?ln(2-2x) =lne?2-2x=e?x=2-e 2 2-e2<0?DfdoncS=?2-e2?
Résoudre ln(2x+1)?-1
Validité : 2x+1>0?x>-1
2doncDf=?
-12;+∞? x?Df, ln(2x+1)?-1?ln(2x+1)?lne-1?2x+1?e-1? x?e-1-12×e?x?1-e2e≈ -0,32
1 2 1-e 2eDfSS=?
-12;1-e2e?3 Propriétés algébriques de la fonction ln
3.1 Relation fonctionnelle
Théorème 8 :Pour tousa,b?]0 ;+∞[: lnab=lna+lnb Démonstration :elna+lnb=elna×elnb=ab=elnabdoncelnab=elna+lnb. De la monotonie de la fonction exp : lnab=lna+lnb. Remarque :Cette propriété est à l"origine de la fonction logarithme.Exemple :ln6=ln(2×3) =ln2+ln3
3.2 Quotient, inverse, racine carrée et puissance
Théorème 9 :Pour tousa,b?]0 ;+∞[, on a :lnan=nlnaavecn?N
Remarque :On peut considérer que⎷a=a12car ln⎷a=12lna Démonstration :De la monotonie de l"exponentielle :PAUL MILAN6TERMINALE MATHS SPÉ
Poura=1 on a alors ln1b=ln1-lnb=-lnb
Dea=⎷a×⎷adonc d"après la relation fonctionnelle, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=12lna Par récurrence à l"aide de la relation fonctionnelle : lnan=nlna. Exemples :Voici 3 exemples d"utilisation de ces propriétés.ln50=ln(2×52) =ln2+ln52=ln2+2ln5
ln⎷12=12ln12=12ln(22×3) =12(2ln2+ln3) =ln2+12ln3Déterminer l"entierntel que 2n>10 000
De la croissance de la fonction ln : ln2
n>ln104?nln2>4ln10On obtient alors :n>4ln10
ln2or4ln10ln2?13.29 doncn?14 Résoudre l"équation : ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnxValidité :
?2x-3>0 6-x>0 2 x<6 x>0?Df=?3 2; 6? x?Df, ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnx×2?ln(2x-3) =2ln(6-x)-lnx?
lnx+ln(2x-3) =2ln(6-x)?ln[x(2x-3)] =ln[(6-x)2]? x(2x-3) = (6-x)2?2x2-3x=x2-12x+36?x2+9x-36=0Δ=225=152d"oùx1=-9+15
2=3?Dfoux2=-9-152=-12 /?Df
on conclut par :S={3}4 Étude de la fonction ln
4.1 Dérivée
Théorème 10 :La fonction ln est dérivable sur]0;+∞[et :(lnx)?=1x Démonstration :On admet que la fonction ln est dérivable sur]0;+∞[ Soit la fonctionfdéfinie sur]0 ;+∞[par :f(x) =elnxouf(x) =x fest dérivable comme composée de fonctions dérivables : f ?(x) =ln?x×elnx=xln?xouf?(x) =1On a doncxln?x=1?ln?x=1
xPAUL MILAN7TERMINALE MATHS SPÉ
4 ÉTUDE DE LA FONCTION LN
4.2 Limite en 0 et en l"infini
Théorème 11 :On a : limx→+∞lnx= +∞et limx→0+lnx=-∞Démonstration :
Pour montrer la limite en+∞, on revient à la définition :SoitM>0 : lnx>Mexp??x>eM. On a alors :
Tout intervalle]M;+∞[contient toute les valeur de lnxsix?]eM;+∞[.Conclusion : lim
x→+∞lnx= +∞. En 0+, on poseX=1x, d"où six→0+alorsX→+∞. On obtient alors : lim x→0+lnx=limX→+∞ln1X=limX→+∞-lnX=-∞
4.3 Tableau de variation et courbe
D"après les résultats obtenus, on a le tableau de variation et la courbe suivante : x 1 x lnx0+∞
1 0 e 1 T1:y=x-1 Te:???y=1
ex passe par l"origine1 2 3 4 5 6 7
-1 -2 -31 2e y=lnx T1Te O4.4 Des limites de référence
Théorème 12 :On a : limx→0ln(1+x)x=1
Démonstration :Cela découle de la dérivée de ln enx=1 : ln)?(1) =1 1=1 ln)?(1) =limh→0ln(1+h)-ln1 h=limh→0ln(1+h)h??????? limh→0ln(1+h) h=1PAUL MILAN8TERMINALE MATHS SPÉ
4.5 DÉRIVÉE DE LA FONCTION LNu
Théorème 13 :Croissance comparée
?n?N?, limx→+∞lnx xn=0 et limx→0+xnlnx=0Démonstration :
On revient aux limites de croissance comparée de exp : limx→+∞e xx= +∞.On pose :X=lnxn??
xn=eXX=nlnx????x
n=eX lnx=X n Six→+∞alorsxn→+∞donc par compositionX=lnxn→+∞D"où lim
x→+∞lnx xn=limX→+∞1n×XeX=0 car limx→+∞e xx= +∞ En 0+, on pose :X=1x?x=1X. Six→0+alorsX→+∞.D"où lim
x→0+xnlnx=limX→+∞1Xnln1X=limX→+∞-lnXXn=0
Remarque :On retiendra que : "en+∞et en 0,xnl"emporte sur lnx».Exemple :Déterminer limx→+∞(x-lnx)
Limiteindéterminéedelaforme"+∞-∞». Onfactorise:x-lnx=x? 1-lnx x? lim x→+∞x= +∞ lim x→+∞lnx x=0(n=1)????? ?Par somme et produit, on a : lim x→+∞(x-lnx) = +∞4.5 Dérivée de la fonction lnu
Théorème 14 :Soit une fonctionudérivable et strictement positive surD. La fonction lnuest alors dérivable surDet :(lnu)?=u? u. Démonstration :Dérivée de la composition de fonctionupar ln. Remarque :Les fonctionsuet lnuont le même sens de variation.En effet commeu>0,(lnu)?a le même signe queu?.
Exemple :Déterminer la dérivée defdéfinie surRpar :f(x) =ln(1+x2). fest dérivable surR, car pour toutx?R, 1+x2>0 etf?(x) =2x 1+x2.PAUL MILAN9TERMINALE MATHS SPÉ
4 ÉTUDE DE LA FONCTION LN
4.6 Étude d"une fonction
Soit la fonctionfdéfinie sur]0 ;+∞[par :f(x) =x2-4x-4lnx1) Étudier les limites defen 0 et+∞
2) Déterminerf?(x)et dresser le tableau de variation de la fonctionf.
3) En déduire, en se justifiant, le nombre de solutions de l"équationf(x) =0.
4) À l"aide d"une calculatrice donner un encadrement à 10
-3de ces solutions.1) a) Limite en 0 :limx→0+x2-4x=0
lim x→0+-4lnx= +∞???Par somme
limx→0+f(x) = +∞ b) Limite en+∞: forme indéterminée "+∞-∞». On factorise parx: f(x) =x2? 1-4 x-4×lnxx2?limx→+∞x2= +∞ lim x→+∞1-4x=1 lim x→+∞lnxPar produit et somme
lim x→+∞f(x) = +∞2)fest dérivable sur]0 ;+∞[comme somme de fonctions dérivables :
f ?(x) =2x-4-4 x=2x2-4x-4x=2(x2-2x-2)x f?(x) =0x>0?x2-2x-2=0 , on aΔ=12= (2⎷3)2 on obtient :x1=2+2⎷ 32=1+⎷3 oux2=1-⎷3<0 non retenu.
signe def(x) =signe de(x2-2x-2)avecx>0
on obtient alors le tableau de variation suivant : x f ?(x) f(x)01+⎷3+∞
-0+ ≈ -7,48≈ -7,48 α1 0 α2 03) Surlesintervalles I
1=]0; 1+⎷
3]et I2= [1+⎷3;+∞[lafonctionfestconti-
nue, strictement monotone et change de signe donc, d"après le TVI, l"équation f(x) =0 admet une unique solutionα1etα2sur chacun de ces intervalles.4) À l"aide de l"algorithme de dichotomie, on obtient les encadrements suivants :
0,600<α1<0,601 et 5,261<α2<5,262 à 10-3près
PAUL MILAN10TERMINALE MATHS SPÉ
À titre indicatif, voici la courbe de la fonctionf.1 2 3 4 5 6
-2 -4 -6 -82 46O Cf α1 ?α21+⎷3 -7,48
5 Le logarithme décimal
Avant propos
Le logarithme décimal se prête beaucoup mieux aux calculs algébriques que le lo- garithme népérien. C"est Henry Briggs, contrairement à Néper, qui a choisi cette base pour établir une table de logarithmes qui jusqu"à l"apparition des calcula- trices scientifiques au début des années 80 était la panoplie de l"étudiant scienti- fique. Ainsi sa table de logarithmes et sa règle à calcul (basée sur les logarithmes décimaux) en main, l"auteur de ses lignes a pu réussir son bac. Pour l"étudiant actuel, le logarithme décimal se rencontre au physique dans des échelles de valeurs : décibel, pH d"une solution ou la magnitude d"unséisme. Bien que hors programme en math spé, il m"a semblé utile de rappeler quelques points qui serviront en physique-chimie spé ainsi que quelques exemples.5.1 Définition
Définition 3 :On appelle logarithme décimal, la fonction, notée log, définie sur]0;+∞[par : logx=lnx ln10.Sa fonction réciproque est exp
10définie surRpar : exp10(x) =10x.
Remarque :
1 ln10>0, donc log a les mêmes variations et les mêmes limites que ln.On a : log1=0 et log10=1
y=logx?x=10yainsi : log101=1, log102=2, ..., log10n=n La fonction log a les mêmes propriétés algébriques que la fonctionln. log(2.61×105) =log2,61+5log10=5???? partie entière+log2,61? mantissePAUL MILAN11TERMINALE MATHS SPÉ
5 LE LOGARITHME DÉCIMAL
Représentation de log avec log?x=1xln10et T1:y=1ln10(x-1)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-1 -21 2 Clog Oquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22[PDF] rapport de stage lycée pdf
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