Binôme de Newton PDF Factorielle. 2. Combinaison. 3. Formule

Factorielle et binôme de Newton Cours

dans un ensemble ayant n éléments. On peut établir par récurrence que pour tout n ? N et pour tous x y ? R (formule du binôme de Newton)

Binôme de Newton

Factorielle. 2. Combinaison. 3. Formule du binôme. 4. Applications trigonométriques. 5. Application aux probabilités. Aimé Lachal. Binôme de Newton

COMBINAISONS BINOME DE NEWTON

Combinaisons binôme de Newton - 1 / 4 -. COMBINAISONS

Fomule du binôme

Soit n ? N?. Les matrices 2I et N commutent (car la matrice I commute avec toutes les matrices). On peut donc appliquer la formule du binôme de Newton :.

Formule du binôme de Newton - Correction

1) Effectuer le développement de par la formule du binôme de Newton (on conservera les coefficients binomiaux sans chercher à les simplifier). On a de façon

Démonstration de la formule du binôme de Newton.

Démonstration de la formule du binôme de Newton. Proposition : Pour tous. et tout entier.

Coefficients binomiaux multinomiaux et dénombrement

1 août 2022 Coefficients binomiaux binôme de Newton et dénombrement . . . . . . . . . . . 1. 1.1. Formule du binôme de Newton .

Chapitre 2 : Nombres complexes

5 nov. 2020 Formule du binôme de Newton. Formule de l'angle multiple. Linéarisation. À venir. Chapitre 2 : Nombres complexes. Reda Chhaibi.

Exercices de mathématiques - Exo7

(aller relire certaines formules établies dans une planche précédente). 4. (**) Calculer ?n D'après la formule du binôme de NEWTON. ?n ? N

1 Formule du binôme : Application directe de la loi Binomiale 2

D'où la formule du binôme de Newton (a +b)n = n. ? k=0. ( n k. ) akbn?k. 2 Propriété n. ?. 12 de Pascal. Soit fn(x) = (1+x)n

Binôme de Newton : formule et démonstration StudySmarter

La formule du binôme entraîne que qn = (1+a)n = 1+n ·a + n·(n ?1) 2 a2 +··· ? 1+n· a Fixons N > 0 et choisissons pour entier m le plus petit entier supérieur à N/a On a alors grâce à l’inégalité précédente : n ? m =? n· a ? N =? qn ? N ce qui prouve que lim n?? qn = ? Propriétés importantes des limites

COMBINAISONS BINOME DE NEWTON - Pierre Lux

Une partie de E à p + 1 éléments de E ne contenant pas a contient p + 1 éléments choisis parmi les n éléments de E autres que a Le nombre de ces parties est donc p + 1 n On en déduit que : p + 1 n + 1 = p n + p + 1 n LE TRIANGLE DE PASCAL La deuxième formule permet de calculer les nombres p n

I - Formule du binôme de Newton

I - Formule du binôme de Newton Pour tousu 2Cv 2C et pour toutn 2N (u+v)n= ?n k=0 n k un kvk Propriété 1 : binôme de Newton Cette formule était connue bien avant Newton par les mathématiciens indiens arabes et perses dès le Xème siècle

Quels sont les cas particuliers du binôme de Newton ?

Par la suite, nous entrons dans le vif du sujet, la formule du binôme de Newton. Pour finir, nous abordons des cas particuliers du binôme de Newton : les fameuses identités remarquables. La factorielle d'un nombre entier est le produit de tous les nombres entre 1 et ce nombre, inclus.

Qu'est-ce que le binôme de Newton ?

Le binôme de Newton est un outil fondamental de l'algèbre, nécessaire pour effectuer certains calculs. Dans cette explication nous rappelons le concept de la factorielle, qui intervient dans la formule pour le binôme de Newton.

Comment pouvez-vous développer une expression à l'aide de la formule du binôme de Newton ?

Le binôme de Newton est donc une généralisation de l’identité remarquable (a+b)^2 (a+b)2. On va démontrer le résultat par récurrence. D’une part : (x+y) 0 = 1.

Comment factoriser un polynôme ?

On peut également utiliser la formule du binôme de Newton pour le processus inverse, c'est-à-dire, pour factoriser un polynôme, à condition que les coefficients respectent exactement la formule du binôme de Newton.

Binˆome de Newton

Aim´e LachalBinˆome de Newton

Sommaire

1Factorielle

2Combinaison

3Formule du binˆome

4Applications trigonom´etriques

5Application aux probabilit´es

Aim´e LachalBinˆome de Newton

1. Factorielle

Aim´e LachalBinˆome de Newton

1. Factorielle

D´efinition (Factorielle)

Soit n?N?. On appelle" factorielle »de n le nombre n! = 1×2×3× ··· ×n=n k=1k. Par convention, on pose0! = 1.Exemple (Les 10 premi`eres factorielles)

1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

5! = 1206! = 720

7! = 5040

8! = 40320

9! = 362880

10! = 3628800

Aim´e LachalBinˆome de Newton

1. Factorielle

Proposition (Permutations)

n!est le nombre depermutationsd"un ensemble contenant n el´ements.Exemples (Permutations) Casn= 3 :il y a 3! = 6 permutations de 3´el´ements.

123 132 213 231 312 321Casn= 4 :il y a 4! = 24 permutations de 4´el´ements.

1 234
1 243
1 324
1 342
1 423
1 432
2 134
2 143
2 314
2 341
2 413
2 431
3 124
3 142
3 214
3 241
3 412
3 421
4 123
4 132
4 213
4 231
4 312
4 321

Aim´e LachalBinˆome de Newton

1. Factorielle

Exemples (Factorielles)

50!
46!
= 50×49×48×47 = 5527200(2n+ 3)!(2n+ 1)!=(2n+ 3)(2n+ 2)×(2n+ 1)!(2n+ 1)!= (2n+ 3)(2n+ 2) (n+ 1)!(n-2)!+n!(n-1)!= (n+ 1)n(n-1) +n=n3 (n-1)!n!-n!(n+ 1)!=1n -1n+ 1=1n(n+ 1)(2n)!n!=(2n)(2n-1)...(n+ 1)×n!n!= (n+ 1)(n+ 2)...(2n) Pourn= 1,2,3,4 on obtient respectivement : 2,12,120,1680.Une minoration den!:pourn>10, n! =n???? >10×(n-1)???? >10×(n-2)???? >10× ··· ×10???? >10×9!>9!×10n-9Aim´e LachalBinˆome de Newton

1. Factorielle

Exemples (Factorielles)

Produit des premiers nombres pairs :partant den?

k=1(2k)= n? k=12×n? k=1k, on trouve n

k=1(2k) = 2×4×6× ··· ×(2n) =2 nn!Produit des premiers nombres impairs :partant den?

k=0(2k+ 1)×n? k=1(2k)= 1 ×2× ··· ×(2n+ 1) =(2 n+ 1)! on trouve n? k=0(2k+ 1)= 1 ×3×5× ··· ×(2n+ 1) =(2n+ 1)!2 nn!Partant de, pour toutk>1,k!>2k-1:n? k=11k!6n k=112 k-1=1-12 n1-12<11-12= 2

Aim´e LachalBinˆome de Newton

1. Factorielle

Exemple (Arrangements(facultatif))On dispose denobjets discernables. On en pr´el`eve successivementp

les uns apr

`es les autres. Il y a :nchoix possibles pour pr´elever le 1erobjet;(n-1) choix possibles pour pr´elever le 2eobjet;(n-2) choix possibles pour pr´elever le 3eobjet;...

(n-p+ 1) choix possibles pour pr´elever lepeobjet. On obtient ainsin×(n-1)×(n-2)×···×(n-p+1) pr´el`evements possibles. On an(n-1)(n-2)...(n-p+ 1) =n!(n-p)!. C"est le nombre d"arrangementsdepobjets parmin. On le noteApn.Aim´e LachalBinˆome de Newton

1. Factorielle

Exemple (Le tierc´e hippique(facultatif))Letierc´eest un principe de pari hippique dans lequel le parieur est

invit ´e`a pronostiquer les trois chevaux arriv´es en tˆete d"une course, soit dans l"ordre pour un gain maximal, soit dans un ordre diff

´erent.

Un pronostic detierc´e ordonn´erevient`a d´esigner 3 num´eros parmi n(effectif total des partants). Il y en aA3n=n×(n-1)×(n-2). Pour une course de 10 partants, il y aA310= 10×9×8 = 720 tierc´es ordonn ´es possibles, pour une course de 20 partants, il y en a A

320= 20×19×18 = 6840.Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Une´epreuve de Bernoulliest une exp´erience al´eatoire`a deux issues possibles (par exemple " succ `es » et "´echec »).Unsch´ema de Bernoulliest une r´ep´etition d"´epreuves de

Bernoulli identiques et ind

´ependantes.D´efinition (Combinaison)

Soit n?Net p? {0,1,...,n}.

On appelle" combinaison »de p parmi n le nombre de chemins dans l"arbre binaire repr

´esentatif d"un sch´ema de n´epreuves de

Bernoulli conduisant

`a p succ`es.

On note ce nombre?n

p? (" p parmi n »). ?n p? est aussi le nombre de pr

´el`evementssimultan´es(sans remise)

de p objets parmi n.

Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Arbre binaire

succ `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echec´ epreuve no1´ epreuve no2´ epreuve no3´ epreuve no4••

Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Arbre binaire : 2 succ`es sur 4 ´epreuves

Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Proposition (Combinaison)

Soit n?Net p? {0,1,...,n}. On a

?n p? =n!p!(n-p)!=n(n-1)···(n-p+ 1)p!En effet : ´etant donn´epobjets discernables pr´elev´es simultan´ement, leursp! permutations g´en`erent tous les pr´el`evements successifs pos- sibles de ces objets. Comme il y aApnpr´el`evements successifs distincts (arrangements) de pobjets parmin, il y ap! fois moins pr´el`evements simultan´es, soit A pnp!=?n p?

Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Exemple (Jeu du loto(facultatif))Le jeu duloto(version 1976) consiste`a cocher 6 num´eros sur une grille de 49 cases num

´erot´ees de 1`a 49.

Le tirage s"effectue par des pr

´el`evements successifs de 6 boules d"une

gigantesque urne rotative. Cela dit, l"ordre des num

´eros tir´es n"a pas

d"importance, le tirage est ´equivalent`a un pr´el`evement simultan´e de

6 boules.

Il y a donc 1 seule combinaison gagnante parmi?49

6? combinaisons possibles avec ?49 6? =49×48×47×46×45×446! = 13983816. Il y a ainsi 1 chance sur environ 14 millions de remporter le gros lot, soit une probabilit ´e de 7×10-8...Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Proposition (Valeurs particuli`eres, sym´etrie)

1Pour tous p,n?Ntels que p6n,?n

n-p? =?n p? .2? n 0? =?n n? =1?n 1? =?n n-1? =n?n 2? =?n n-2? =n(n-1)2

Exemples (Combinaisons)

5 2? =5×42 = 10?50 2? =50×492 = 1225 ?50 49?
=?50 50-1?
=?50 1? = 50

Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Proposition (Formule de Pascal)

Soit p,n?Ntels que p6n-1.?n

p? +?n p+ 1? =?n+ 1 p+ 1?En effet : ?n p+ 1? =n!(p+ 1)!(n-p-1)!=n-pp+ 1×n!p!(n-p)!=n-pp+ 1? n p? puis ?n p? +?n p+ 1?

1 +n-pp+ 1??

n p? =n+ 1p+ 1? n p? n+ 1p+ 1×n!p!(n-p)!=(n+ 1)!(p+ 1)!(n-p)! =?n+ 1 p+ 1?

Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Triangle de Pascal

a aaapn0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 01 11 1

21 2 1

31 3 3 1

41 4 6 4 1

51 5 10 10 5 1

61 6 15 20 15 6 1

71 7 21 35 35 21 7 1

81 8 28 56 70 56 28 8 1

91 9 36 84 126 126 84 36 9 1

101 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Triangle de Pascal

Un terme du tableau s"obtient en additionnant le terme au-dessus de lui et son voisin de gauche. En d"autres termes, on peut construire de proche en proche chaque ligne du tableau `a partir de la pr´ec´edente....p p+ 1.... ..n... ?n p?+? n p+ 1? n+ 1... ... ?n+ 1 p+ 1? ..Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Exemples (Somme de combinaisons(facultatif))1Partant de ?k p? +?k p+1? =?k+1 p+1? valable pour toutk>p+ 1, on d

´eduit?k

p? =?k+1 p+1? -?k p+1? puis, `a l"aide d"une somme t

´el´escopique, pour tousp,q?Ntels quep6q:

q? k=p? k p? =?p p? +q k=p+1?? k+ 1 p+ 1? -?k p+ 1?? = 1 + ??q+ 1 p+ 1? -?p+ 1 p+ 1?? =?q+ 1 p+ 1? soit q k=p? k p? =?q+ 1 p+ 1?

Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Exemples (Somme de combinaisons(facultatif))Pourp= 1, on trouven k=1? k 1? =?n+1 2? , soit n k=1k=12 n(n+ 1)Pourp= 2, on trouven k=2? k 2? =?n+1 3? , soit n k=2k(k-1) =13 n(n+ 1)(n-1) puis n? k=1k2=16 n(n+ 1)(2n+ 1)Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Exemples (Somme de combinaisons(facultatif))2Partant de ?2n k-1? +?2n k? =?2n+1 k? valable pour tout k?{1,2,...,2n}, on d´eduit`a l"aide d"une somme t´el´escopique : n k=0(-1)k?2n+ 1 k? = 1 +n k=1(-1)k??2n k-1? +?2n k?? = 1 + n? k=1? (-1)k?2n k-1? -(-1)k+1?2n k?? = 1 + -1-(-1)n+1?2n n?? = (-1)n?2n n? soit n k=0(-1)k?2n+ 1 k? = (-1)n?2n n?

Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaisons : une curiosit´e(facultatif)Triangle de Pascal (une autre repr´esentation)

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Quels sont les cas particuliers du binôme de Newton ?

Qu'est-ce que le binôme de Newton ?

Comment pouvez-vous développer une expression à l'aide de la formule du binôme de Newton ?

Comment factoriser un polynôme ?

Binˆome de Newton

Aim´e LachalBinˆome de Newton

Sommaire

1Factorielle

2Combinaison

3Formule du binˆome

4Applications trigonom´etriques

5Application aux probabilit´es

Aim´e LachalBinˆome de Newton

1. Factorielle

Aim´e LachalBinˆome de Newton

1. Factorielle

D´efinition (Factorielle)

1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

5! = 1206! = 720

7! = 5040

8! = 40320

9! = 362880

10! = 3628800

Aim´e LachalBinˆome de Newton

1. Factorielle

Proposition (Permutations)

123 132 213 231 312 321Casn= 4 :il y a 4! = 24 permutations de 4´el´ements.

Aim´e LachalBinˆome de Newton

1. Factorielle

Exemples (Factorielles)

1. Factorielle

Exemples (Factorielles)

Produit des premiers nombres pairs :partant den?

Aim´e LachalBinˆome de Newton

1. Factorielle

1. Factorielle

´erent.

320= 20×19×18 = 6840.Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Bernoulli identiques et ind

´ependantes.D´efinition (Combinaison)

Soit n?Net p? {0,1,...,n}.

´esentatif d"un sch´ema de n´epreuves de

Bernoulli conduisant

On note ce nombre?n

´el`evementssimultan´es(sans remise)

Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Arbre binaire

Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Arbre binaire : 2 succ`es sur 4 ´epreuves

Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Proposition (Combinaison)

Soit n?Net p? {0,1,...,n}. On a

Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

´erot´ees de 1`a 49.

Le tirage s"effectue par des pr

´el`evements successifs de 6 boules d"une

´eros tir´es n"a pas

6 boules.

Il y a donc 1 seule combinaison gagnante parmi?49

2. Combinaison

1Pour tous p,n?Ntels que p6n,?n

Exemples (Combinaisons)

Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Proposition (Formule de Pascal)

Soit p,n?Ntels que p6n-1.?n

1 +n-pp+ 1??

Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison