Factorielle et binôme de Newton Cours
dans un ensemble ayant n éléments. On peut établir par récurrence que pour tout n ? N et pour tous x y ? R (formule du binôme de Newton)
Binôme de Newton
Factorielle. 2. Combinaison. 3. Formule du binôme. 4. Applications trigonométriques. 5. Application aux probabilités. Aimé Lachal. Binôme de Newton
COMBINAISONS BINOME DE NEWTON
Combinaisons binôme de Newton - 1 / 4 -. COMBINAISONS
Fomule du binôme
Soit n ? N?. Les matrices 2I et N commutent (car la matrice I commute avec toutes les matrices). On peut donc appliquer la formule du binôme de Newton :.
Formule du binôme de Newton - Correction
1) Effectuer le développement de par la formule du binôme de Newton (on conservera les coefficients binomiaux sans chercher à les simplifier). On a de façon
Démonstration de la formule du binôme de Newton.
Démonstration de la formule du binôme de Newton. Proposition : Pour tous. et tout entier.
Coefficients binomiaux multinomiaux et dénombrement
1 août 2022 Coefficients binomiaux binôme de Newton et dénombrement . . . . . . . . . . . 1. 1.1. Formule du binôme de Newton .
Chapitre 2 : Nombres complexes
5 nov. 2020 Formule du binôme de Newton. Formule de l'angle multiple. Linéarisation. À venir. Chapitre 2 : Nombres complexes. Reda Chhaibi.
Exercices de mathématiques - Exo7
(aller relire certaines formules établies dans une planche précédente). 4. (**) Calculer ?n D'après la formule du binôme de NEWTON. ?n ? N
1 Formule du binôme : Application directe de la loi Binomiale 2
D'où la formule du binôme de Newton (a +b)n = n. ? k=0. ( n k. ) akbn?k. 2 Propriété n. ?. 12 de Pascal. Soit fn(x) = (1+x)n
Binôme de Newton : formule et démonstration StudySmarter
La formule du binôme entraîne que qn = (1+a)n = 1+n ·a + n·(n ?1) 2 a2 +··· ? 1+n· a Fixons N > 0 et choisissons pour entier m le plus petit entier supérieur à N/a On a alors grâce à l’inégalité précédente : n ? m =? n· a ? N =? qn ? N ce qui prouve que lim n?? qn = ? Propriétés importantes des limites
COMBINAISONS BINOME DE NEWTON - Pierre Lux
Une partie de E à p + 1 éléments de E ne contenant pas a contient p + 1 éléments choisis parmi les n éléments de E autres que a Le nombre de ces parties est donc p + 1 n On en déduit que : p + 1 n + 1 = p n + p + 1 n LE TRIANGLE DE PASCAL La deuxième formule permet de calculer les nombres p n
I - Formule du binôme de Newton
I - Formule du binôme de Newton Pour tousu 2Cv 2C et pour toutn 2N (u+v)n= ?n k=0 n k un kvk Propriété 1 : binôme de Newton Cette formule était connue bien avant Newton par les mathématiciens indiens arabes et perses dès le Xème siècle
Quels sont les cas particuliers du binôme de Newton ?
Par la suite, nous entrons dans le vif du sujet, la formule du binôme de Newton. Pour finir, nous abordons des cas particuliers du binôme de Newton : les fameuses identités remarquables. La factorielle d'un nombre entier est le produit de tous les nombres entre 1 et ce nombre, inclus.
Qu'est-ce que le binôme de Newton ?
Le binôme de Newton est un outil fondamental de l'algèbre, nécessaire pour effectuer certains calculs. Dans cette explication nous rappelons le concept de la factorielle, qui intervient dans la formule pour le binôme de Newton.
Comment pouvez-vous développer une expression à l'aide de la formule du binôme de Newton ?
Le binôme de Newton est donc une généralisation de l’identité remarquable (a+b)^2 (a+b)2. On va démontrer le résultat par récurrence. D’une part : (x+y) 0 = 1.
Comment factoriser un polynôme ?
On peut également utiliser la formule du binôme de Newton pour le processus inverse, c'est-à-dire, pour factoriser un polynôme, à condition que les coefficients respectent exactement la formule du binôme de Newton.
ECE2-B2017-2018Fomule du binôme
Exercice 1.(☀)(d"aprèsEDHEC 2008)
On considère les matrices :
D=0 @0 0 0 0 2 00 0 21
AetN=0
@0 0 0 0 0 10 0 01
Aet on poseT=D+N.
a.DéterminerN2.Démonstration.
N 2=0 @0 0 0 0 0 10 0 01
A0 @0 0 0 0 0 10 0 01
A=0 @0 0 0 0 0 00 0 01
A. N2= 0.b.Utiliser la formule du binôme pour montrer que :
8n2N; Tn=Dn+nDn1N
Démonstration.
Soitn2N.
D"après la question précédente, on obtient, par une récurrence immé- diate que :8k>2,Nk= 0.On remarque que :DN=0
@0 0 0 0 0 20 0 01
A=ND. AinsiDetNcommutent.D"après la formule du binôme de Newton : T n= (D+N)n nP k=0 n k N kDnk 1P k=0 n k N kDnk+nP k=2 n k N kDnk(ce découpage est valable carn>1) 1P k=0 n k N kDnk(car :8k>2; Nk= 0)
n 0 N 0Dn+n 1 N 1Dn1 =Dn+n Dn1N(carNetDn1 commutent) Ainsi, pour toutn2N,Tn=Dn+n Dn1N.c.Donner explicitement, pour toutn2N, la matriceTnen fonction den.Démonstration.
Soitn2N. Tout d"abord :Dn=0
@0 0 0 0 2 n0 0 0 2 n1 A.On en déduit que :
D n1N=0 @0 0 0 0 2 n10 0 0 2 n11 A0 @0 0 0 0 0 10 0 01
A=0 @0 0 0 0 0 2 n10 0 01
AetTn=0
@0 0 0 0 2 n0 0 0 2 n1 A+n0 @0 0 0 0 0 2 n10 0 01
A=0 @0 0 0 0 2 nn2n1 0 0 2 n1AAinsi, pour toutn2N:Tn= 2n10
@0 0 0 0 2n0 0 21
A.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 1
ECE2-B2017-2018Exercice 2.(☀)(d"aprèsEDHEC 2016)On considère les matrices :
N=0 @0 0 1 0 0 10 0 01
AetT= 2I+N=0
@2 0 1 0 2 10 0 21
ADéterminer, pour tout entier natureln, la matriceTncomme combinaison linéaire deIet deNpuis deIet deT.Démonstration.
Tout d"abord :N2=0
@0 0 1 0 0 10 0 01
A0 @0 0 1 0 0 10 0 01
A=0 @0 0 0 0 0 00 0 01
A. On en déduit, par une récurrence immédiate, que pour toutk>2,Nk= 0.Soitn2N.
Les matrices2IetNcommutent (car la matriceIcommute avec toutes les matrices). On peut donc appliquer la formule du binôme de Newton : T n= (2I+N)n nP k=0 n k N k(2I)nk 1P k=0 n k N k(2I)nk+nP k=2 n k N k(2I)nk(ce découpage est valable carn>1) 1P k=0 n k N k(2I)nk(car :8k>2; Nk= 0)
n 0 N0(2I)n+n
1 N1(2I)n1
= (2I)n+n(2I)n1N(carNet(2I)n1 commutent) = 2 nIn+n2n1In1N= 2nI+n2n1NEnfin :20I+ 0 21N=IetT0=I. La formule précédente reste valable pourn= 0. Ainsi, pour toutn2N,Tn= 2nI+n2n1N.De plus, commeN=T2I, on obtient : T n= 2nI+n2n1(T2I) = 2nI+n2n1Tn2nI=n2n1T(n1) 2nIPour toutn2N,Tn=n2n1T(n1) 2nI.Remarque
Comme noté dans la démonstration, l"hypothèsen>1est essentielle pour pouvoir découper la somme. Le casn= 0doit donc être traité à part. Ici, la matriceNvérifie :8k>2; Nk= 0. Elle est dite nilpotente d"ordre2(ce terme n"est pas au programme et il est préférable de ne pas l"utiliser
dans une copie). Si elle avait été nilpotente d"ordre3, il aurait fallu traiterà part les casn= 0mais aussi le casn= 1.
Exercice 3.(☀)(d"aprèsESSEC III - 2007)
À l"aide de la formule du binôme de Newton et de la décomposition suivante : T=0 @2 0 0 0 2 00 0 21
A+0 @0 1 0 0 0 10 0 01
A; déterminer l"expression de la matriceTnen fonction de l"entier natureln.Démonstration.
Notons :D=0
@2 0 0 0 2 00 0 21
A= 2IetN=0
@0 1 0 0 0 10 0 01
A.Remarquons tout d"abord que :
N 2=0 @0 1 0 0 0 10 0 01
A0 @0 1 0 0 0 10 0 01
A=0 @0 0 1 0 0 00 0 01
A(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 2
ECE2-B2017-2018Et ainsi :
N3=N2N=0
@0 0 1 0 0 00 0 01
A0 @0 1 0 0 0 10 0 01
A=0 @0 0 0 0 0 00 0 01
AAinsi,N3= 0et, par une récurrence immédiate :8k>3,Nk= 0.De plus, comme la matrice identitéIcommute avec toute matrice :
DN= 2IN= 2NI=N(2I) =ND
AinsiDetNcommutent.On peut donc appliquer la formule du binôme de Newton, pourn>2: T n = (D+N)n nP k=0 n k N kDnk 2P k=0 n k N kDnk+nPquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] monologue de bérenger rhinocéros texte
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