Factorielle et binôme de Newton Cours
dans un ensemble ayant n éléments. On peut établir par récurrence que pour tout n ? N et pour tous x y ? R (formule du binôme de Newton)
Binôme de Newton
Factorielle. 2. Combinaison. 3. Formule du binôme. 4. Applications trigonométriques. 5. Application aux probabilités. Aimé Lachal. Binôme de Newton
COMBINAISONS BINOME DE NEWTON
Combinaisons binôme de Newton - 1 / 4 -. COMBINAISONS
Fomule du binôme
Soit n ? N?. Les matrices 2I et N commutent (car la matrice I commute avec toutes les matrices). On peut donc appliquer la formule du binôme de Newton :.
Formule du binôme de Newton - Correction
1) Effectuer le développement de par la formule du binôme de Newton (on conservera les coefficients binomiaux sans chercher à les simplifier). On a de façon
Démonstration de la formule du binôme de Newton.
Démonstration de la formule du binôme de Newton. Proposition : Pour tous. et tout entier.
Coefficients binomiaux multinomiaux et dénombrement
1 août 2022 Coefficients binomiaux binôme de Newton et dénombrement . . . . . . . . . . . 1. 1.1. Formule du binôme de Newton .
Chapitre 2 : Nombres complexes
5 nov. 2020 Formule du binôme de Newton. Formule de l'angle multiple. Linéarisation. À venir. Chapitre 2 : Nombres complexes. Reda Chhaibi.
Exercices de mathématiques - Exo7
(aller relire certaines formules établies dans une planche précédente). 4. (**) Calculer ?n D'après la formule du binôme de NEWTON. ?n ? N
1 Formule du binôme : Application directe de la loi Binomiale 2
D'où la formule du binôme de Newton (a +b)n = n. ? k=0. ( n k. ) akbn?k. 2 Propriété n. ?. 12 de Pascal. Soit fn(x) = (1+x)n
Binôme de Newton : formule et démonstration StudySmarter
La formule du binôme entraîne que qn = (1+a)n = 1+n ·a + n·(n ?1) 2 a2 +··· ? 1+n· a Fixons N > 0 et choisissons pour entier m le plus petit entier supérieur à N/a On a alors grâce à l’inégalité précédente : n ? m =? n· a ? N =? qn ? N ce qui prouve que lim n?? qn = ? Propriétés importantes des limites
COMBINAISONS BINOME DE NEWTON - Pierre Lux
Une partie de E à p + 1 éléments de E ne contenant pas a contient p + 1 éléments choisis parmi les n éléments de E autres que a Le nombre de ces parties est donc p + 1 n On en déduit que : p + 1 n + 1 = p n + p + 1 n LE TRIANGLE DE PASCAL La deuxième formule permet de calculer les nombres p n
I - Formule du binôme de Newton
I - Formule du binôme de Newton Pour tousu 2Cv 2C et pour toutn 2N (u+v)n= ?n k=0 n k un kvk Propriété 1 : binôme de Newton Cette formule était connue bien avant Newton par les mathématiciens indiens arabes et perses dès le Xème siècle
Quels sont les cas particuliers du binôme de Newton ?
Par la suite, nous entrons dans le vif du sujet, la formule du binôme de Newton. Pour finir, nous abordons des cas particuliers du binôme de Newton : les fameuses identités remarquables. La factorielle d'un nombre entier est le produit de tous les nombres entre 1 et ce nombre, inclus.
Qu'est-ce que le binôme de Newton ?
Le binôme de Newton est un outil fondamental de l'algèbre, nécessaire pour effectuer certains calculs. Dans cette explication nous rappelons le concept de la factorielle, qui intervient dans la formule pour le binôme de Newton.
Comment pouvez-vous développer une expression à l'aide de la formule du binôme de Newton ?
Le binôme de Newton est donc une généralisation de l’identité remarquable (a+b)^2 (a+b)2. On va démontrer le résultat par récurrence. D’une part : (x+y) 0 = 1.
Comment factoriser un polynôme ?
On peut également utiliser la formule du binôme de Newton pour le processus inverse, c'est-à-dire, pour factoriser un polynôme, à condition que les coefficients respectent exactement la formule du binôme de Newton.
Le binôme. Les symboles
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le coursExercice 1IT Identités combinatoiresLa difficulté va en augmentant graduellement de facile à assez difficile sans être insurmontable.
1.Calculer
n 0+n1+:::+n
n. 2.Montrer que
n 0+n 2+n4+:::=n
1+n 3+n5+:::et trouver la valeur commune des deux sommes.
3.Calculer les sommes
n 0+n 3+n6+:::etn
0+n 4+n8+:::.
4.Montrer que 8n2N;8k2[[1;n]];kn
k=nn1 k1. 5.Montrer que
n 0 2+n 12+:::+n
n 2=2n n(utiliser le polynôme(1+x)2n). 6.Calculer les sommes 0 :n
0+1:n1+:::+n:n
net(n 0)1 +(n 1)2 +:::+(n n)n+1(considérer dans chaque cas un certain polynôme astucieusement choisi). 7.Montrer que
p p+p+1 p:::+n p=n+1 p+1où 06p6n. Interprétation dans le triangle de PASCAL? 8. (a)Soit In=R1
0(1x2)ndx. Trouver une relation de récurrence liantInetIn+1et en déduireInen
fonction den(faire une intégration par parties dansInIn+1). (b)Démontrer l"identité v alablepour n>1 : 1(n
1)3 +(n 2)5 +:::+(1)n(n n)2n+1=2:4:::::(2n)1:3:::(2n+1). 1+n 2+n 3=5n. 11.(*) Calculer
åni=3i,n2Nnf0;1;2g,åni=1(2i1),n2N, etån+1k=4(3k+7),n2Nnf0;1;2g. 2. (*) Calculer le nombre 1 ;1111:::=limn!+¥1;11:::1|{z} net le nombre 0;9999:::=limn!+¥0;99:::9|{z} n. 3. (*) Calculer 1 1+1:::+(1)n1 |{z} n,n2N. 4. (*) Calculer 12 +14 +18 +:::=limn!+¥ånk=112 k. 5. (**) Calculerånk=0coskp2
,n2N. 6. (**) Soient n2Netq2R. Calculerånk=0cos(kq)etånk=0sin(kq). 7. (***) Pour x2[0;1]etn2N, on poseSn=ånk=1(1)k1xkk . Déterminerlimn!+¥Sn. 8. (**) On pose u0=1 et, pourn2N,un+1=2un3. (a)Calculer la suite (un3)n2N.
(b)Calculer
ånk=0uk.
1.ånk=11k(k+1)etånk=11k(k+1)(k+2)
2. (***) Calculer Sp=ånk=1kppourn2Netp2 f1;2;3;4g(dans chaque cas, chercher un polynômePp de degrép+1 tel quePp(x+1)Pp(x) =xp). 3. (**) Calculerånk=1arctan1k
2+k+1(aller relire certaines formules établies dans une planche précédente).
4. (**) Calculerånk=1arctan2k
2. 1.å16i 2. å16i;j6njetå16i 3. å16i;j6nij.
4. (***) Pour n2N, on poseun=1n 5ånk=1ånh=1(5h418h2k2+5k4). Déterminerlimn!+¥un(utiliser les
résultats de l"exercice 7 , 2)). Õnk=1(1+1k
),n2N. 2. (***) Calculer Õnk=1cosa2
k,a2]0;p[,n2N. Correction del"exer cice1 N1.D"après la formule du binôme de N EWTON, 8n2N;ånk=0n
k= (1+1)n=2n:2.Soit nun entier naturel non nul. PosonsS1=åE(n=2) k=0 n 2ketS2=åE((n1)=2)
k=0 n 2k+1. Alors
S 1S2=nå
k=0(1)kn k = (11)n=0(carn>1); et doncS1=S2. PuisS1+S2=ånk=0n k=2n, et doncS1=S2=2n1. 8n2N;n
0+n 2+n 4+:::=n
1+n 3+n 5+:::=2n1:3.En posant j=e2ip=3, on a :
nå k=0 n k = (1+1)n=2n;nå k=0 n k j k= (1+j)netnå k=0 n k j 2k= (1+j2)n:
En additionnant ces trois égalités, on obtient nå k=0 n k (1+jk+j2k) =2n+(1+j)n+(1+j2)n: Maintenant,
si k23N, il existep2Ntel quek=3pet 1+jk+j2k=1+(j3)p+(j3)2p=3 carj3=1. si k23N+1, ilexistep2Ntelquek=3p+1et1+jk+j2k=1+j(j3)p+j2(j3)2p=1+j+j2=0 si k23N+2, ilexistep2Ntelquek=3p+2et1+jk+j2k=1+j2(j3)p+j4(j3)2p=1+j2+j= 0. Finalement,
ånk=0n
k(1+jk+j2k) =3åE(n=3) k=0 n 3k. Par suite,
E(n=3)å
k=0 n 3k =13 (2n+(1+j)n+(1+j2)n) =13 (2n+2Re((1+j)n)) 13 (2n+2Re((j2)n)) =13 (2n+2cosnp3 4. Pour 1 6k6n, on a
k n k =kn!k!(nk)!=n(n1)!(k1)!((n1)(k1))!=kn1 k1 5. 2n nest le coefficient dexndans le développement de(1+x)2n. Mais d"autre part , (1+x)2n= (1+x)n(1+x)n= (nå k=0 n k x k)(nå k=0 n k x k): Dans le développement de cette dernière expression, le coefficient dexnvautånk=0n k n nkou encore nk=0n k 2. Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes coefficients et donc
2n n =nå k=0 n k 2 3 6.1ère solution.Pourxréel, posonsP(x) =ånk=1kn
kxk1. Pourxréel,
P(x) = (nå
k=0 n k x k)0= ((1+x)n)0=n(1+x)n1: En particulier, pourx=1, on obtient :
nå k=1kn k =n(1+1)n1=n2n1: 2ème solution.D"après 4),
nå k=1kn k =nå k=1nn1 k1 =nn1å k=0 n1 k =n(1+1)n1=n2n1: 1ère solution.Pourxréel, posonsP(x) =ånk=0n
k xk+1k+1. On a P 0(x) =nå
k=0 n k x k= (1+x)n;quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
å16i;j6njetå16i 3. å16i;j6nij.
4. (***) Pour n2N, on poseun=1n 5ånk=1ånh=1(5h418h2k2+5k4). Déterminerlimn!+¥un(utiliser les
résultats de l"exercice 7 , 2)). Õnk=1(1+1k
),n2N. 2. (***) Calculer Õnk=1cosa2
k,a2]0;p[,n2N. Correction del"exer cice1 N1.D"après la formule du binôme de N EWTON, 8n2N;ånk=0n
k= (1+1)n=2n:2.Soit nun entier naturel non nul. PosonsS1=åE(n=2) k=0 n 2ketS2=åE((n1)=2)
k=0 n 2k+1. Alors
S 1S2=nå
k=0(1)kn k = (11)n=0(carn>1); et doncS1=S2. PuisS1+S2=ånk=0n k=2n, et doncS1=S2=2n1. 8n2N;n
0+n 2+n 4+:::=n
1+n 3+n 5+:::=2n1:3.En posant j=e2ip=3, on a :
nå k=0 n k = (1+1)n=2n;nå k=0 n k j k= (1+j)netnå k=0 n k j 2k= (1+j2)n:
En additionnant ces trois égalités, on obtient nå k=0 n k (1+jk+j2k) =2n+(1+j)n+(1+j2)n: Maintenant,
si k23N, il existep2Ntel quek=3pet 1+jk+j2k=1+(j3)p+(j3)2p=3 carj3=1. si k23N+1, ilexistep2Ntelquek=3p+1et1+jk+j2k=1+j(j3)p+j2(j3)2p=1+j+j2=0 si k23N+2, ilexistep2Ntelquek=3p+2et1+jk+j2k=1+j2(j3)p+j4(j3)2p=1+j2+j= 0. Finalement,
ånk=0n
k(1+jk+j2k) =3åE(n=3) k=0 n 3k. Par suite,
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k=0 n 3k =13 (2n+(1+j)n+(1+j2)n) =13 (2n+2Re((1+j)n)) 13 (2n+2Re((j2)n)) =13 (2n+2cosnp3 4. Pour 1 6k6n, on a
k n k =kn!k!(nk)!=n(n1)!(k1)!((n1)(k1))!=kn1 k1 5. 2n nest le coefficient dexndans le développement de(1+x)2n. Mais d"autre part , (1+x)2n= (1+x)n(1+x)n= (nå k=0 n k x k)(nå k=0 n k x k): Dans le développement de cette dernière expression, le coefficient dexnvautånk=0n k n nkou encore nk=0n k 2. Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes coefficients et donc
2n n =nå k=0 n k 2 3 6.1ère solution.Pourxréel, posonsP(x) =ånk=1kn
kxk1. Pourxréel,
P(x) = (nå
k=0 n k x k)0= ((1+x)n)0=n(1+x)n1: En particulier, pourx=1, on obtient :
nå k=1kn k =n(1+1)n1=n2n1: 2ème solution.D"après 4),
nå k=1kn k =nå k=1nn1 k1 =nn1å k=0 n1 k =n(1+1)n1=n2n1: 1ère solution.Pourxréel, posonsP(x) =ånk=0n
k xk+1k+1. On a P 0(x) =nå
k=0 n k x k= (1+x)n;quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
å16i;j6nij.
4. (***) Pour n2N, on poseun=1n5ånk=1ånh=1(5h418h2k2+5k4). Déterminerlimn!+¥un(utiliser les
résultats de l"exercice 7 , 2)).Õnk=1(1+1k
),n2N. 2. (***) CalculerÕnk=1cosa2
k,a2]0;p[,n2N. Correction del"exer cice1 N1.D"après la formule du binôme de N EWTON,8n2N;ånk=0n
k= (1+1)n=2n:2.Soit nun entier naturel non nul. PosonsS1=åE(n=2) k=0 n2ketS2=åE((n1)=2)
k=0 n2k+1. Alors
S1S2=nå
k=0(1)kn k = (11)n=0(carn>1); et doncS1=S2. PuisS1+S2=ånk=0n k=2n, et doncS1=S2=2n1.8n2N;n
0+n 2+n4+:::=n
1+n 3+n5+:::=2n1:3.En posant j=e2ip=3, on a :
nå k=0 n k = (1+1)n=2n;nå k=0 n k j k= (1+j)netnå k=0 n k j2k= (1+j2)n:
En additionnant ces trois égalités, on obtient nå k=0 n k (1+jk+j2k) =2n+(1+j)n+(1+j2)n:Maintenant,
si k23N, il existep2Ntel quek=3pet 1+jk+j2k=1+(j3)p+(j3)2p=3 carj3=1. si k23N+1, ilexistep2Ntelquek=3p+1et1+jk+j2k=1+j(j3)p+j2(j3)2p=1+j+j2=0 si k23N+2, ilexistep2Ntelquek=3p+2et1+jk+j2k=1+j2(j3)p+j4(j3)2p=1+j2+j= 0.Finalement,
ånk=0n
k(1+jk+j2k) =3åE(n=3) k=0 n3k. Par suite,
E(n=3)å
k=0 n 3k =13 (2n+(1+j)n+(1+j2)n) =13 (2n+2Re((1+j)n)) 13 (2n+2Re((j2)n)) =13 (2n+2cosnp3 4.Pour 1 6k6n, on a
k n k =kn!k!(nk)!=n(n1)!(k1)!((n1)(k1))!=kn1 k1 5. 2n nest le coefficient dexndans le développement de(1+x)2n. Mais d"autre part , (1+x)2n= (1+x)n(1+x)n= (nå k=0 n k x k)(nå k=0 n k x k): Dans le développement de cette dernière expression, le coefficient dexnvautånk=0n k n nkou encore nk=0n k2. Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes coefficients et donc
2n n =nå k=0 n k 2 36.1ère solution.Pourxréel, posonsP(x) =ånk=1kn
kxk1.Pourxréel,
P(x) = (nå
k=0 n k x k)0= ((1+x)n)0=n(1+x)n1:En particulier, pourx=1, on obtient :
nå k=1kn k =n(1+1)n1=n2n1:2ème solution.D"après 4),
nå k=1kn k =nå k=1nn1 k1 =nn1å k=0 n1 k =n(1+1)n1=n2n1:1ère solution.Pourxréel, posonsP(x) =ånk=0n
k xk+1k+1. On a P0(x) =nå
k=0 n k x k= (1+x)n;quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] monologue de bérenger rhinocéros texte
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