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Maths Seconde EXERCICES : VECTEURS

Exercice 1

Simplifier les expressions suivantes en utilisant la relation de Chasles : 1)

AB AC CB

2)

BC BA BD BC

3)

AB AC BC BA

4)

2AC CB BA

5)

2AB BC CA

Exercice 2

Développer et simplifier les expressions suivantes : 1)

12( )3u u v v

2)

21()54u u u v

3)

11( ) ( )23u v u v

Exercice 3

Soit ABC un triangle. On considère les points D et E tels que 3

2AD AB

et 3

2DE BC

Montrer que

3

2AE AC

Que peut-on en conclure sur les points A, E et C ?

Exercice 4

Soient ABCD est un parallélogramme et les points F, I et E définis par : 2

3AF AB

, I milieu de [BC],

E symétrique de I par rapport à B.

1) Faire une figure.

2) Exprimer

CE en fonction de CB . (Justifier)

3) Exprimer

DF et DF en fonction de CB et de AB

4) En déduire que les points E, F et D sont alignés.

Exercice 5

Soient A et B deux points distants de 1,5 cm.

1) Construire le point C tel que

5

2BC AB

2) Construire le point D tel que

4

3AD AB

3) Démontrer la relation de colinéarité entre les vecteurs

CD et AB

4) En déduire la longueur du vecteur CD en cm.

Maths Seconde CORRECTION EXERCICES : VECTEURS

Exercice 1

1)

0AB AC CB

2)

BC BA BD BC AD

3)

AB AC BC BA AB

4)

2AC CB BA CB

5)

23AB BC CA AB

Exercice 2

1)

172( )33u u v v u v

2)

2 1 7 1()5 4 20 4u u u v u v

3)

1 1 1 5( ) ( )2 3 6 6u v u v u v

Exercice 3

Soit ABC un triangle. On considère les points D et E tels que 3

2AD AB

et 3

2DE BC

33
22

33()22

3 3 3 2 2 2 3 2

AE AD DE

AE AB BC

AE AC CB BC

AE AC CB CB

AE AC

Les vecteurs

AE et AC sont colinéaires

Donc les points A, E et C sont alignés

Exercice 4

Soient ABCD est un parallélogramme et les points F, I et E définis par : 2

3AF AB

, I milieu de [BC], E symétrique de I par rapport à B.

1) Faire une figure.

2) Exprimer

CE en fonction de CB . (Justifier) On sait que le point I est le milieu du segment [BC] Alors 1

2CI IB CB

On sait que le point E est le symétrique du point I par rapport au point B càd B est le milieu

de [EI] Alors IB BE

1 1 3(1 )2 2 2CE CB BE CB IB CB CB CB CB

Donc 3

2CE CB

3) Exprimer

DF et DF en fonction de CB et de AB

DF DA AF

Or ABCD est un parallélogramme donc

DA CD et 2

3AF AB

2

3DF CB AB

DE DC CE

Or ABCD est un parallélogramme donc

DC AB et 3

2CE CB

2

3DE AB CB

4) En déduire que les points E, F et D sont alignés.

la question précédente, on remarque que :

2 2 3 2()3 3 2 3DF CB AB CB AB DE

Donc les vecteurs

DF et DE sont colinéaires les points E, F et D sont alignés. Maths Seconde CORRECTION EXERCICES : VECTEURS

Exercice 5 1) et 2)

3) 54
23
54123
29
6

CD CB BA AD

CD AB AB AB

CD AB CD AB

4) On sait que

29

6CD AB

la longueur du vecteur CD est 29
6 plus grande que celle du vecteur AB Donc

29 29 29 3 291,5 7,256 6 6 2 4CD AB

/!\ une longueur est toujours positive !

CD = 7,25 cm

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