[PDF] MATHÉMATIQUES Janson de Sailly (année

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TleES

MATHÉMATIQUES

Enseignement spécifique et de spécialité

0 1 2-1-2-30,10,20,30,4N(0;1)

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,90,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0 n=500 n=500n=100 n=100n=30 n=30

0,340,247

0,433 (0 1 1 11 0 2 01 2 0 21 0 2 0)))))011 xy e e y=ex y=lnx un+1=au n+b

Documents distribués aux élèves de TleES 4 et au regroupement TleES - L en cours d"année.

Janson de Sailly (année 2017-2018)

A. YALLOUZ

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2017-2018T

leES 4 T leES-L

A. YALLOUZ(MATH@ES)ii

TABLE DES MATIÈRES

I ENSEIGNEMENT ES OBLIGATOIRE ET L SPÉCIALITÉ1

1 Compléments sur les suites2

I Suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2 Propriété 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

3 Propriété 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

4 Monotonie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

5 Somme de termes consécutifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

II Limite d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1 Limite infinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

2 Limite finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

3 Limites d"une suite géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

III Suites arithmético-géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

2 Étudier une suite arithmético-géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .11

2 Dérivation, continuité et convexité21

I dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..22

1 Tangente à une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

2 Dérivées des fonctions de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3 Dérivées et opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

4 Dérivée et variations d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..24

II continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

1 notion de continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

2 propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

III continuité et équation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

1THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

2 théorème de la valeur intermédiaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

IV convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

1 fonction convexe, fonction concave. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

2 point d"inflexion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .30

3 Fonction exponentielle40

Activités : Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

I fonctions exponentielles de baseq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

1 fonctions exponentiellesx?-→qx, avecq>0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

2 sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

3 propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

A. YALLOUZ(MATH@ES)iii

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2017-2018TABLE DES MATIÈRES

TleES 4

T leES-L

II la fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

1 définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

2 dérivée de la fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

3 variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

4 courbe représentative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

III exponentielle d"une fonction :exp(u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

1 dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

2 variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .49

4 Probabilités discrètes60

I probabilités conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

1 définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

2 formule des probabilités composées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

II formule des probabilités totales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

1 cas de deux évènements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

2 partition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

3 formule des probabilités totales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

III représentation sous forme d"un arbre pondéré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

IV évènements indépendants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

1 indépendance de deux évènements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

2 propriété. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

3 loi binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .66

5 Fonction logarithme75

I fonction logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

1 définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

2 conséquences immédiates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

3 variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

II propriétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

1 propriété fondamentale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

2 autres règles de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

III étude de la fonction logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

1 dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

2 variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

3 courbe représentative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .80

6 Calcul intégral90

I intégrale et aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

1 unité d"aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

2 intégrale d"une fonction continue et positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

3 intégrale d"une fonction continue et négative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

4 lien entre intégrale et dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

II primitives d"une fonction continue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

1 définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

2 ensemble des primitives d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

3 primitive vérifiant une condition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

III calcul de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

1 primitives des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

2 linéarité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

3 primitives des formes usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

A. YALLOUZ(MATH@ES)iv

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2017-2018TABLE DES MATIÈRES

TleES 4

T leES-L

IV intégrale d"une fonction continue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

1 définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

2 premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

V propriétés de l"intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

1 positivité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

2 linéarité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

3 relation de Chasles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

4 ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

VI intégrale et moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

1 inégalités de la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

2 valeur moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .103

7 Lois de probabilité à densité112

I introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

II densité de probabilité et loi de probabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

1 variable aléatoire continue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

2 fonction de densité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

3 loi de probabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

4 espérance mathématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

5 probabilité conditionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

III loi uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

1 définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

2 propriété. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

3 espérance mathématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

IV loi normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

1 vers une approximation de la loi binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

2 loi normale centrée réduite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

3 loi normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .123

8 Échantillonnage et estimation130

I fluctuation d"échantillonnage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131

1 intervalle de fluctuation au seuil de 95%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131

2 intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131

3 décision à partir de la fréquence d"un échantillon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132

II intervalle de confiance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

1 définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .135

II ENSEIGNEMENT ES SPÉCIALITÉ142

1 Matrices143

Activités : Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

I définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145

1 matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145

2 cas particuliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145

3 égalité de deux matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145

II matrices et opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

1 transposée d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

2 addition de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

3 multiplication par un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

4 produit de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

A. YALLOUZ(MATH@ES)v

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2017-2018TABLE DES MATIÈRES

TleES 4

T leES-L

5 propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148

III matrices carrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

1 matrice identité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

2 puissances d"une matrice carré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

3 inverse d"une matrice carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150

4 application aux systèmes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150

5 Compléments(hors programme). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .154

2 Introduction à la théorie des graphes160

I graphes premières définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161

1 définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161

2 degré d"un sommet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162

3 représentation matricielle d"un graphe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164

4 graphes isomorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164

II chaînes, cycles; connexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167

1 définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167

2 chaînes de longueur donnée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167

3 connexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168

4 cycle eulérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .172

3 Graphes : plus court chemin178

I graphe pondéré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179

1 définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179

2 longueur d"un chemin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179

II algorithme de dijkstra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .182

4 Graphes probabilistes187

Activité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .188

I définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189

1 graphe probabiliste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189

2 matrice de transition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189

3 état probabiliste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189

II évolution d"un état au cours du temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190

1 propostion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190

2 théorème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190

3 état stable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190

4 propriété. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .193

LES CONTRÔLES(2017-2018)199

DST TleES 4 (spé math)200

Contrôle du 26 septembre 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201

Contrôle du 17 octobre 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203

Contrôle du 21 novembre 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205

Contrôle du 19 décembre 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207

Contrôle du 23 janvier 2018. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210

Contrôle du 13 février 2018. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212

A. YALLOUZ(MATH@ES)vi

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2017-2018TABLE DES MATIÈRES

TleES 4

T leES-L

DST regroupement TleES-L215

Contrôle ES-L du 29 septembre 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216

Contrôle ES-L du 20 octobre 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218

Contrôle ES-L du 23 novembre 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .220

Contrôle ES-L du 21 décembre 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221

Contrôle ES-L du 1erfévrier 2018. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223

Contrôle ES-L du 15 février 2018. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226

DST communs TleES et TleL228

Contrôle du 9 Mars 2018. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229

Contrôle du 12 avril 2018. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234

Contrôle du 24 mai 2018. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238

A. YALLOUZ(MATH@ES)vii

PREMIÈRE PARTIE

ENSEIGNEMENT ES OBLIGATOIRE ET L SPÉCIALITÉ

A. YALLOUZ(MATH@ES)1

Chapitre 1

COMPLÉMENTS SUR LES SUITES

I SUITES GÉOMÉTRIQUES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3

2 Propriété 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3

3 Propriété 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4

4 Monotonie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4

5 Somme de termes consécutifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II LIMITE D"UNE SUITE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 Limite infinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

2 Limite finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6

3 Limites d"une suite géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III SUITES ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 8

2 Étudier une suite arithmético-géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

EXERCICES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

A. YALLOUZ(MATH@ES)2

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2017-2018

COMPLÉMENTS SUR LES SUITES

TleES 4

T leES-L

I SUITES GÉOMÉTRIQUES

1DÉFINITION

Dire qu"une suite(un)estgéométriquesignifie qu"il existe un nombre réelqnon nul tel que, pour tout

entiern, u n+1=qun Le réelqest appelé la raison de la suite géométrique.

ÉVOLUTION EN POURCENTAGE

— Augmenter une grandeur det% équivaut à multiplier sa valeur par 1+t100. — Diminuer une grandeur det% équivaut à multiplier sa valeur par 1-t 100.

Chaque fois qu"on est confronté à une situation d"évolutions successives d"une grandeur det%, on peut

définir une suite géométrique de raison 1+t

100(augmentation) ou 1-t100(diminution)

EXEMPLES

1. Un capital de 2000?est placé au taux d"intérêt composé de 1 % par an.

On noteCnle capital disponible au bout denannées alors : C n+1=Cn×? 1+1 100?
=1,01×Cn

Ainsi, la suite

(Cn)est une suite géométrique de premier termeC0=2000 et de raisonq=1,01.

2. Pour lutter contre la pollution, un groupe industriel décide de réduire progressivement sa quantité de

rejets de 4% par an. En 2012, la quantité de rejets était de 50000 tonnes. On noternla quantité de rejets l"année 2012+nd"où : r n+1=rn×? 1-4 100?
=0,96×rn

Ainsi, la suite

(rn)est une suite géométrique de premier termer0=50000 et de raison 0,96.

2PROPRIÉTÉ1

Soit(un)une suite géométrique de raisonqet de premier termeu0alors pour tout entiern, u n=u0×qn

EXEMPLE

L"objectif du groupe industriel est de réduire progressivement la quantité de rejets pour atteindre une

quantité inférieure ou égale à 30000 tonnes (soit une réduction de 40%). Cet objectif sera-t-il atteint au

bout de 10 ans? Au bout de 10 ans, la quantité de rejets est de : r

10=50000×0,9610≈33242

Avec un réduction de 4 % par an, en 2022 l"objectif du groupe industriel ne sera pas atteint.

A. YALLOUZ(MATH@ES)3

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2017-2018

COMPLÉMENTS SUR LES SUITES

TleES 4

T leES-L

3PROPRIÉTÉ2

Si(un)une suite géométrique de raisonqalors pour tout entiernet pour tout entierp, u n=up×qn-p

4MONOTONIE

Soit(un)une suite géométrique de raisonqet de premier termeu0donc : u n+1-un=u0×qn+1-u0×qn =u0×qn×(q-1) La monotonie de la suite dépend du signe deu0,qnet (q-1) — Siq<0 alorsqnest positif pournpair, négatif pournimpair donc la suite n"est pas monotone.

— Siq>0 alors la suite est monotone, croissante ou décroissante selon le signe du produitu0×(q-1) .

Siq>1Si 0

Siu0>0, alors la suite

un)est croissante

1 2 3 4 5 6 7nu

n

Siu0<0, alors la suite

un)est décroissante

1 2 3 4 5 6 7nu

n

Siu0>0, alors la suite

un)est décroissante

1 2 3 4 5 6 7nu

n?

Siu0<0, alors la suite

un)est croissante

1 2 3 4 5 6 7nu

n Nous pouvons en déduire les deux théorèmes suivants

THÉORÈME1

Soitqun réel non nul.

— Siq<0 alors la suite?qn?n"est pas monotone.

— Siq>1 alors la suite?qn?est strictement croissante. — Si 0— Siq=1 alors la suite?qn?est constante.

THÉORÈME2

Soit(un)une suite géométrique de raisonqnon nulle et de premier termeu0non nul

— Siq<0 alors la suite(un)n"est pas monotone.

— Siq>0 etu0>0 alors la suite(un)a le même sens de variation que la suite?qn?. — Siq>0 etu0<0 alors la suite(un)a le sens de variation contraire de celui de la suite?qn?.

5SOMME DE TERMES CONSÉCUTIFS

Soit(un)une suite géométrique de raisonq?=1 et de premier termeu0alors pour tout entiern, u

0+u1+···+un=n?

i=0u i=u0?1-qn+1 1-q?

A. YALLOUZ(MATH@ES)4

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COMPLÉMENTS SUR LES SUITES

TleES 4

T leES-L Cette formule peut se retenir de la façon suivante : La sommeSde termes consécutifs d"une suite géométrique de raisonq?=1 est :

S=premier terme×1-qnombre de termes

1-q

II LIMITE D"UNE SUITE

On étudie le comportement d"une suite(un)quandnprend de grandes valeurs.

1LIMITE INFINIE

DÉFINITION

On dit qu"une suite(un)admet une limite égale à+∞quandntend vers+∞si pour tout nombre réelA

strictement positif, tous les termes de la suite sont supérieurs àAà partir d"un certain rangp. On écrit :

lim n→+∞un=+∞

Concrètement, une suite

(un)tend vers+∞siunest aussi grand que l"on veut dès quenest suffisamment grand.

INTERPRÉTATION GRAPHIQUE

On a représenté ci-dessous une suite

(un)ayant une limite égale à+∞ nu n pA Soitpun entier tel que pour tout entiern?p, on aun>A.pest le seuil à partir duquelun>A.

DÉFINITION

On dit qu"une suite(un)admet une limite égale à-∞quandntend vers+∞si pour tout nombre réelA

strictement négatif, tous les termes de la suite sont inférieurs àAà partir d"un certain rangp. On écrit :

lim n→+∞un=-∞

A. YALLOUZ(MATH@ES)5

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2017-2018

COMPLÉMENTS SUR LES SUITES

TleES 4

T leES-L

2LIMITE FINIE

DÉFINITION

Soit(un)une suite définie surNet?un réel.

1. Dire que la suite

(un)admet pour limite le réel?signifie que tout intervalle ouvert de la forme ?-r;?+r[contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rangp. On écrit : lim n→+∞un=?

2. Une suite qui admet pour limite un réel?est diteconvergente.

Autrementdit, unesuite

(un)est convergenteversunréel?sitouslestermesde lasuite àpartird"uncertain rangppeuvent être aussi proches que voulu de?.

INTERPRÉTATION GRAPHIQUE

Si on représente la suite convergente par un nuage de points dans un repère, à partir d"un certain rangp,

tous les points sont dans la bande délimitée par les droites d"équationy=?-rety=?+r. nu n p?-r??+r Le rangpest le seuil à partir duquel "unest à une distance de?inférieure àr»

PROPRIÉTÉ

La suite(un)converge vers un réel?si, et seulement si, la suite(un)-?est convergente vers un 0.

REMARQUE

Unesuitepeutnepasadmettredelimite. Parexemplelasuitedetermegénéral(-1)nprendalternativement les valeurs 1 et-1. Elle n"admet pas de limite.

3LIMITES D"UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE

THÉORÈME(admis)

Soitqun nombre réel :

— Si-1

— Siq>1 alors la suite géométrique de terme généralqna pour limite+∞: limn→+∞qn=+∞.

— Siq<-1 alors la suite géométrique de terme généralqnn"admet pas de limite finie ou infinie.

A. YALLOUZ(MATH@ES)6

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COMPLÉMENTS SUR LES SUITES

TleES 4

T leES-L

REMARQUE

Pourq=1, la suite?qn?est constante et égale à 1 donc convergente.

Pourq= -1, la suite?qn?prend alternativement les valeurs 1 et-1 suivant la parité den, elle n"admet pas

de limite.

COROLLAIRE

Soit(un)une suite géométrique de premier termeu0non nul et de raisonqstrictement positive. — Si 01 alors la suite(un)admet une limite infinie avec : lim n→+∞un=-∞siu0<0 et limn→+∞un=+∞siu0>0

RECHERCHE D"UN SEUIL À L"AIDE D"UN ALGORITHME

EXEMPLE1

Soit (rn)la suite géométrique de raison 0,96 et de premier termer0=50000

Comme 0<0,96<1 la suite(rn)est décroissante et converge vers 0 : limn→+∞50000×0,96n=0.

L"algorithme suivant permet d"obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est inférieur à

30000.

C"est à dire déterminer le plus petit entierItel que pour tout entiern?I, 50000×0,96n<30000

A←50000

I←0

Tant queA?30000

I←I+1

A←0,96×A

Fin Tant que

PROGRAMME

TEXASCASIO

PROGRAM : SEUIL

: 50000→A : 0→I : While A≥30000 : I + 1→I : 0.96*A→A : End : Disp I===== SEUIL =====

50000→A?

0→I?

While A≥30000?

I + 1→I?

0.96*A→A?

WhileEnd?

quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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