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Classes de SecondeDevoir commun

Devoir commun de Mathématiques

Classes de Seconde

Durée : 2 heures

EXERCICE 1

La courbe (C)indiquée ci-dessous est la représentation graphique d"une fonctionfdéfinie sur [-5 ; 9] .

1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4

1234567891011-1-2-3-4-5-6O?i

?j

1.Par lecture graphique , répondre aux questions suivantes :

a)Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

Valeurs dex-5-235···

Valeurs def(x)············7 b)Résoudre les équationsf(x)=2 etf(x)=8 . c)Résoudre l"inéquationf(x)?5 . d)Déterminer le tableau de signes def(x) . e)Dresser le tableau de variations defsur l"intervalle [-5 ; 9] . f)Préciser le maximum et le minimum defsur [-5 ; 9] .

2.gest une fonction affine telle queg(1)=5 etg(4)=-1 .

a)Tracer la représentation graphique degdans le même repère que celle def. b)Déterminer l"expression deg(x) en fonction dex.

3.On notehla fonction définie surRpar :h(x)=x

3+113.

a)Tracer la représentation graphique dehdans le même repère que celles defet deg. b)Résoudre graphiquement l"équationg(x)=h(x) , puis par le calcul . 1

Classes de SecondeDevoir commun

EXERCICE 2

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (unité 1 cm), on donne les pointsA,BetCtels que

A(-4 ;-1) ,B(-3 ; 2) etC(2 ;-3) .

1.Faire une figure que l"on complètera au fil des questions.

1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

12345-1-2-3-4-5-60?i

?j

2.Calculer les coordonnées du vecteur-→AB, puis la distanceABen centimètres (cm).

On admet pour la suite de l"exercice queAC=2?

10 etBC=5?2

3.Démontrer que le triangleABCest rectangle .

4. a)Déterminer les coordonnées du pointK, milieu de [BC] .

b)Montrer que le pointG? -5

3;-23?

est aligné avecAetK. c)Par une méthode de votre choix , montrer queGest le centre de gravité du triangleABC.

5.Déterminer , par le calcul , les coordonnées du pointDtel queABCDsoit un parallélogramme , puis le placer sur la figure .

6.On considère le pointEde coordonnées?

2 ;1 3?

a)Démontrer qu"il existe un réelk(0 b)Le quadrilèreBECAest-il un parallélogramme? Justifier la réponse .

7.Calculer la distanceBE, puis l"aire , au mm2près par excès , du quadrilatèreBECA.

Formulairede géométrie

cc

A=c2carré

r

A=π×r2

périmètre=2πrcercle B h

A=B×hparallélogramme

Ll

A=L×lrectangle

Bb h A=B+b

2×hTrapèze

B h

A=B×h

2triangle

2

Classes de SecondeDevoir commun

EXERCICE 3

En bord de mer, un plagiste est chargé

d"organiser une zone de baignade sur- veillée par un maître-nageur. Il dispose d"un cordon flottant de 180 mètres .

Il décide donc de délimiter une aire rec-

tangulaire dont un côté est matérialisé par la plage ([EF]) et les trois autres par le cordon ([EB] ; [BC] et [FC] ) , sa- chant que le cordon doit être amarré aux deuxextrémités 10 mavant larive(points

AetD). (Voir schéma)

•AE=10m

•Par la suiteAB=xetA(x) désigne l"aire de baignade , c"est-

à-dire l"aire du rectangleEFCB.

•Le cordon de 180m correspond aux segments [AB] , [BC] et [CD] . •La droite (EF) est la limite entre le sable et l"eau. AEB C F D 10m Eau Plage

1. Premièretentative

a)Il commence par une largeur deAB=30m. Déterminer quelles seront les dimensions du rectangleEFCBpuis son aire Attention, tenir compte des 10 m perdus pour attacher le cordon).

b)Montrer sur un autre exemple (avecAB?=30) que l"aire du rectangleEFCBn"est pas toujours la même.

2. Modélisation

On constate que la surface de l"aire de baignade est fonctionde la distanceAB. On pose alorsAB=xet on noteA(x) la surface de l"aire de baignade en m2 a)Expliquer pourquoix?[10 ; 90] . b)Montrer que la distanceBCest égale à 180-2x

c)Expliquer qu"une formule pour l"aireA(x) estA(x)=(180-2x)×(x-10) et en déduire la forme développée deA(x)

3

Classes de SecondeDevoir commun

3. ObservationsOn souhaite disposer d"une aire de baignade supérieure à 3000m2.

a)Compléter le tableau ci-dessous :

Valeurs dex102030405060708090

Valeurs deA(x)···························

b)Tracer la courbe de la fonctionAsur le graphique situé à la fin . c)Par lecture graphique : Donner pour quelles valeurs dexl"aire dépassera les 3000m2. d)Donner pour quelle(s) valeur(s) l"aire semble maximale et quel est ce maximum .

4. Démonstrationde la premièreobservation

a)Montrer queA(x)=3200-2(x-50)2, pour toutx?[10 ; 90] (forme canonique) . b)On veut résoudreA(x)?3000 . Montrer que cette équation est équivalente à 100-(x-50)2?0 .

c)Factoriser 100-(x-50)2(en expliquant la méthode, on doit obtenir (60-x)(x-40) à utiliser pour la suite) .

d)A l"aide d"un tableau de signes, étudier le signe de (60-x)(x-40) et en déduire les valeurs dexpour lesquelles l"aire

dépasse 3000m 2.

5. Démonstrationde la secondeobservation

À l"aide de la forme canonique (donnée au 4.a)) ou par une autre méthode de votre choix , démontrer le résultat observé au

3.d) .

6. Questionnon guidée:Dans cette question , toute trace de recherche,tout raisonnement, même non abouti, sera valorisé.

On conseille au plagiste de faire une aire demi-circulaire pour que l"aire de baignade soit plus grande. (Les 180 mètres de

cordon servent pour les segments [AE] et [DF] ainsi que pour le demi cercle) .

Déterminer cette aire.

500
1000
1500
2000
2500
3000
3500

102030405060708090100-10

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